MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjcntz 19750
Description: The two subgroups that appear in dpjval 19754 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dpjfval.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dpjlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
dpjcntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dpjcntz (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 dpjfval.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
3 dpjlem.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
41, 2, 3dpjlem 19749 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) = (๐‘†โ€˜๐‘‹))
51, 2dprdf2 19705 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
6 disjdif 4418 . . . . . 6 ({๐‘‹} โˆฉ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})) = โˆ…
76a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘‹} โˆฉ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})) = โˆ…)
8 undif2 4423 . . . . . 6 ({๐‘‹} โˆช (๐ผ โˆ– {๐‘‹})) = ({๐‘‹} โˆช ๐ผ)
93snssd 4756 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‹} โŠ† ๐ผ)
10 ssequn1 4127 . . . . . . 7 ({๐‘‹} โŠ† ๐ผ โ†” ({๐‘‹} โˆช ๐ผ) = ๐ผ)
119, 10sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘‹} โˆช ๐ผ) = ๐ผ)
128, 11eqtr2id 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = ({๐‘‹} โˆช (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))
13 dpjcntz.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
14 eqid 2736 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 19745 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹}) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = {(0gโ€˜๐บ)})))
161, 15mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹}) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))
1716simp2d 1142 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ {๐‘‹})) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))
184, 17eqsstrrd 3971 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โˆ– cdif 3895   โˆช cun 3896   โˆฉ cin 3897   โŠ† wss 3898  โˆ…c0 4269  {csn 4573   class class class wbr 5092  dom cdm 5620   โ†พ cres 5622  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  0gc0g 17247  Cntzccntz 19017   DProd cdprd 19691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-gim 18971  df-cntz 19019  df-oppg 19046  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-dprd 19693
This theorem is referenced by:  dpjf  19755  dpjidcl  19756  dpjlid  19759  dpjghm  19761
  Copyright terms: Public domain W3C validator