Theorem dpjlem 20017

Description: Lemma for theorems about direct product projection. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem dpjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprdf2 19973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4	3	ffnd 6658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝐼)
5		dpjlem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		fnressn 7101	. . . 4 ⊢ ((𝑆 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
8	7	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}))
9	3, 5	ffvelcdmd 7026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		dprdsn 20002	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
11	5, 9, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
12	11	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋))
13	8, 12	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4557  ⟨cop 4563   class class class wbr 5074  dom cdm 5620   ↾ cres 5622   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  SubGrpcsubg 19085   DProd cdprd 19959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-gim 19223  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-cmn 19746  df-dprd 19961

This theorem is referenced by:  dpjcntz  20018  dpjdisj  20019  dpjlsm  20020  ablfac1eulem  20038  ablfac1eu  20039