Theorem esplyval 33961

Description: The elementary polynomials for a given index 𝐼 of variables and base ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
esplyval	⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑐,ℎ,𝑘   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑘, 𝑐)   𝐷(ℎ, 𝑘, 𝑐)   𝑅(ℎ, 𝑐)   𝑉(ℎ, 𝑘, 𝑐)   𝑊(ℎ, 𝑘, 𝑐)

Proof of Theorem esplyval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esply 33957	. . 3 ⊢ eSymPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑟) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → eSymPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑟) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))))))
3		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤRHom‘𝑟) = (ℤRHom‘𝑅))
4	3	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (ℤRHom‘𝑟) = (ℤRHom‘𝑅))
5		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℕ0 ↑m 𝑖) = (ℕ0 ↑m 𝐼))
6	5	rabeqdv 3430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7		esplyval.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
8	6, 7	eqtr4di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷)
9	8	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0}) = (𝟭‘𝐷))
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0}) = (𝟭‘𝐷))
11		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝟭‘𝑖) = (𝟭‘𝐼))
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝟭‘𝑖) = (𝟭‘𝐼))
13		pweq 4575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → 𝒫 𝑖 = 𝒫 𝐼)
14	13	rabeqdv 3430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})
16	12, 15	imaeq12d 6062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))
17	10, 16	fveq12d 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))
18	4, 17	coeq12d 5849	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((ℤRHom‘𝑟) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))))
19	18	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑟) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
20	19	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑟) ∘ ((𝟭‘{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ ℎ finSupp 0})‘((𝟭‘𝑖) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑖 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
21		esplyval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	21	elexd 3477	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		esplyval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
24	23	elexd 3477	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
25		nn0ex 12516	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	mptex 7221	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))) ∈ V
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))) ∈ V)
28	2, 20, 22, 24, 27	ovmpod 7564	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   “ cima 5663   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8822   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  𝟭cind 12224  ℕ₀cn0 12510  ♯chash 14373  ℤRHomczrh 21660  eSymPolycesply 33955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-nn 12240  df-n0 12511  df-esply 33957

This theorem is used by:  esplyfval  33962  esplyfval0  33963