Theorem gpgedgvtx1 48043

Description: The edges starting at an inside vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 2-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgedgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgedgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpgedgvtx0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgedgvtx1	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 1)) → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem gpgedgvtx1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgedgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgedgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgedgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48028	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		fveq2 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
8		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1st 7978	. . . . . . . 8 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
11	7, 10	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = 𝑥)
12	11	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 1 ↔ 𝑥 = 1))
13		opeq1 4839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	13	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩))
16		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
17		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 1) = (𝑦 + 1))
18	17	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((𝑦 + 1) mod 𝑁))
19	18	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩)
20	16, 19	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩})
21	20	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
22		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
23	16, 22	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
24	23	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
25		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
26	25	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
27	26	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
28	22, 27	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
29	28	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
30	21, 24, 29	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
32		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
33	32	3mix3i 1336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
35	30, 31, 34	rspcedvdw 3594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
36	20	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
37	23	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
38	28	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
39	36, 37, 38	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
40		prcom 4698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
41	40	3mix2i 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
43	39, 31, 42	rspcedvdw 3594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
44		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
45	44, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	46	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
48		fzospliti 13658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)))
50	49	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁))))
51		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
52		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (𝑧 + 1) = (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1))
53	52	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁))
54	53	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩)
55	51, 54	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩})
56	55	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩}))
57		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
58	51, 57	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩})
59	58	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩}))
60		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (𝑧 + 𝐾) = (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾))
61	60	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
62	61	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
63	57, 62	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
64	63	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
65	56, 59, 64	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
66		eluz3nn 12854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
67	66	nnzd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℂ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
71		elfzoel2 13625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
74		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℂ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℂ)
77	70, 73, 76	subsub3d 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
78		1zzd 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
79	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
80	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
81	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ ℤ)
83		elfzo0subge1 13672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 1 ≤ (𝐾 − 𝑦))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 1 ≤ (𝐾 − 𝑦))
85	82	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ ℝ)
86	80	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
87	79	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88		elfzo0suble 13673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝐾)
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝐾)
90	2, 1	gpgedgvtx1lem 47322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
91		elfzo0le 13670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ≤ 𝑁)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
94	85, 86, 87, 89, 93	letrd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝑁)
95	78, 79, 82, 84, 94	elfzd 13482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ (1...𝑁))
96		ubmelfzo 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 − 𝑦) ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) ∈ (0..^𝑁))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) ∈ (0..^𝑁))
98	77, 97	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
99		eluzelcn 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
102	101, 76	addcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 + 𝑦) ∈ ℂ)
103	102, 73	npcand 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 𝑦))
104	103	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁))
105		elfzonn0 13674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℕ0)
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
107	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
109		elfzouz2 13641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
110		fzoss2 13654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (0..^𝐾) ⊆ (0..^𝑁))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝐾) ⊆ (0..^𝑁))
112	111	sseld 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
113		elfzolt2 13635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
114	112, 113	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 < 𝑁))
115	90, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 < 𝑁))
116	115	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 < 𝑁)
117		addmodid 13890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
118	106, 108, 116, 117	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
119	104, 118	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
120	119	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
121		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ (0..^𝐾))
122		elfzolt2 13635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
123	90, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 < 𝑁)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 < 𝑁)
125		submodlt 47341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
126	108, 121, 124, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
127	126	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
128	120, 127	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩})
129		prcom 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
130	128, 129	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
131	130	3mix3d 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
132	65, 98, 131	rspcedvdw 3594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
133	132	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
134		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩)
135		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (𝑧 + 1) = ((𝑦 − 𝐾) + 1))
136	135	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁))
137	136	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩)
138	134, 137	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩})
139	138	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩}))
140		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩)
141	134, 140	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩})
142	141	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩}))
143		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (𝑧 + 𝐾) = ((𝑦 − 𝐾) + 𝐾))
144	143	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
145	144	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
146	140, 145	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
147	146	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
148	139, 142, 147	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
149		elfzo1 13679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
150	149	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
151	150	nnnn0d 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
152	151, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℕ0)
154		elfzoextl 13688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
155	153, 154	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
156	155	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
157	107	nnzd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℤ)
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
159		fzosubel3 13693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
160	156, 158, 159	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
161		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
162	161	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℂ)
163		elfzoel1 13624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
164	163	zcnd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
165	162, 164	npcand 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑦)
166	165	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
167	166	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
168	66	nnrpd 12999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ+)
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℝ+)
170	161	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
171	169, 170	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
172		elfzole1 13634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑦)
173	172	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑦)
174		0red 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
175	163	zred 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
176	175	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℝ)
177	170	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
178		nnnn0 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
179	178	nn0ge0d 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐾)
180	150, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 0 ≤ 𝐾)
181	180, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 0 ≤ 𝐾)
182	181	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝐾)
183		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ≤ 𝑦)
184	174, 176, 177, 182, 183	letrd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
185	173, 184	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
186		elfzolt2 13635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
187	186	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 < 𝑁)
188		modid 13864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
189	171, 185, 187, 188	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
190	167, 189	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 = (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
191	190	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
192	170, 175	resubcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ)
193	169, 192	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
194		elfzo2 13629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁))
195		eluz2 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦))
196		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ≤ 𝑦)
197		zre 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
198		zre 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
199	197, 198	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
200	199	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
201	200	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
202		subge0 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑦))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑦))
204	196, 203	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 0 ≤ (𝑦 − 𝐾))
205	198	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
206	205	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
207	197	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℝ)
208	207	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ∈ ℝ)
209	206, 208	resubcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ)
210		zre 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
211	210	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
212	211	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
213		nnrp 12969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
214	213	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ+)
215	149, 214	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ+)
216	215, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ+)
217	216	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℝ+)
218	217	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
219	206, 218	ltsubrpd 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) < 𝑦)
220		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 < 𝑁)
221	209, 206, 212, 219, 220	lttrd 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)
222	204, 221	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))
223	222	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))))
224	223	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))))
225	195, 224	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))))
226	225	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))
227	194, 226	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))
228	227	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))
229		modid 13864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 − 𝐾))
230	193, 228, 229	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 − 𝐾))
231	230	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩)
232	191, 231	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩})
233		prcom 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
234	232, 233	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
235	234	3mix3d 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
236	148, 160, 235	rspcedvdw 3594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
237	236	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
238	133, 237	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
239	50, 238	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
240	239	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
241		gpgedgvtx0.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
242	1, 2, 3, 241	gpgedgel 48031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
243	1, 2, 3, 241	gpgedgel 48031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
244	1, 2, 3, 241	gpgedgel 48031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
245	242, 243, 244	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
246	245	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
247	35, 43, 240, 246	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
248	247	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
249		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩)
250		1ex 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
251	250, 9	op2ndd 7981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
252	251	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
253	252	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
254	253	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
255	249, 254	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
256	255	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
257	251	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
258	249, 257	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩})
259	258	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
260	251	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) − 𝐾) = (𝑦 − 𝐾))
261	260	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁))
262	261	opeq2d 4846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
263	249, 262	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩})
264	263	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
265	256, 259, 264	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
266	248, 265	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
267	266	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
268	15, 267	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
269	268	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝑥 = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
270	12, 269	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
271	270	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
272	271	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
273	5, 272	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
274	273	imp32 418	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 1)) → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3916  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  ℕ₀cn0 12448  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ℝ⁺crp 12957  ...cfz 13474  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759   mod cmo 13837  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-hash 14302  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  gpgedg2iv  48048  gpgnbgrvtx1  48056