Theorem dpjdisj 19996

Description: The two subgroups that appear in dpjval 19999 are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjdisj.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dpjdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })

Proof of Theorem dpjdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjlem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
4	1, 2, 3	dpjlem 19994	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))
5	4	ineq1d 4173	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
6	1, 2	dprdf2 19950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
7		disjdif 4426	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
9		undif2 4431	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
10	3	snssd 4767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
11		ssequn1 4140	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
12	10, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
13	9, 12	eqtr2id 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
15		dpjdisj.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	6, 8, 13, 14, 15	dmdprdsplit 19990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })))
17	1, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 }))
18	17	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })
19	5, 18	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5632   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0_gc0g 17371  Cntzccntz 19256   DProd cdprd 19936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-dprd 19938

This theorem is referenced by:  dpjf  20000  dpjidcl  20001  dpjlid  20004  dpjghm  20006