Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjcntz 19177
 Description: The two subgroups that appear in dpjval 19181 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dpjcntz (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjlem.3 . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
41, 2, 3dpjlem 19176 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆𝑋))
51, 2dprdf2 19132 . . . . 5 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
6 disjdif 4424 . . . . . 6 ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
8 undif2 4428 . . . . . 6 ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
93snssd 4745 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
10 ssequn1 4159 . . . . . . 7 ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
119, 10sylib 220 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128, 11syl5req 2872 . . . . 5 (𝜑𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dpjcntz.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 19172 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})))
161, 15mpbid 234 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)}))
1716simp2d 1139 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
184, 17eqsstrrd 4009 1 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3936   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {csn 4570   class class class wbr 5069  dom cdm 5558   ↾ cres 5560  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0gc0g 16716  Cntzccntz 18448   DProd cdprd 19118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-gim 18402  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-dprd 19120 This theorem is referenced by:  dpjf  19182  dpjidcl  19183  dpjlid  19186  dpjghm  19188
 Copyright terms: Public domain W3C validator