Theorem enqeq 10919

Description: Corollary of nqereu 10914: if two fractions are both reduced and equivalent, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enqeq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem enqeq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
2		elpqn 10910	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 ∈ (N × N))
3	2	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ∈ (N × N))
4		nqereu 10914	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (N × N) → ∃!𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵)
5		reurmo 3378	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵)
7		df-rmo 3375	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ Q 𝑥 ~Q 𝐵 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵))
8	6, 7	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵))
9		3simpb 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵))
10		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
11		enqer 10906	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ~Q Er (N × N))
13	12, 3	erref 8715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ~Q 𝐵)
14	10, 13	jca 520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ~Q 𝐵))
15		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
16		breq1 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ~Q 𝐵 ↔ 𝐴 ~Q 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵)))
18		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
19		breq1 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ~Q 𝐵 ↔ 𝐵 ~Q 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ~Q 𝐵)))
21	17, 20	moi 3688	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ~Q 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ~Q 𝐵))) → 𝐴 = 𝐵)
22	1, 8, 9, 14, 21	syl112anc 1399	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃*wmo 2571  ∃!wreu 3373  ∃*wrmo 3374   class class class wbr 5111   × cxp 5660   Er wer 8691  Ncnpi 10829   ~_Q ceq 10836  Qcnq 10837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-ni 10857  df-mi 10859  df-lti 10860  df-enq 10896  df-nq 10897

This theorem is referenced by:  nqereq  10920  ltsonq  10954