Theorem dpjlsm 20048

Description: The two subgroups that appear in dpjval 20050 add to the full direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dpjlsm	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjlsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprdf2 20001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4		disjdif 4467	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
6		undif2 4472	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
7		dpjlem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	7	snssd 4809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
9		ssequn1 4179	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
10	8, 9	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
11	6, 10	eqtr2id 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
12		dpjlsm.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
13	3, 5, 11, 12, 1	dprdsplit 20042	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
14	1, 2, 7	dpjlem 20045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))
15	14	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆‘𝑋) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
16	13, 15	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑋) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  {csn 4624   class class class wbr 5144  dom cdm 5673   ↾ cres 5675  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  LSSumclsm 19626   DProd cdprd 19987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-hash 14341  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-lsm 19628  df-cmn 19774  df-dprd 19989

This theorem is referenced by:  dpjf  20051  dpjidcl  20052  dpjghm  20057