Theorem elhf4 9936

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.) Use HF. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
elhf4	⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elhf4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)
2		r1tr 9807	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
3		trel 5223	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
5	4	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6	5	reximdv 3181	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
7		elhf 9931	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
8		elhf 9931	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ HF ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9	6, 7, 8	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ HF → 𝑥 ∈ HF ))
10	9	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ HF ))
11	10	ralrimiv 3157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF )
12	1, 11	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ))
13		df-hf 9929	. . . . 5 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
14	13	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ HF ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
15	14	ralbii 3112	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
16		limom 7914	. . . . 5 ⊢ Lim ω
17		r1filimi 9927	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ Lim ω) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
18	16, 17	mp3an3 1480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
19	18, 13	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ HF )
20	15, 19	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ) → 𝐴 ∈ HF )
21	12, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ HF ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∪ cuni 4870  Tr wtr 5215   “ cima 5658  Lim wlim 6378  ‘cfv 6555  ωcom 7898  Fincfn 8998  𝑅₁cr1 9790   HF chf 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002  df-r1 9792  df-rank 9793  df-hf 9929

This theorem is used by:  elhf3  9937  hfelhf  9938  r1omhf  35812