MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfibOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfibOLD 9369
Description: Obsolete version of fodomfib 9367 as of 23-Jun-2025. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fodomfibOLD (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfibOLD
StepHypRef Expression
1 fof 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
21fdmd 6747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
32eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4 dm0rn0 5938 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5 forn 6824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
65eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
74, 6bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
83, 7bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
98necon3bid 2983 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
109biimpac 478 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
1110adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1312rnex 7933 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 ∈ V
145, 13eqeltrrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
16 0sdomg 9143 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1911, 18mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2019ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21 fodomfi 9348 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2221ex 412 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2420, 23jcad 512 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2524exlimdv 1931 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625expimpd 453 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
27 sdomdomtr 9149 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
28 0sdomg 9143 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2927, 28imbitrid 244 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
30 fodomr 9167 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3129, 30jca2 513 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)))
3226, 31impbid 212 1 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  ontowfo 6561  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator