MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjlid 19179
Description: The 𝑋-th index projection acts as the identity on elements of the 𝑋-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjlid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
Assertion
Ref Expression
dpjlid (𝜑 → ((𝑃𝑋)‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem dpjlid
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjfval.p . . . 4 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4 eqid 2824 . . . 4 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
5 dpjlid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
61, 2, 3, 4, 5dpjval 19174 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
76fveq1d 6660 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋)‘𝐴) = (((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴))
8 dpjlid.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
9 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2824 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
11 eqid 2824 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
12 eqid 2824 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
131, 2dprdf2 19125 . . . . 5 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1413, 5ffvelrnd 6840 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 difssd 4094 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
161, 2, 15dprdres 19146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1716simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
18 dprdsubg 19142 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
201, 2, 5, 11dpjdisj 19171 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
211, 2, 5, 12dpjcntz 19170 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
229, 10, 11, 12, 14, 19, 20, 21, 4pj1lid 18823 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋)) → (((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴) = 𝐴)
238, 22mpdan 686 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴) = 𝐴)
247, 23eqtrd 2859 1 (𝜑 → ((𝑃𝑋)‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  wss 3919  {csn 4549   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  cres 5544  cfv 6343  (class class class)co 7145  +gcplusg 16561  0gc0g 16709  SubGrpcsubg 18269  Cntzccntz 18441  LSSumclsm 18755  proj1cpj1 18756   DProd cdprd 19111  dProjcdpj 19112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-hash 13692  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-lsm 18757  df-pj1 18758  df-cmn 18904  df-dprd 19113  df-dpj 19114
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator