Theorem esplyfval 34128

Description: The 𝐾-th elementary polynomial for a given index 𝐼 of variables and base ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
esplyfval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
esplyfval	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑐,ℎ   𝐾,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑐)   𝐷(ℎ, 𝑐)   𝑅(ℎ, 𝑐)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ, 𝑐)   𝑊(ℎ, 𝑐)

Proof of Theorem esplyfval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 𝐾))
2	1	rabbidv 3419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
3	2	imaeq2d 6050	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
4	3	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
5	4	coeq2d 5836	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
6		esplyval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		esplyval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		esplyval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9	6, 7, 8	esplyval 34127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
10		esplyfval.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		fvexd 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∈ V)
13	11, 12	coexd 7926	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) ∈ V)
14	5, 9, 10, 13	fvmptd4 7006	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11171  𝟭cind 12289  ℕ₀cn0 12575  ♯chash 14441  ℤRHomczrh 21766  eSymPolycesply 34121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-1cn 11229  ax-addcl 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12305  df-n0 12576  df-esply 34123

This theorem is used by:  esplyfval2  34130  esplympl  34132  esplymhp  34133  esplyfv1  34134  esplyfv  34135  esplyfval3  34137  vieta  34145