Theorem dpjghm 19979

Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjghm	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem dpjghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
6		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
7	5, 6	dprdf2 19923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8		dpjlid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9	7, 8	ffvelcdmd 7024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		difssd 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
11	5, 6, 10	dprdres 19944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
12	11	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13		dprdsubg 19940	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	5, 6, 8, 3	dpjdisj 19969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g‘𝐺)})
16	5, 6, 8, 4	dpjcntz 19968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
18	1, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17	pj1ghm 19617	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∈ ((𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
19		dpjfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
20	5, 6, 19, 17, 8	dpjval 19972	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
21	5, 6, 8, 2	dpjlsm 19970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
22	21	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))))
23	22	oveq1d 7367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) = ((𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
24	18, 20, 23	3eltr4d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4575   class class class wbr 5093  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↾_s cress 17143  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  SubGrpcsubg 19035   GrpHom cghm 19126  Cntzccntz 19229  LSSumclsm 19548  proj₁cpj1 19549   DProd cdprd 19909  dProjcdpj 19910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-pj1 19551  df-cmn 19696  df-dprd 19911  df-dpj 19912

This theorem is referenced by:  dpjghm2  19980  dchrptlem2  27204