Theorem issply 33591

Description: Conditions for being a symmetric polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
issply.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
issply.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
issply.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
issply.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
issply.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
issply.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
issply.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
issply.1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
issply	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼,𝑝,𝑥   ℎ,𝑀,𝑝,𝑥   𝑃,ℎ,𝑝,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑆,𝑝   ℎ,𝑝,𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ,𝑝)   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑥,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝)   𝑊(𝑥,ℎ,𝑝)

Proof of Theorem issply

Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑐 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issply.1	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (𝐹‘𝑥))
2	1	mpteq2dva 5186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		coeq2 5803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∘ 𝑐) = (𝑦 ∘ 𝑑))
4	3	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)) = (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
5	4	mpteq2dv 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
6		fveq1 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))
7	6	mpteq2dv 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
8	5, 7	cbvmpov 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))))
9		coeq1 5802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑑))
10	9	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)) = (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
11	10	cbvmptv 5197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
13	12	mpoeq3ia 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑦 ∘ 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
14	8, 13	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
16		issply.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
17	16	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = 𝐷)
19		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
20		coeq2 5803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑝 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝑝))
22	19, 21	fveq12d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝)))
23	18, 22	mpteq12dv 5180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑑 = 𝑝 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
26		issply.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑀)
28		ovex 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
29	16, 28	rabex2 5281	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ V)
31	30	mptexd 7164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))) ∈ V)
32	15, 24, 25, 27, 31	ovmpod 7504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑝))))
33		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35		issply.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
36	16	psrbasfsupp 33579	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
37	33, 34, 35, 36, 27	mplelf 21941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38	37	feqmptd 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
39	2, 32, 38	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
40	39	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹)
41		issply.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
42		issply.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
43		issply.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	42, 41, 35, 14, 43	mplvrpmga 33582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐)))) ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
45	41, 44, 26	isfxp 33144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))𝐹) = 𝐹))
46	40, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
47		issply.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
48	42, 41, 35, 14, 43, 47	splyval 33589	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼SymPoly𝑅) = (𝑀FixPts(𝑐 ∈ 𝑃, 𝑒 ∈ 𝑀 ↦ (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑒‘(𝑦 ∘ 𝑐))))))
49	46, 48	eleqtrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354   ↑_m cmap 8756   finSupp cfsupp 9251  0cc0 11012  ℕ₀cn0 12387  Basecbs 17126  SymGrpcsymg 19287   mPoly cmpl 21849  FixPtscfxp 33139  SymPolycsply 33585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-tset 17186  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-efmnd 18783  df-grp 18855  df-ga 19208  df-symg 19288  df-psr 21852  df-mpl 21854  df-fxp 33140  df-sply 33587

This theorem is referenced by:  esplysply  33599