Theorem dpjghm2 20167

Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjghm2	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋))))

Proof of Theorem dpjghm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4		dpjlid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	dpjghm 20166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))
6	1, 2	dprdf2 20110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
7	6, 4	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 4	dpjf 20160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆‘𝑋))
9	8	frnd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑃‘𝑋) ⊆ (𝑆‘𝑋))
10		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋)) = (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋))
11	10	resghm2b 19335	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ran (𝑃‘𝑋) ⊆ (𝑆‘𝑋)) → ((𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋)))))
12	7, 9, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋)))))
13	5, 12	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑋) ∈ ((𝐺 ↾s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺 ↾s (𝑆‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_s cress 17315  SubGrpcsubg 19217   GrpHom cghm 19314   DProd cdprd 20096  dProjcdpj 20097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-pj1 19738  df-cmn 19883  df-dprd 20098  df-dpj 20099

This theorem is used by: (None)