Theorem dpjghm2 18817

Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjghm2	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋))))

Proof of Theorem dpjghm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4		dpjlid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	dpjghm 18816	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))
6	1, 2	dprdf2 18760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
7	6, 4	ffvelrnd 6609	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 4	dpjf 18810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆‘𝑋))
9	8	frnd 6285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑃‘𝑋) ⊆ (𝑆‘𝑋))
10		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋)) = (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋))
11	10	resghm2b 18029	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ran (𝑃‘𝑋) ⊆ (𝑆‘𝑋)) → ((𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋)))))
12	7, 9, 11	syl2anc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋)))))
13	5, 12	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4873  dom cdm 5342  ran crn 5343  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↾_s cress 16223  SubGrpcsubg 17939   GrpHom cghm 18008   DProd cdprd 18746  dProjcdpj 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-gim 18052  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-pj1 18403  df-cmn 18548  df-dprd 18748  df-dpj 18749

This theorem is referenced by: (None)