![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dpjcntz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The two subgroups that appear in dpjval 19975 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
dpjfval.1 | โข (๐ โ ๐บdom DProd ๐) |
dpjfval.2 | โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) |
dpjlem.3 | โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) |
dpjcntz.z | โข ๐ = (Cntzโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
dpjcntz | โข (๐ โ (๐โ๐) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dpjfval.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐บdom DProd ๐) | |
2 | dpjfval.2 | . . 3 โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) | |
3 | dpjlem.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ผ) | |
4 | 1, 2, 3 | dpjlem 19970 | . 2 โข (๐ โ (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) = (๐โ๐)) |
5 | 1, 2 | dprdf2 19926 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐:๐ผโถ(SubGrpโ๐บ)) |
6 | disjdif 4466 | . . . . . 6 โข ({๐} โฉ (๐ผ โ {๐})) = โ | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ ({๐} โฉ (๐ผ โ {๐})) = โ ) |
8 | undif2 4471 | . . . . . 6 โข ({๐} โช (๐ผ โ {๐})) = ({๐} โช ๐ผ) | |
9 | 3 | snssd 4807 | . . . . . . 7 โข (๐ โ {๐} โ ๐ผ) |
10 | ssequn1 4175 | . . . . . . 7 โข ({๐} โ ๐ผ โ ({๐} โช ๐ผ) = ๐ผ) | |
11 | 9, 10 | sylib 217 | . . . . . 6 โข (๐ โ ({๐} โช ๐ผ) = ๐ผ) |
12 | 8, 11 | eqtr2id 2779 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ผ = ({๐} โช (๐ผ โ {๐}))) |
13 | dpjcntz.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐บ) | |
14 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
15 | 5, 7, 12, 13, 14 | dmdprdsplit 19966 | . . . 4 โข (๐ โ (๐บdom DProd ๐ โ ((๐บdom DProd (๐ โพ {๐}) โง ๐บdom DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))) โง (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) โง ((๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โฉ (๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) = {(0gโ๐บ)}))) |
16 | 1, 15 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ ((๐บdom DProd (๐ โพ {๐}) โง ๐บdom DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))) โง (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) โง ((๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โฉ (๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐})))) = {(0gโ๐บ)})) |
17 | 16 | simp2d 1140 | . 2 โข (๐ โ (๐บ DProd (๐ โพ {๐})) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
18 | 4, 17 | eqsstrrd 4016 | 1 โข (๐ โ (๐โ๐) โ (๐โ(๐บ DProd (๐ โพ (๐ผ โ {๐}))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ cdif 3940 โช cun 3941 โฉ cin 3942 โ wss 3943 โ c0 4317 {csn 4623 class class class wbr 5141 dom cdm 5669 โพ cres 5671 โcfv 6536 (class class class)co 7404 0gc0g 17391 Cntzccntz 19228 DProd cdprd 19912 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8144 df-tpos 8209 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-map 8821 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-2 12276 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-hash 14293 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17151 df-ress 17180 df-plusg 17216 df-0g 17393 df-gsum 17394 df-mre 17536 df-mrc 17537 df-acs 17539 df-mgm 18570 df-sgrp 18649 df-mnd 18665 df-mhm 18710 df-submnd 18711 df-grp 18863 df-minusg 18864 df-sbg 18865 df-mulg 18993 df-subg 19047 df-ghm 19136 df-gim 19181 df-cntz 19230 df-oppg 19259 df-lsm 19553 df-cmn 19699 df-dprd 19914 |
This theorem is referenced by: dpjf 19976 dpjidcl 19977 dpjlid 19980 dpjghm 19982 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |