MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjcntz 19177
Description: The two subgroups that appear in dpjval 19181 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dpjcntz (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjlem.3 . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
41, 2, 3dpjlem 19176 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆𝑋))
51, 2dprdf2 19132 . . . . 5 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
6 disjdif 4424 . . . . . 6 ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
8 undif2 4428 . . . . . 6 ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
93snssd 4745 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
10 ssequn1 4159 . . . . . . 7 ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
119, 10sylib 220 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128, 11syl5req 2872 . . . . 5 (𝜑𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dpjcntz.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 19172 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})))
161, 15mpbid 234 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)}))
1716simp2d 1139 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
184, 17eqsstrrd 4009 1 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {csn 4570   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  cres 5560  cfv 6358  (class class class)co 7159  0gc0g 16716  Cntzccntz 18448   DProd cdprd 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-gim 18402  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-dprd 19120
This theorem is referenced by:  dpjf  19182  dpjidcl  19183  dpjlid  19186  dpjghm  19188
  Copyright terms: Public domain W3C validator