![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dpjcntz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The two subgroups that appear in dpjval 20020 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
dpjfval.1 | โข (๐ โ ๐บdom DProd ๐) |
dpjfval.2 | โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) |
dpjlem.3 | โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) |
dpjcntz.z | โข ๐ = (Cntzโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
dpjcntz | โข (๐ โ (๐โ๐) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dpjfval.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐บdom DProd ๐) | |
2 | dpjfval.2 | . . 3 โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) | |
3 | dpjlem.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) | |
4 | 1, 2, 3 | dpjlem 20015 | . 2 โข (๐ โ (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) = (๐โ๐)) |
5 | 1, 2 | dprdf2 19971 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐:๐ผโถ(SubGrpโ๐บ)) |
6 | disjdif 4475 | . . . . . 6 โข ({๐} โฉ (๐ผ โ {๐})) = โ | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ ({๐} โฉ (๐ผ โ {๐})) = โ ) |
8 | undif2 4480 | . . . . . 6 โข ({๐} โช (๐ผ โ {๐})) = ({๐} โช ๐ผ) | |
9 | 3 | snssd 4817 | . . . . . . 7 โข (๐ โ {๐} โ ๐ผ) |
10 | ssequn1 4182 | . . . . . . 7 โข ({๐} โ ๐ผ โ ({๐} โช ๐ผ) = ๐ผ) | |
11 | 9, 10 | sylib 217 | . . . . . 6 โข (๐ โ ({๐} โช ๐ผ) = ๐ผ) |
12 | 8, 11 | eqtr2id 2781 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ผ = ({๐} โช (๐ผ โ {๐}))) |
13 | dpjcntz.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐บ) | |
14 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
15 | 5, 7, 12, 13, 14 | dmdprdsplit 20011 | . . . 4 โข (๐ โ (๐บdom DProd ๐ โ ((๐บdom DProd (๐ โพ {๐}) โง ๐บdom DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))) โง (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) โง ((๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โฉ (๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) = {(0gโ๐บ)}))) |
16 | 1, 15 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ ((๐บdom DProd (๐ โพ {๐}) โง ๐บdom DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))) โง (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) โง ((๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โฉ (๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) = {(0gโ๐บ)})) |
17 | 16 | simp2d 1140 | . 2 โข (๐ โ (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
18 | 4, 17 | eqsstrrd 4021 | 1 โข (๐ โ (๐โ๐) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ cdif 3946 โช cun 3947 โฉ cin 3948 โ wss 3949 โ c0 4326 {csn 4632 class class class wbr 5152 dom cdm 5682 โพ cres 5684 โcfv 6553 (class class class)co 7426 0gc0g 17428 Cntzccntz 19273 DProd cdprd 19957 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7691 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8172 df-tpos 8238 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-er 8731 df-map 8853 df-ixp 8923 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-fsupp 9394 df-oi 9541 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-fz 13525 df-fzo 13668 df-seq 14007 df-hash 14330 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-0g 17430 df-gsum 17431 df-mre 17573 df-mrc 17574 df-acs 17576 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-mhm 18747 df-submnd 18748 df-grp 18900 df-minusg 18901 df-sbg 18902 df-mulg 19031 df-subg 19085 df-ghm 19175 df-gim 19220 df-cntz 19275 df-oppg 19304 df-lsm 19598 df-cmn 19744 df-dprd 19959 |
This theorem is referenced by: dpjf 20021 dpjidcl 20022 dpjlid 20025 dpjghm 20027 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |