Theorem elons2d 28218

Description: The cut of any set of surreals and the empty set is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elons2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elons2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
elons2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))

Assertion

Ref	Expression
elons2d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Proof of Theorem elons2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elons2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elons2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	elpwd 4586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 No )
4		elons2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))
5		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 |s ∅) = (𝐴 |s ∅))
6	5	eqeq2d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 |s ∅) ↔ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)))
7	6	rspcev 3605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 No ∧ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
9		elons2 28217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
10	8, 9	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  (class class class)co 7413   No csur 27620   |s cscut 27763  On_scons 28210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-1o 8488  df-2o 8489  df-no 27623  df-slt 27624  df-bday 27625  df-sle 27726  df-sslt 27762  df-scut 27764  df-made 27822  df-old 27823  df-left 27825  df-right 27826  df-ons 28211

This theorem is referenced by:  onaddscl  28222  onmulscl  28223