Theorem dpjlid 20129

Description: The 𝑋-th index projection acts as the identity on elements of the 𝑋-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
dpjlid	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑋)‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem dpjlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
5		dpjlid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6	1, 2, 3, 4, 5	dpjval 20124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) = ((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
7	6	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑋)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴))
8		dpjlid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
13	1, 2	dprdf2 20075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
14	13, 5	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		difssd 4099	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
16	1, 2, 15	dprdres 20096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
17	16	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
18		dprdsubg 20092	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	17, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	1, 2, 5, 11	dpjdisj 20121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g‘𝐺)})
21	1, 2, 5, 12	dpjcntz 20120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
22	9, 10, 11, 12, 14, 19, 20, 21, 4	pj1lid 19767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴) = 𝐴)
23	8, 22	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴) = 𝐴)
24	7, 23	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑋)‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  SubGrpcsubg 19182  Cntzccntz 19381  LSSumclsm 19700  proj₁cpj1 19701   DProd cdprd 20061  dProjcdpj 20062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-cntz 19383  df-oppg 19412  df-lsm 19702  df-pj1 19703  df-cmn 19848  df-dprd 20063  df-dpj 20064

This theorem is referenced by: (None)