Theorem elons2d 28657

Description: The cut of any set of surreals and the empty set is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elons2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elons2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
elons2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))

Assertion

Ref	Expression
elons2d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Proof of Theorem elons2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elons2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elons2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
3	1, 2	elpwd 4565	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 No)
4		elons2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))
5		oveq1 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 |s ∅) = (𝐴 |s ∅))
6	5	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 |s ∅) ↔ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)))
7	6	rspcev 3579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 No ∧ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝑋 = (𝑎 |s ∅))
8	3, 4, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝑋 = (𝑎 |s ∅))
9		elons2 28656	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝑋 = (𝑎 |s ∅))
10	8, 9	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559  (class class class)co 7427  Nocsur 28009   |s ccuts 28157  On_scons 28649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014  df-les 28114  df-slts 28156  df-cuts 28158  df-made 28225  df-old 28226  df-left 28228  df-right 28229  df-ons 28650

This theorem is used by:  oncutlt  28662  oniso  28669  onaddscl  28675  onmulscl  28676