Theorem dpjlem 19964

Description: Lemma for theorems about direct product projection. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem dpjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprdf2 19920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4	3	ffnd 6719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝐼)
5		dpjlem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		fnressn 7159	. . . 4 ⊢ ((𝑆 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
7	4, 5, 6	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
8	7	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}))
9	3, 5	ffvelcdmd 7088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		dprdsn 19949	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
11	5, 9, 10	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
12	11	simprd 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋))
13	8, 12	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ↾ cres 5679   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  SubGrpcsubg 19038   DProd cdprd 19906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-gim 19175  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-cmn 19693  df-dprd 19908

This theorem is referenced by:  dpjcntz  19965  dpjdisj  19966  dpjlsm  19967  ablfac1eulem  19985  ablfac1eu  19986