Theorem elfzo0subge1 13712

Description: The difference of the upper bound of a half-open range of nonnegative integers and an element of this range is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.) (Proof shortened by SN, 18-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0subge1	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem elfzo0subge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13666	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elfzoel2 13665	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zred 12690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		1red 11229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 1 ∈ ℝ)
6		elfzolem1 13711	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
7	2, 4, 5, 6	lesubd 11834	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400  0cc0 11122  1c1 11123   ≤ cle 11263   − cmin 11459  ..^cfzo 13661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-z 12582  df-uz 12846  df-fz 13515  df-fzo 13662

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1  47973