Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dpjcntz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The two subgroups that appear in dpjval 19754 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
dpjfval.1 | โข (๐ โ ๐บdom DProd ๐) |
dpjfval.2 | โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) |
dpjlem.3 | โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) |
dpjcntz.z | โข ๐ = (Cntzโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
dpjcntz | โข (๐ โ (๐โ๐) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dpjfval.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐บdom DProd ๐) | |
2 | dpjfval.2 | . . 3 โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) | |
3 | dpjlem.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) | |
4 | 1, 2, 3 | dpjlem 19749 | . 2 โข (๐ โ (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) = (๐โ๐)) |
5 | 1, 2 | dprdf2 19705 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐:๐ผโถ(SubGrpโ๐บ)) |
6 | disjdif 4418 | . . . . . 6 โข ({๐} โฉ (๐ผ โ {๐})) = โ | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ ({๐} โฉ (๐ผ โ {๐})) = โ ) |
8 | undif2 4423 | . . . . . 6 โข ({๐} โช (๐ผ โ {๐})) = ({๐} โช ๐ผ) | |
9 | 3 | snssd 4756 | . . . . . . 7 โข (๐ โ {๐} โ ๐ผ) |
10 | ssequn1 4127 | . . . . . . 7 โข ({๐} โ ๐ผ โ ({๐} โช ๐ผ) = ๐ผ) | |
11 | 9, 10 | sylib 217 | . . . . . 6 โข (๐ โ ({๐} โช ๐ผ) = ๐ผ) |
12 | 8, 11 | eqtr2id 2789 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ผ = ({๐} โช (๐ผ โ {๐}))) |
13 | dpjcntz.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐บ) | |
14 | eqid 2736 | . . . . 5 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
15 | 5, 7, 12, 13, 14 | dmdprdsplit 19745 | . . . 4 โข (๐ โ (๐บdom DProd ๐ โ ((๐บdom DProd (๐ โพ {๐}) โง ๐บdom DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))) โง (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) โง ((๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โฉ (๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) = {(0gโ๐บ)}))) |
16 | 1, 15 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ ((๐บdom DProd (๐ โพ {๐}) โง ๐บdom DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))) โง (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) โง ((๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โฉ (๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) = {(0gโ๐บ)})) |
17 | 16 | simp2d 1142 | . 2 โข (๐ โ (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
18 | 4, 17 | eqsstrrd 3971 | 1 โข (๐ โ (๐โ๐) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ cdif 3895 โช cun 3896 โฉ cin 3897 โ wss 3898 โ c0 4269 {csn 4573 class class class wbr 5092 dom cdm 5620 โพ cres 5622 โcfv 6479 (class class class)co 7337 0gc0g 17247 Cntzccntz 19017 DProd cdprd 19691 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-rep 5229 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-cnex 11028 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 ax-pre-mulgt0 11049 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3917 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-int 4895 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-tr 5210 df-id 5518 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6238 df-ord 6305 df-on 6306 df-lim 6307 df-suc 6308 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-isom 6488 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-of 7595 df-om 7781 df-1st 7899 df-2nd 7900 df-supp 8048 df-tpos 8112 df-frecs 8167 df-wrecs 8198 df-recs 8272 df-rdg 8311 df-1o 8367 df-er 8569 df-map 8688 df-ixp 8757 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-fin 8808 df-fsupp 9227 df-oi 9367 df-card 9796 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-xr 11114 df-ltxr 11115 df-le 11116 df-sub 11308 df-neg 11309 df-nn 12075 df-2 12137 df-n0 12335 df-z 12421 df-uz 12684 df-fz 13341 df-fzo 13484 df-seq 13823 df-hash 14146 df-sets 16962 df-slot 16980 df-ndx 16992 df-base 17010 df-ress 17039 df-plusg 17072 df-0g 17249 df-gsum 17250 df-mre 17392 df-mrc 17393 df-acs 17395 df-mgm 18423 df-sgrp 18472 df-mnd 18483 df-mhm 18527 df-submnd 18528 df-grp 18676 df-minusg 18677 df-sbg 18678 df-mulg 18797 df-subg 18848 df-ghm 18928 df-gim 18971 df-cntz 19019 df-oppg 19046 df-lsm 19337 df-cmn 19483 df-dprd 19693 |
This theorem is referenced by: dpjf 19755 dpjidcl 19756 dpjlid 19759 dpjghm 19761 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |