Theorem issply 33960

Description: Conditions for being a symmetric polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
issply.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
issply.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
issply.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
issply.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
issply.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
issply.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
issply.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
issply.1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
issply	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼,𝑝,𝑥   ℎ,𝑀,𝑝,𝑥   𝑃,ℎ,𝑝,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑆,𝑝   ℎ,𝑝,𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ, 𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑥, ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑥, ℎ, 𝑝)   𝑊(𝑥, ℎ, 𝑝)

Proof of Theorem issply

Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑐 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issply.1	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))
2	1	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		coeq2 5843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∘ 𝑐) = (𝑦 ∘ 𝑑))
4	3	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)) = (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
5	4	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
6		fveq1 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
7	6	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
8	5, 7	cbvmpov 7507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
9		coeq1 5842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑑))
10	9	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
11	10	cbvmptv 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
13	12	mpoeq3ia 7490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
14	8, 13	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
16		issply.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷)
19		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
20		coeq2 5843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑝 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
21	20	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
22	19, 21	fveq12d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)))
23	18, 22	mpteq12dv 5197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
24	23	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
26		issply.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
27	26	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑀)
28		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
29	16, 28	rabex2 5310	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ V)
31	30	mptexd 7222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) ∈ V)
32	15, 24, 25, 27, 31	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
33		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35		issply.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
36	16	psrbasfsupp 33910	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
37	33, 34, 35, 36, 27	mplelf 22158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38	37	feqmptd 6949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
39	2, 32, 38	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
40	39	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
41		issply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
42		issply.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
43		issply.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	42, 41, 35, 14, 43	mplvrpmga 33944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
45	41, 44, 26	isfxp 33497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹))
46	40, 45	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
47		issply.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
48	42, 41, 35, 14, 43, 47	splyval 33958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼SymPoly𝑅) = (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
49	46, 48	eleqtrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8822   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  SymGrpcsymg 19445   mPoly cmpl 22067  FixPtscfxp 33492  SymPolycsply 33954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-tset 17335  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-efmnd 18934  df-grp 19009  df-ga 19366  df-symg 19446  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-fxp 33493  df-sply 33956

This theorem is used by:  esplysply  33970