Theorem elfzo0subge1 13773

Description: The difference of the upper bound of a half-open range of nonnegative integers and an element of this range is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.) (Proof shortened by SN, 18-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0subge1	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem elfzo0subge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12754	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elfzoel2 13726	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zred 12754	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		1red 11294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 1 ∈ ℝ)
6		elfzolem1 13772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
7	2, 4, 5, 6	lesubd 11899	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5167  (class class class)co 7451  0cc0 11187  1c1 11188   ≤ cle 11328   − cmin 11524  ..^cfzo 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-id 5594  df-po 5608  df-so 5609  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-z 12646  df-uz 12911  df-fz 13579  df-fzo 13723

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx1  47907