MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enqeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enqeq 10974
Description: Corollary of nqereu 10969: if two fractions are both reduced and equivalent, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enqeq ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem enqeq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1149 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴Q𝐵Q))
2 elpqn 10965 . . . . 5 (𝐵Q𝐵 ∈ (N × N))
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ∈ (N × N))
4 nqereu 10969 . . . 4 (𝐵 ∈ (N × N) → ∃!𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵)
5 reurmo 3383 . . . 4 (∃!𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵 → ∃*𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵)
63, 4, 53syl 18 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵)
7 df-rmo 3380 . . 3 (∃*𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵 ↔ ∃*𝑥(𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵))
86, 7sylib 218 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵))
9 3simpb 1150 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐵))
10 simp2 1138 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵Q)
11 enqer 10961 . . . . 5 ~Q Er (N × N)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → ~Q Er (N × N))
1312, 3erref 8765 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ~Q 𝐵)
1410, 13jca 511 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐵Q𝐵 ~Q 𝐵))
15 eleq1 2829 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
16 breq1 5146 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ~Q 𝐵𝐴 ~Q 𝐵))
1715, 16anbi12d 632 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐵)))
18 eleq1 2829 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥Q𝐵Q))
19 breq1 5146 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ~Q 𝐵𝐵 ~Q 𝐵))
2018, 19anbi12d 632 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐵Q𝐵 ~Q 𝐵)))
2117, 20moi 3724 . 2 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ ∃*𝑥(𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵) ∧ ((𝐴Q𝐴 ~Q 𝐵) ∧ (𝐵Q𝐵 ~Q 𝐵))) → 𝐴 = 𝐵)
221, 8, 9, 14, 21syl112anc 1376 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ∃*wmo 2538  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379   class class class wbr 5143   × cxp 5683   Er wer 8742  Ncnpi 10884   ~Q ceq 10891  Qcnq 10892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-enq 10951  df-nq 10952
This theorem is referenced by:  nqereq  10975  ltsonq  11009
  Copyright terms: Public domain W3C validator