Theorem gpgedgvtx1 49129

Description: The edges starting at an inside vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 2-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgedgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgedgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpgedgvtx0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgedgvtx1	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 1)) → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem gpgedgvtx1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgedgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgedgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgedgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 49114	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
8		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1st 8007	. . . . . . . 8 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
11	7, 10	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = 𝑥)
12	11	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 1 ↔ 𝑥 = 1))
13		opeq1 4833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	13	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩))
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩))
16		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
17		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 1) = (𝑦 + 1))
18	17	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((𝑦 + 1) mod 𝑁))
19	18	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩)
20	16, 19	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩})
21	20	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
22		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
23	16, 22	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
24	23	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
25		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
26	25	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
27	26	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
28	22, 27	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
29	28	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
30	21, 24, 29	3orbi123d 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
31		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
32		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
33	32	3mix3i 1354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
35	30, 31, 34	rspcedvdw 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
36	20	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
37	23	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
38	28	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
39	36, 37, 38	3orbi123d 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
40		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
41	40	3mix2i 1353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
43	39, 31, 42	rspcedvdw 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
44		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
45	44, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	46	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
48		fzospliti 13819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)))
50	49	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁))))
51		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
52		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (𝑧 + 1) = (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1))
53	52	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁))
54	53	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩)
55	51, 54	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩})
56	55	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩}))
57		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
58	51, 57	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩})
59	58	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩}))
60		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (𝑧 + 𝐾) = (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾))
61	60	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
62	61	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
63	57, 62	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
64	63	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
65	56, 59, 64	3orbi123d 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
66		eluz3nn 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
67	66	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℂ)
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
71		elfzoel2 13785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
74		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℂ)
76	75	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℂ)
77	70, 73, 76	subsub3d 11692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
78		1zzd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
79	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
80	71	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
81	74	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
82	80, 81	zsubcld 12801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ ℤ)
83		elfzo0subge1 13833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 1 ≤ (𝐾 − 𝑦))
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 1 ≤ (𝐾 − 𝑦))
85	82	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ ℝ)
86	80	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
87	79	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88		elfzo0suble 13834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝐾)
89	88	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝐾)
90	2, 1	gpgedgvtx1lem 48374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
91		elfzo0le 13831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ≤ 𝑁)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
94	85, 86, 87, 89, 93	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ≤ 𝑁)
95	78, 79, 82, 84, 94	elfzd 13640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝐾 − 𝑦) ∈ (1...𝑁))
96		ubmelfzo 13858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 − 𝑦) ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) ∈ (0..^𝑁))
97	95, 96	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 − (𝐾 − 𝑦)) ∈ (0..^𝑁))
98	77, 97	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
99		eluzelcn 12970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
100	99	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
102	101, 76	addcld 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁 + 𝑦) ∈ ℂ)
103	102, 73	npcand 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → (((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 𝑦))
104	103	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁))
105		elfzonn0 13835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℕ0)
106	105	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
107	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
109		elfzouz2 13802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
110		fzoss2 13815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (0..^𝐾) ⊆ (0..^𝑁))
111	109, 110	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝐾) ⊆ (0..^𝑁))
112	111	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁)))
113		elfzolt2 13796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
114	112, 113	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 < 𝑁))
115	90, 114	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → 𝑦 < 𝑁))
116	115	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 < 𝑁)
117		addmodid 14055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
118	106, 108, 116, 117	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑁 + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
119	104, 118	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 = ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
120	119	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
121		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑦 ∈ (0..^𝐾))
122		elfzolt2 13796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
123	90, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 < 𝑁)
124	123	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → 𝐾 < 𝑁)
125		submodlt 48395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
126	108, 121, 124, 125	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾))
127	126	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩)
128	120, 127	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩})
129		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
130	128, 129	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
131	130	3mix3d 1357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨0, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑁 + 𝑦) − 𝐾)⟩, ⟨1, ((((𝑁 + 𝑦) − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
132	65, 98, 131	rspcedvdw 3580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝐾)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
133	132	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝐾) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
134		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩)
135		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (𝑧 + 1) = ((𝑦 − 𝐾) + 1))
136	135	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁))
137	136	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩)
138	134, 137	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩})
139	138	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩}))
140		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩)
141	134, 140	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩})
142	141	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩}))
143		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (𝑧 + 𝐾) = ((𝑦 − 𝐾) + 𝐾))
144	143	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
145	144	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
146	140, 145	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
147	146	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
148	139, 142, 147	3orbi123d 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝐾) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
149		elfzo1 13840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
150	149	simp1bi 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
151	150	nnnn0d 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
152	151, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℕ0)
153	152	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℕ0)
154		elfzoextl 13849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
155	153, 154	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
156	155	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)))
157	107	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℤ)
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
159		fzosubel3 13854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐾..^(𝐾 + 𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
160	156, 158, 159	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))
161		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
162	161	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℂ)
163		elfzoel1 13784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
164	163	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
165	162, 164	npcand 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑦)
166	165	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
167	166	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
168	66	nnrpd 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ+)
169	168	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℝ+)
170	161	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
171	169, 170	anim12ci 626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
172		elfzole1 13795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑦)
173	172	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑦)
174		0red 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
175	163	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
176	175	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℝ)
177	170	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
178		nnnn0 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
179	178	nn0ge0d 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐾)
180	150, 179	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 0 ≤ 𝐾)
181	180, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 0 ≤ 𝐾)
182	181	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝐾)
183		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ≤ 𝑦)
184	174, 176, 177, 182, 183	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
185	173, 184	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
186		elfzolt2 13796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
187	186	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 < 𝑁)
188		modid 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
189	171, 185, 187, 188	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
190	167, 189	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑦 = (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁))
191	190	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
192	170, 175	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ)
193	169, 192	anim12ci 626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
194		elfzo2 13789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁))
195		eluz2 12964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦))
196		simp13 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ≤ 𝑦)
197		zre 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
198		zre 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
199	197, 198	anim12ci 626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
200	199	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
201	200	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
202		subge0 11822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑦))
203	201, 202	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑦))
204	196, 203	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 0 ≤ (𝑦 − 𝐾))
205	198	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
206	205	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
207	197	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℝ)
208	207	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ∈ ℝ)
209	206, 208	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ)
210		zre 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
211	210	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
212	211	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
213		nnrp 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
214	213	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ+)
215	149, 214	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ+)
216	215, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℝ+)
217	216	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℝ+)
218	217	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
219	206, 218	ltsubrpd 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) < 𝑦)
220		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → 𝑦 < 𝑁)
221	209, 206, 212, 219, 220	lttrd 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)
222	204, 221	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))
223	222	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))))
224	223	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))))
225	195, 224	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))))
226	225	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))
227	194, 226	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)))
228	227	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁))
229		modid 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 𝐾) ∧ (𝑦 − 𝐾) < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 − 𝐾))
230	193, 228, 229	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) = (𝑦 − 𝐾))
231	230	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩)
232	191, 231	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩})
233		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}
234	232, 233	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
235	234	3mix3d 1357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 𝐾) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 𝐾)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 𝐾) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
236	148, 160, 235	rspcedvdw 3580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
237	236	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
238	133, 237	jaod 873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0..^𝐾) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
239	50, 238	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
240	239	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
241		gpgedgvtx0.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
242	1, 2, 3, 241	gpgedgel 49117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
243	1, 2, 3, 241	gpgedgel 49117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
244	1, 2, 3, 241	gpgedgel 49117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
245	242, 243, 244	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
246	245	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
247	35, 43, 240, 246	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
248	247	adantrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
249		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → 𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩)
250		1ex 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
251	250, 9	op2ndd 8010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
252	251	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
253	252	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
254	253	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
255	249, 254	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
256	255	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
257	251	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
258	249, 257	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩})
259	258	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
260	251	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) − 𝐾) = (𝑦 − 𝐾))
261	260	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁))
262	261	opeq2d 4840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
263	249, 262	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩})
264	263	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
265	256, 259, 264	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → (({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨0, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
266	248, 265	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
267	266	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨1, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
268	15, 267	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 1) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
269	268	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝑥 = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
270	12, 269	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
271	270	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
272	271	rexlimdvva 3220	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
273	5, 272	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((1st ‘𝑋) = 1 → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
274	273	imp32 424	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 1)) → ({𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1^st c1st 7997  2^nd c2nd 7998  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ⌈cceil 13924   mod cmo 14002  Vtxcvtx 29567  Edgcedg 29618   gPetersenGr cgpg 49107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-ico 13475  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-ceil 13926  df-mod 14003  df-hash 14468  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-edgf 29560  df-vtx 29569  df-iedg 29570  df-edg 29619  df-gpg 49108

This theorem is used by:  gpgedg2iv  49134  gpgnbgrvtx1  49142