Theorem enqeq 10946

Description: Corollary of nqereu 10941: if two fractions are both reduced and equivalent, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enqeq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem enqeq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
2		elpqn 10937	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 ∈ (N × N))
3	2	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ∈ (N × N))
4		nqereu 10941	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (N × N) → ∃!𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵)
5		reurmo 3370	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵)
7		df-rmo 3367	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵))
8	6, 7	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵))
9		3simpb 1167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵))
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
11		enqer 10933	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ~Q Er (N × N))
13	12, 3	erref 8720	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ~Q 𝐵)
14	10, 13	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ~Q 𝐵))
15		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
16		breq1 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ~Q 𝐵 ↔ 𝐴 ~Q 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵)))
18		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
19		breq1 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ~Q 𝐵 ↔ 𝐵 ~Q 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ~Q 𝐵)))
21	17, 20	moi 3679	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ~Q 𝐵))) → 𝐴 = 𝐵)
22	1, 8, 9, 14, 21	syl112anc 1401	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2564  ∃!wreu 3365  ∃*wrmo 3366   class class class wbr 5107   × cxp 5657   Er wer 8696  Ncnpi 10856   ~_Q ceq 10863  Qcnq 10864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-ni 10884  df-mi 10886  df-lti 10887  df-enq 10923  df-nq 10924

This theorem is used by:  nqereq  10947  ltsonq  10981