MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjlsm 18661
Description: The two subgroups that appear in dpjval 18663 add to the full direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjlsm.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dpjlsm (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋) (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjlsm
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
31, 2dprdf2 18614 . . 3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4 disjdif 4182 . . . 4 ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
6 undif2 4186 . . . 4 ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
7 dpjlem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐼)
87snssd 4475 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
9 ssequn1 3934 . . . . 5 ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
108, 9sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
116, 10syl5req 2818 . . 3 (𝜑𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
12 dpjlsm.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
133, 5, 11, 12, 1dprdsplit 18655 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
141, 2, 7dpjlem 18658 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆𝑋))
1514oveq1d 6808 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆𝑋) (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
1613, 15eqtrd 2805 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋) (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6793  LSSumclsm 18256   DProd cdprd 18600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-dprd 18602
This theorem is referenced by:  dpjf  18664  dpjidcl  18665  dpjghm  18670
  Copyright terms: Public domain W3C validator