Theorem issply 33755

Description: Conditions for being a symmetric polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
issply.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
issply.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
issply.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
issply.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
issply.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
issply.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
issply.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
issply.1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
issply	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼,𝑝,𝑥   ℎ,𝑀,𝑝,𝑥   𝑃,ℎ,𝑝,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑆,𝑝   ℎ,𝑝,𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ,𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑥,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝)   𝑊(𝑥,ℎ,𝑝)

Proof of Theorem issply

Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑐 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issply.1	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))
2	1	mpteq2dva 5167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		coeq2 5802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∘ 𝑐) = (𝑦 ∘ 𝑑))
4	3	fveq2d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)) = (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
5	4	mpteq2dv 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
6		fveq1 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
7	6	mpteq2dv 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
8	5, 7	cbvmpov 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
9		coeq1 5801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑑))
10	9	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
11	10	cbvmptv 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
13	12	mpoeq3ia 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
14	8, 13	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
16		issply.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	eqcomi 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷)
19		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
20		coeq2 5802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑝 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
21	20	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
22	19, 21	fveq12d 6837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)))
23	18, 22	mpteq12dv 5161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
24	23	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
25		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
26		issply.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
27	26	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑀)
28		ovex 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
29	16, 28	rabex2 5271	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ V)
31	30	mptexd 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) ∈ V)
32	15, 24, 25, 27, 31	ovmpod 7511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
33		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35		issply.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
36	16	psrbasfsupp 33705	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
37	33, 34, 35, 36, 27	mplelf 21975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38	37	feqmptd 6898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
39	2, 32, 38	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
40	39	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
41		issply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
42		issply.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
43		issply.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	42, 41, 35, 14, 43	mplvrpmga 33739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
45	41, 44, 26	isfxp 33251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹))
46	40, 45	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
47		issply.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
48	42, 41, 35, 14, 43, 47	splyval 33753	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼SymPoly𝑅) = (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
49	46, 48	eleqtrrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  {crab 3393  Vcvv 3433   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155   ∘ ccom 5624  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∈ cmpo 7361   ↑_m cmap 8767   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11034  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  SymGrpcsymg 19338   mPoly cmpl 21884  FixPtscfxp 33246  SymPolycsply 33749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-efmnd 18832  df-grp 18907  df-ga 19259  df-symg 19339  df-psr 21887  df-mpl 21889  df-fxp 33247  df-sply 33751

This theorem is referenced by:  esplysply  33765