Theorem elons2d 28297

Description: The cut of any set of surreals and the empty set is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elons2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elons2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
elons2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))

Assertion

Ref	Expression
elons2d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Proof of Theorem elons2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elons2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elons2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	elpwd 4611	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 No )
4		elons2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s ∅))
5		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 |s ∅) = (𝐴 |s ∅))
6	5	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋 = (𝑎 |s ∅) ↔ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)))
7	6	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 No ∧ 𝑋 = (𝐴 |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
9		elons2 28296	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑋 = (𝑎 |s ∅))
10	8, 9	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  (class class class)co 7431   No csur 27699   |s cscut 27842  On_scons 28289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-ons 28290

This theorem is referenced by:  onaddscl  28301  onmulscl  28302