Theorem esplyfval 33721

Description: The 𝐾-th elementary polynomial for a given index 𝐼 of variables and base ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
esplyval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
esplyfval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
esplyfval	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑐,ℎ   𝐾,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑐)   𝐷(ℎ,𝑐)   𝑅(ℎ,𝑐)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑐)   𝑊(ℎ,𝑐)

Proof of Theorem esplyfval

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((♯‘𝑐) = 𝑘 ↔ (♯‘𝑐) = 𝐾))
2	1	rabbidv 3406	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
3	2	imaeq2d 6019	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}) = ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
4	3	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})) = ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
5	4	coeq2d 5811	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
6		esplyval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		esplyval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		esplyval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9	6, 7, 8	esplyval 33720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼eSymPoly𝑅) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑘})))))
10		esplyfval.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ V)
12		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∈ V)
13	11, 12	coexd 7873	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) ∈ V)
14	5, 9, 10, 13	fvmptd4 6965	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253  ℤRHomczrh 21454  𝟭cind 32929  eSymPolycesply 33714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-n0 12402  df-esply 33716

This theorem is referenced by:  esplyfval2  33723  esplympl  33725  esplymhp  33726  esplyfv1  33727  esplyfv  33728  esplyfval3  33730  vieta  33736