Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjghm2 19180
 Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dpjghm2 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺s (𝑆𝑋))))

Proof of Theorem dpjghm2
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjfval.p . . 3 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4 dpjlid.3 . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
51, 2, 3, 4dpjghm 19179 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))
61, 2dprdf2 19123 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
76, 4ffvelrnd 6846 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
81, 2, 3, 4dpjf 19173 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋))
98frnd 6515 . . 3 (𝜑 → ran (𝑃𝑋) ⊆ (𝑆𝑋))
10 eqid 2821 . . . 4 (𝐺s (𝑆𝑋)) = (𝐺s (𝑆𝑋))
1110resghm2b 18370 . . 3 (((𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ran (𝑃𝑋) ⊆ (𝑆𝑋)) → ((𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺s (𝑆𝑋)))))
127, 9, 11syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺s (𝑆𝑋)))))
135, 12mpbid 234 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom (𝐺s (𝑆𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ran crn 5550  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↾s cress 16478  SubGrpcsubg 18267   GrpHom cghm 18349   DProd cdprd 19109  dProjcdpj 19110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-lsm 18755  df-pj1 18756  df-cmn 18902  df-dprd 19111  df-dpj 19112 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator