Theorem gpgedgvtx1 48308

Description: The edges starting at an inside vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 2-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgedgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgedgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpgedgvtx0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgedgvtx1	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 1)) → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem gpgedgvtx1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgedgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgedgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgedgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48293	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
8		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1st 7941	. . . . . . . 8 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
11	7, 10	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = 𝑥)
12	11	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 1 ↔ 𝑥 = 1))
13		opeq1 4829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	13	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩))
16		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
17		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 1) = (𝑦 + 1))
18	17	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((𝑦 + 1) mod 𝑁))
19	18	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩)
20	16, 19	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩})
21	20	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
22		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
23	16, 22	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
24	23	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
25		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
26	25	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
27	26	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
28	22, 27	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
29	28	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
30	21, 24, 29	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
32		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
33	32	3mix3i 1336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
35	30, 31, 34	rspcedvdw 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
36	20	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
37	23	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
38	28	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
39	36, 37, 38	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
40		prcom 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
41	40	3mix2i 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
43	39, 31, 42	rspcedvdw 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
44		elfzoelz 13575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
45	44, 2	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	46	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
48		fzospliti 13607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)))
50	49	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁))))
51		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
52		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (𝑧 + 1) = (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1))
53	52	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁))
54	53	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩)
55	51, 54	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩})
56	55	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩}))
57		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
58	51, 57	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩})
59	58	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩}))
60		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (𝑧 + 𝐾) = (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾))
61	60	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
62	61	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
63	57, 62	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
64	63	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
65	56, 59, 64	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
66		eluz3nn 12802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
67	66	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℂ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
71		elfzoel2 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
74		elfzoelz 13575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℂ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℂ)
77	70, 73, 76	subsub3d 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
78		1zzd 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
79	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
80	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
81	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ ℤ)
83		elfzo0subge1 13621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 1 ≤ (𝐾 − 𝑦))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 1 ≤ (𝐾 − 𝑦))
85	82	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ ℝ)
86	80	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
87	79	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88		elfzo0suble 13622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝐾)
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝐾)
90	2, 1	gpgedgvtx1lem 47577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
91		elfzo0le 13619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ≤ 𝑁)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
94	85, 86, 87, 89, 93	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝑁)
95	78, 79, 82, 84, 94	elfzd 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ (1...𝑁))
96		ubmelfzo 13646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 − 𝑦) ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) ∈ (0..^𝑁))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) ∈ (0..^𝑁))
98	77, 97	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
99		eluzelcn 12763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
102	101, 76	addcld 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 + 𝑦) ∈ ℂ)
103	102, 73	npcand 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 𝑦))
104	103	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁))
105		elfzonn0 13623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℕ0)
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
107	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
109		elfzouz2 13590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
110		fzoss2 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (0..^𝐾) ⊆ (0..^𝑁))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝐾) ⊆ (0..^𝑁))
112	111	sseld 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
113		elfzolt2 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
114	112, 113	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 < 𝑁))
115	90, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 < 𝑁))
116	115	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 < 𝑁)
117		addmodid 13842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
118	106, 108, 116, 117	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
119	104, 118	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
120	119	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
121		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ (0..^𝐾))
122		elfzolt2 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
123	90, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 < 𝑁)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 < 𝑁)
125		submodlt 47596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
126	108, 121, 124, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
127	126	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
128	120, 127	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩})
129		prcom 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
130	128, 129	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
131	130	3mix3d 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
132	65, 98, 131	rspcedvdw 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
133	132	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
134		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩)
135		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (𝑧 + 1) = ((𝑦 − 𝐾) + 1))
136	135	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁))
137	136	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩)
138	134, 137	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩})
139	138	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩}))
140		opeq2 4830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩)
141	134, 140	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩})
142	141	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩}))
143		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (𝑧 + 𝐾) = ((𝑦 − 𝐾) + 𝐾))
144	143	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
145	144	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
146	140, 145	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
147	146	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
148	139, 142, 147	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
149		elfzo1 13628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
150	149	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
151	150	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
152	151, 2	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℕ0)
154		elfzoextl 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
155	153, 154	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
156	155	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
157	107	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℤ)
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
159		fzosubel3 13642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
160	156, 158, 159	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
161		elfzoelz 13575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
162	161	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℂ)
163		elfzoel1 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
164	163	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
165	162, 164	npcand 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑦)
166	165	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
167	166	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
168	66	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ+)
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℝ+)
170	161	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
171	169, 170	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
172		elfzole1 13583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑦)
173	172	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑦)
174		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
175	163	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
176	175	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℝ)
177	170	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
178		nnnn0 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
179	178	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐾)
180	150, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 0 ≤ 𝐾)
181	180, 2	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 0 ≤ 𝐾)
182	181	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝐾)
183		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ≤ 𝑦)
184	174, 176, 177, 182, 183	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
185	173, 184	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
186		elfzolt2 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
187	186	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 < 𝑁)
188		modid 13816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
189	171, 185, 187, 188	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
190	167, 189	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 = (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
191	190	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
192	170, 175	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ)
193	169, 192	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
194		elfzo2 13578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁))
195		eluz2 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦))
196		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ≤ 𝑦)
197		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
198		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
199	197, 198	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
200	199	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
201	200	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
202		subge0 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑦))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑦))
204	196, 203	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 0 ≤ (𝑦 − 𝐾))
205	198	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
206	205	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
207	197	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℝ)
208	207	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ∈ ℝ)
209	206, 208	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ)
210		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
211	210	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
212	211	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
213		nnrp 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
214	213	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ+)
215	149, 214	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ+)
216	215, 2	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ+)
217	216	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℝ+)
218	217	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
219	206, 218	ltsubrpd 12981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) < 𝑦)
220		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 < 𝑁)
221	209, 206, 212, 219, 220	lttrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)
222	204, 221	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))
223	222	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))))
224	223	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))))
225	195, 224	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))))
226	225	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))
227	194, 226	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))
228	227	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))
229		modid 13816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 − 𝐾))
230	193, 228, 229	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 − 𝐾))
231	230	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩)
232	191, 231	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩})
233		prcom 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
234	232, 233	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
235	234	3mix3d 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
236	148, 160, 235	rspcedvdw 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
237	236	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
238	133, 237	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
239	50, 238	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
240	239	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
241		gpgedgvtx0.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
242	1, 2, 3, 241	gpgedgel 48296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
243	1, 2, 3, 241	gpgedgel 48296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
244	1, 2, 3, 241	gpgedgel 48296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
245	242, 243, 244	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
246	245	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
247	35, 43, 240, 246	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
248	247	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
249		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩)
250		1ex 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
251	250, 9	op2ndd 7944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
252	251	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
253	252	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
254	253	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
255	249, 254	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
256	255	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
257	251	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
258	249, 257	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩})
259	258	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
260	251	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) − 𝐾) = (𝑦 − 𝐾))
261	260	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁))
262	261	opeq2d 4836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
263	249, 262	preq12d 4698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩})
264	263	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
265	256, 259, 264	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
266	248, 265	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
267	266	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
268	15, 267	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
269	268	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝑥 = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
270	12, 269	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
271	270	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
272	271	rexlimdvva 3193	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
273	5, 272	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
274	273	imp32 418	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 1)) → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ⌈cceil 13711   mod cmo 13789  Vtxcvtx 29069  Edgcedg 29120   gPetersenGr cgpg 48286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-ceil 13713  df-mod 13790  df-hash 14254  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-edgf 29062  df-vtx 29071  df-iedg 29072  df-edg 29121  df-gpg 48287

This theorem is referenced by:  gpgedg2iv  48313  gpgnbgrvtx1  48321