MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enqeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enqeq 10911
Description: Corollary of nqereu 10906: if two fractions are both reduced and equivalent, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enqeq ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem enqeq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1148 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴Q𝐵Q))
2 elpqn 10902 . . . . 5 (𝐵Q𝐵 ∈ (N × N))
323ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ∈ (N × N))
4 nqereu 10906 . . . 4 (𝐵 ∈ (N × N) → ∃!𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵)
5 reurmo 3378 . . . 4 (∃!𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵 → ∃*𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵)
63, 4, 53syl 18 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵)
7 df-rmo 3375 . . 3 (∃*𝑥Q 𝑥 ~Q 𝐵 ↔ ∃*𝑥(𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵))
86, 7sylib 217 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵))
9 3simpb 1149 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐵))
10 simp2 1137 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵Q)
11 enqer 10898 . . . . 5 ~Q Er (N × N)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → ~Q Er (N × N))
1312, 3erref 8706 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ~Q 𝐵)
1410, 13jca 512 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → (𝐵Q𝐵 ~Q 𝐵))
15 eleq1 2820 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
16 breq1 5144 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ~Q 𝐵𝐴 ~Q 𝐵))
1715, 16anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐵)))
18 eleq1 2820 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥Q𝐵Q))
19 breq1 5144 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ~Q 𝐵𝐵 ~Q 𝐵))
2018, 19anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵) ↔ (𝐵Q𝐵 ~Q 𝐵)))
2117, 20moi 3710 . 2 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ ∃*𝑥(𝑥Q𝑥 ~Q 𝐵) ∧ ((𝐴Q𝐴 ~Q 𝐵) ∧ (𝐵Q𝐵 ~Q 𝐵))) → 𝐴 = 𝐵)
221, 8, 9, 14, 21syl112anc 1374 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ∃*wmo 2531  ∃!wreu 3373  ∃*wrmo 3374   class class class wbr 5141   × cxp 5667   Er wer 8683  Ncnpi 10821   ~Q ceq 10828  Qcnq 10829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-ni 10849  df-mi 10851  df-lti 10852  df-enq 10888  df-nq 10889
This theorem is referenced by:  nqereq  10912  ltsonq  10946
  Copyright terms: Public domain W3C validator