Theorem dpjcntz 20126

Description: The two subgroups that appear in dpjval 20130 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dpjcntz	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjcntz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
4	1, 2, 3	dpjlem 20125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))
5	1, 2	dprdf2 20081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
6		disjdif 4438	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
8		undif2 4443	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
9	3	snssd 4757	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
10		ssequn1 4147	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
11	9, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
12	8, 11	eqtr2id 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13		dpjcntz.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	5, 7, 12, 13, 14	dmdprdsplit 20121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g‘𝐺)})))
16	1, 15	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g‘𝐺)}))
17	16	simp2d 1159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
18	4, 17	eqsstrrd 3980	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594   class class class wbr 5113  dom cdm 5664   ↾ cres 5666  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0_gc0g 17494  Cntzccntz 19387   DProd cdprd 20067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-gim 19331  df-cntz 19389  df-oppg 19418  df-lsm 19708  df-cmn 19854  df-dprd 20069

This theorem is referenced by:  dpjf  20131  dpjidcl  20132  dpjlid  20135  dpjghm  20137