Theorem dpjlsm 20042

Description: The two subgroups that appear in dpjval 20044 add to the full direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dpjlsm	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjlsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprdf2 19995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4		disjdif 4452	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
6		undif2 4457	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
7		dpjlem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	7	snssd 4790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
9		ssequn1 4166	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
11	6, 10	eqtr2id 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
12		dpjlsm.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
13	3, 5, 11, 12, 1	dprdsplit 20036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
14	1, 2, 7	dpjlem 20039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))
15	14	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆‘𝑋) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
16	13, 15	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5124  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  LSSumclsm 19620   DProd cdprd 19981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-dprd 19983

This theorem is referenced by:  dpjf  20045  dpjidcl  20046  dpjghm  20051