MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjghm 19177
Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dpjghm (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem dpjghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2 eqid 2819 . . 3 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3 eqid 2819 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2819 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
6 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
75, 6dprdf2 19121 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8 dpjlid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
97, 8ffvelrnd 6845 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 difssd 4107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
115, 6, 10dprdres 19142 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1211simpld 497 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dprdsubg 19138 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
155, 6, 8, 3dpjdisj 19167 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
165, 6, 8, 4dpjcntz 19166 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17 eqid 2819 . . 3 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1ghm 18821 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∈ ((𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
19 dpjfval.p . . 3 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
205, 6, 19, 17, 8dpjval 19170 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
215, 6, 8, 2dpjlsm 19168 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
2221oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))))
2322oveq1d 7163 . 2 (𝜑 → ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) = ((𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
2418, 20, 233eltr4d 2926 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3931  wss 3934  {csn 4559   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7148  s cress 16476  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265   GrpHom cghm 18347  Cntzccntz 18437  LSSumclsm 18751  proj1cpj1 18752   DProd cdprd 19107  dProjcdpj 19108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-pj1 18754  df-cmn 18900  df-dprd 19109  df-dpj 19110
This theorem is referenced by:  dpjghm2  19178  dchrptlem2  25833
  Copyright terms: Public domain W3C validator