Theorem prjcrv0 42648

Description: The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjcrv0.y	⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
prjcrv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prjcrv0.p	⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
prjcrv0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjcrv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
prjcrv0	⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Proof of Theorem prjcrv0

Dummy variables 𝑘 𝑝 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) mHomP 𝐾) = ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) eval 𝐾) = ((0...𝑁) eval 𝐾)
3		prjcrv0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
5		prjcrv0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		prjcrv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
7		fvssunirn 6938	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁) ⊆ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
8		prjcrv0.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		prjcrv0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
11		ovexd 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
12	6	fldcrngd 20743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
13	12	crnggrpd 20245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
14	8, 9, 4, 10, 11, 13	mpl0 22027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}))
15	1, 4, 9, 11, 13, 5	mhp0cl 22151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}) ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
16	14, 15	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
17	7, 16	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17	prjcrvval 42647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}})
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		ovexd 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0...𝑁) ∈ V)
21	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ CRing)
22	2, 19, 8, 4, 10, 20, 21	evl0 42572	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) = (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}))
23	22	imaeq1d 6076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝))
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
25		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
26	6	flddrngd 20742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
27	3, 24, 25, 5, 26	prjspnssbas 42636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
28		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)}
29	24, 19, 4, 28	frlmbas 21776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Field ∧ (0...𝑁) ∈ V) → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
30	6, 11, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
31		ssrab2 4079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁))
32	30, 31	eqsstrrdi 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
33	32	ssdifssd 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
34	33	sspwd 4612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
35	27, 34	sstrd 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
36	35	sselda 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
37	36	elpwid 4608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
38		sseqin2 4222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ↔ (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
39	37, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
40	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ0)
41	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ DivRing)
42		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
43	3, 24, 25, 40, 41, 42	prjspnn0 42637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ ∅)
44	39, 43	eqnetrd 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅)
45		xpima2 6203	. . . . 5 ⊢ ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅ → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
47	23, 46	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
48	47	rabeqcda 3447	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}} = 𝑃)
49	18, 48	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   × cxp 5682  ^◡ccnv 5683  ran crn 5685   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  0cc0 11156  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13548  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  CRingccrg 20232  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731   freeLMod cfrlm 21767   mPoly cmpl 21927   eval cevl 22098   mHomP cmhp 22134  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 42629  ℙ𝕣𝕠𝕛Crvcprjcrv 42644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-evls 22099  df-evl 22100  df-mhp 22141  df-prjsp 42617  df-prjspn 42630  df-prjcrv 42645

This theorem is referenced by: (None)