MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjlid 18847
Description: The 𝑋-th index projection acts as the identity on elements of the 𝑋-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjlid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
Assertion
Ref Expression
dpjlid (𝜑 → ((𝑃𝑋)‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem dpjlid
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjfval.p . . . 4 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4 eqid 2778 . . . 4 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
5 dpjlid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
61, 2, 3, 4, 5dpjval 18842 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
76fveq1d 6448 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋)‘𝐴) = (((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴))
8 dpjlid.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
9 eqid 2778 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2778 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
11 eqid 2778 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
12 eqid 2778 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
131, 2dprdf2 18793 . . . . 5 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1413, 5ffvelrnd 6624 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 difssd 3961 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
161, 2, 15dprdres 18814 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1716simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
18 dprdsubg 18810 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
201, 2, 5, 11dpjdisj 18839 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
211, 2, 5, 12dpjcntz 18838 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
229, 10, 11, 12, 14, 19, 20, 21, 4pj1lid 18498 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋)) → (((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴) = 𝐴)
238, 22mpdan 677 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))‘𝐴) = 𝐴)
247, 23eqtrd 2814 1 (𝜑 → ((𝑃𝑋)‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cdif 3789  wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  cres 5357  cfv 6135  (class class class)co 6922  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  SubGrpcsubg 17972  Cntzccntz 18131  LSSumclsm 18433  proj1cpj1 18434   DProd cdprd 18779  dProjcdpj 18780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-pj1 18436  df-cmn 18581  df-dprd 18781  df-dpj 18782
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator