Theorem dpjghm 19666

Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjghm	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem dpjghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
6		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
7	5, 6	dprdf2 19610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8		dpjlid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9	7, 8	ffvelrnd 6962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		difssd 4067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
11	5, 6, 10	dprdres 19631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
12	11	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13		dprdsubg 19627	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	5, 6, 8, 3	dpjdisj 19656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g‘𝐺)})
16	5, 6, 8, 4	dpjcntz 19655	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
18	1, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17	pj1ghm 19309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∈ ((𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
19		dpjfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
20	5, 6, 19, 17, 8	dpjval 19659	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
21	5, 6, 8, 2	dpjlsm 19657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
22	21	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))))
23	22	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) = ((𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
24	18, 20, 23	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  SubGrpcsubg 18749   GrpHom cghm 18831  Cntzccntz 18921  LSSumclsm 19239  proj₁cpj1 19240   DProd cdprd 19596  dProjcdpj 19597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-pj1 19242  df-cmn 19388  df-dprd 19598  df-dpj 19599

This theorem is referenced by:  dpjghm2  19667  dchrptlem2  26413