MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjcntz 19971
Description: The two subgroups that appear in dpjval 19975 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dpjfval.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dpjlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
dpjcntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dpjcntz (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 dpjfval.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
3 dpjlem.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
41, 2, 3dpjlem 19970 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) = (๐‘†โ€˜๐‘‹))
51, 2dprdf2 19926 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
6 disjdif 4466 . . . . . 6 ({๐‘‹} โˆฉ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})) = โˆ…
76a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘‹} โˆฉ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})) = โˆ…)
8 undif2 4471 . . . . . 6 ({๐‘‹} โˆช (๐ผ โˆ– {๐‘‹})) = ({๐‘‹} โˆช ๐ผ)
93snssd 4807 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‹} โІ ๐ผ)
10 ssequn1 4175 . . . . . . 7 ({๐‘‹} โІ ๐ผ โ†” ({๐‘‹} โˆช ๐ผ) = ๐ผ)
119, 10sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘‹} โˆช ๐ผ) = ๐ผ)
128, 11eqtr2id 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = ({๐‘‹} โˆช (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))
13 dpjcntz.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
14 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 19966 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹}) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = {(0gโ€˜๐บ)})))
161, 15mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹}) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))
1716simp2d 1140 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))
184, 17eqsstrrd 4016 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   โ†พ cres 5671  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0gc0g 17391  Cntzccntz 19228   DProd cdprd 19912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-dprd 19914
This theorem is referenced by:  dpjf  19976  dpjidcl  19977  dpjlid  19980  dpjghm  19982
  Copyright terms: Public domain W3C validator