Theorem elons2d 28417

Description: The cut of any set of surreals and the empty set is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elons2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elons2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
elons2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))

Assertion

Ref	Expression
elons2d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Proof of Theorem elons2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elons2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elons2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	elpwd 4573	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 No )
4		elons2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))
5		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 |s ∅) = (𝐴 |s ∅))
6	5	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 |s ∅) ↔ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)))
7	6	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 No ∧ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
8	3, 4, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
9		elons2 28416	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
10	8, 9	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  (class class class)co 7411   No csur 27769   |s ccuts 27917  On_scons 28409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8452  df-2o 8453  df-no 27772  df-lts 27773  df-bday 27774  df-les 27874  df-slts 27916  df-cuts 27918  df-made 27985  df-old 27986  df-left 27988  df-right 27989  df-ons 28410

This theorem is referenced by:  oncutlt  28422  oniso  28429  onaddscl  28435  onmulscl  28436