Theorem elhf4 9912

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.) Use HF. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
elhf4	⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elhf4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)
2		r1tr 9783	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
3		trel 5219	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
5	4	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6	5	reximdv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
7		elhf 9907	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
8		elhf 9907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ HF ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9	6, 7, 8	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ HF → 𝑥 ∈ HF ))
10	9	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ HF ))
11	10	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF )
12	1, 11	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ))
13		df-hf 9905	. . . . 5 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
14	13	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ HF ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
15	14	ralbii 3108	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
16		limom 7893	. . . . 5 ⊢ Lim ω
17		r1filimi 9903	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ Lim ω) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
18	16, 17	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
19	18, 13	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ HF )
20	15, 19	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ) → 𝐴 ∈ HF )
21	12, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∪ cuni 4866  Tr wtr 5211   “ cima 5653  Lim wlim 6363  ‘cfv 6538  ωcom 7877  Fincfn 8973  𝑅₁cr1 9766   HF chf 9904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-r1 9768  df-rank 9769  df-hf 9905

This theorem is used by:  elhf3  9913  hfelhf  9914  r1omhf  35731