Theorem dpjghm 20040

Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjghm	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem dpjghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
6		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
7	5, 6	dprdf2 19984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8		dpjlid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9	7, 8	ffvelcdmd 7037	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		difssd 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
11	5, 6, 10	dprdres 20005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
12	11	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13		dprdsubg 20001	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	5, 6, 8, 3	dpjdisj 20030	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g‘𝐺)})
16	5, 6, 8, 4	dpjcntz 20029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
18	1, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17	pj1ghm 19678	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∈ ((𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
19		dpjfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
20	5, 6, 19, 17, 8	dpjval 20033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
21	5, 6, 8, 2	dpjlsm 20031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
22	21	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))))
23	22	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) = ((𝐺 ↾s ((𝑆‘𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
24	18, 20, 23	3eltr4d 2851	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19096   GrpHom cghm 19187  Cntzccntz 19290  LSSumclsm 19609  proj₁cpj1 19610   DProd cdprd 19970  dProjcdpj 19971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-pj1 19612  df-cmn 19757  df-dprd 19972  df-dpj 19973

This theorem is referenced by:  dpjghm2  20041  dchrptlem2  27228