Theorem esplyfval 34265

Description: The 𝐾-th elementary polynomial for a given index 𝐼 of variables and base ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
esplyfval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
esplyfval	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑐,ℎ   𝐾,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑐)   𝐷(ℎ, 𝑐)   𝑅(ℎ, 𝑐)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ, 𝑐)   𝑊(ℎ, 𝑐)

Proof of Theorem esplyfval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 𝐾))
2	1	rabbidv 3423	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
3	2	imaeq2d 6064	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
4	3	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
5	4	coeq2d 5846	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
6		esplyval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		esplyval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		esplyval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9	6, 7, 8	esplyval 34264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
10		esplyfval.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		fvexd 6923	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∈ V)
13	11, 12	coexd 7967	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) ∈ V)
14	5, 9, 10, 13	fvmptd4 7041	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875   finSupp cfsupp 9381  0cc0 11227  𝟭cind 12347  ℕ₀cn0 12633  ♯chash 14501  ℤRHomczrh 21835  eSymPolycesply 34258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-nn 12363  df-n0 12634  df-esply 34260

This theorem is used by:  esplyfval2  34267  esplympl  34269  esplymhp  34270  esplyfv1  34271  esplyfv  34272  esplyfval3  34274  vieta  34282