MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjghm 19297
Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dpjghm (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem dpjghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2 eqid 2738 . . 3 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3 eqid 2738 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2738 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
6 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
75, 6dprdf2 19241 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8 dpjlid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
97, 8ffvelrnd 6856 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 difssd 4021 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
115, 6, 10dprdres 19262 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1211simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dprdsubg 19258 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
155, 6, 8, 3dpjdisj 19287 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
165, 6, 8, 4dpjcntz 19286 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17 eqid 2738 . . 3 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1ghm 18940 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∈ ((𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
19 dpjfval.p . . 3 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
205, 6, 19, 17, 8dpjval 19290 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
215, 6, 8, 2dpjlsm 19288 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
2221oveq2d 7180 . . 3 (𝜑 → (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))))
2322oveq1d 7179 . 2 (𝜑 → ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) = ((𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
2418, 20, 233eltr4d 2848 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  cdif 3838  wss 3841  {csn 4513   class class class wbr 5027  dom cdm 5519  cres 5521  cfv 6333  (class class class)co 7164  s cress 16580  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  SubGrpcsubg 18384   GrpHom cghm 18466  Cntzccntz 18556  LSSumclsm 18870  proj1cpj1 18871   DProd cdprd 19227  dProjcdpj 19228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-gim 18510  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-lsm 18872  df-pj1 18873  df-cmn 19019  df-dprd 19229  df-dpj 19230
This theorem is referenced by:  dpjghm2  19298  dchrptlem2  25993
  Copyright terms: Public domain W3C validator