Theorem issply 34260

Description: Conditions for being a symmetric polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
issply.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
issply.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
issply.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
issply.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
issply.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
issply.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
issply.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
issply.1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
issply	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼,𝑝,𝑥   ℎ,𝑀,𝑝,𝑥   𝑃,ℎ,𝑝,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑆,𝑝   ℎ,𝑝,𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ, 𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑥, ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑥, ℎ, 𝑝)   𝑊(𝑥, ℎ, 𝑝)

Proof of Theorem issply

Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑐 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issply.1	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))
2	1	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		coeq2 5841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∘ 𝑐) = (𝑦 ∘ 𝑑))
4	3	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)) = (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
5	4	mpteq2dv 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
6		fveq1 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
7	6	mpteq2dv 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
8	5, 7	cbvmpov 7535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
9		coeq1 5840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑑))
10	9	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
11	10	cbvmptv 5212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
13	12	mpoeq3ia 7518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
14	8, 13	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
16		issply.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷)
19		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
20		coeq2 5841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑝 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
22	19, 21	fveq12d 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)))
23	18, 22	mpteq12dv 5195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
26		issply.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑀)
28		ovex 7473	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
29	16, 28	rabex2 5306	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ V)
31	30	mptexd 7250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) ∈ V)
32	15, 24, 25, 27, 31	ovmpod 7593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
33		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35		issply.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
36	16	psrbasfsupp 34210	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
37	33, 34, 35, 36, 27	mplelf 22332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38	37	feqmptd 6973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
39	2, 32, 38	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
40	39	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
41		issply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
42		issply.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
43		issply.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	42, 41, 35, 14, 43	mplvrpmga 34244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
45	41, 44, 26	isfxp 33796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹))
46	40, 45	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
47		issply.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
48	42, 41, 35, 14, 43, 47	splyval 34258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼SymPoly𝑅) = (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
49	46, 48	eleqtrrd 2867	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442   ↑_m cmap 8872   finSupp cfsupp 9378  0cc0 11224  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  SymGrpcsymg 19610   mPoly cmpl 22241  FixPtscfxp 33791  SymPolycsply 34254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-tset 17473  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-efmnd 19091  df-grp 19173  df-ga 19531  df-symg 19611  df-psr 22244  df-mpl 22246  df-fxp 33792  df-sply 34256

This theorem is used by:  esplysply  34270