Theorem issply 33710

Description: Conditions for being a symmetric polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
issply.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
issply.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
issply.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
issply.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
issply.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
issply.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
issply.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
issply.1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
issply	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼,𝑝,𝑥   ℎ,𝑀,𝑝,𝑥   𝑃,ℎ,𝑝,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑆,𝑝   ℎ,𝑝,𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ,𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑥,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝)   𝑊(𝑥,ℎ,𝑝)

Proof of Theorem issply

Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑐 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issply.1	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))
2	1	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		coeq2 5805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∘ 𝑐) = (𝑦 ∘ 𝑑))
4	3	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)) = (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
5	4	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
6		fveq1 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
7	6	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
8	5, 7	cbvmpov 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
9		coeq1 5804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑑))
10	9	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
11	10	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
13	12	mpoeq3ia 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
14	8, 13	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
16		issply.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷)
19		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
20		coeq2 5805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑝 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
22	19, 21	fveq12d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)))
23	18, 22	mpteq12dv 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
26		issply.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑀)
28		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
29	16, 28	rabex2 5276	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ V)
31	30	mptexd 7170	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) ∈ V)
32	15, 24, 25, 27, 31	ovmpod 7510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
33		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35		issply.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
36	16	psrbasfsupp 33677	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
37	33, 34, 35, 36, 27	mplelf 21954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38	37	feqmptd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
39	2, 32, 38	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
40	39	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
41		issply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
42		issply.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
43		issply.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	42, 41, 35, 14, 43	mplvrpmga 33694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
45	41, 44, 26	isfxp 33234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹))
46	40, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
47		issply.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
48	42, 41, 35, 14, 43, 47	splyval 33708	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼SymPoly𝑅) = (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
49	46, 48	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8764   finSupp cfsupp 9265  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  SymGrpcsymg 19302   mPoly cmpl 21863  FixPtscfxp 33229  SymPolycsply 33704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-efmnd 18795  df-grp 18870  df-ga 19223  df-symg 19303  df-psr 21866  df-mpl 21868  df-fxp 33230  df-sply 33706

This theorem is referenced by:  esplysply  33720