Theorem dpjlem 20122

Description: Lemma for theorems about direct product projection. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dpjlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem dpjlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprdf2 20078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4	3	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝐼)
5		dpjlem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
6		fnressn 7155	. . . 4 ⊢ ((𝑆 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩})
8	7	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}))
9	3, 5	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		dprdsn 20107	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
11	5, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋)))
12	11	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨𝑋, (𝑆‘𝑋)⟩}) = (𝑆‘𝑋))
13	8, 12	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {csn 4588  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  SubGrpcsubg 19185   DProd cdprd 20064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-cntz 19386  df-oppg 19415  df-cmn 19851  df-dprd 20066

This theorem is referenced by:  dpjcntz  20123  dpjdisj  20124  dpjlsm  20125  ablfac1eulem  20143  ablfac1eu  20144