Theorem elhf3 9889

Description: A set is hereditarily finite if and only if it is finite and all its members are hereditarily finite. (Contributed by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
elhf3	⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ))

Proof of Theorem elhf3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ Fin)
2		hfelhf 9884	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Hf ) → 𝑥 ∈ Hf )
3	2	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ Hf ))
4	3	ssrdv 3937	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ⊆ Hf )
5	1, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ))
6		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Hf ↔ ∅ ∈ Hf ))
7		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝑦 ∈ Hf ))
8		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ Hf ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
9		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ Hf ))
10		0hf 9885	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Hf
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) → ∅ ∈ Hf )
12		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13		ssel2 3926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ Hf ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Hf )
14	12, 13	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ Hf ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ Hf )
15		hfadj 9888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Hf ∧ 𝑧 ∈ Hf ) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf )
16	15	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Hf → (𝑦 ∈ Hf → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ Hf ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑦 ∈ Hf → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
18	17	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∈ Hf → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Hf ))
19		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) → 𝐴 ∈ Fin)
20	6, 7, 8, 9, 11, 18, 19	findcard2d 9168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )
21	5, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Hf ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  Fincfn 8959   Hf chf 9878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-reg 9571  ax-inf2 9627

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-r1 9753  df-rank 9754  df-hf 9879

This theorem is used by: (None)