Theorem prjcrv0 43090

Description: The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjcrv0.y	⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
prjcrv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prjcrv0.p	⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
prjcrv0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjcrv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
prjcrv0	⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Proof of Theorem prjcrv0

Dummy variables 𝑘 𝑝 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) mHomP 𝐾) = ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) eval 𝐾) = ((0...𝑁) eval 𝐾)
3		prjcrv0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
5		prjcrv0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		prjcrv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
7		fvssunirn 6865	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁) ⊆ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
8		prjcrv0.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		prjcrv0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
11		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
12	6	fldcrngd 20721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
13	12	crnggrpd 20226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
14	8, 9, 4, 10, 11, 13	mpl0 21987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}))
15	1, 4, 9, 11, 13, 5	mhp0cl 22141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}) ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
16	14, 15	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
17	7, 16	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17	prjcrvval 43089	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}})
19		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0...𝑁) ∈ V)
21	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ CRing)
22	2, 19, 8, 4, 10, 20, 21	evl0 43042	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) = (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}))
23	22	imaeq1d 6018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝))
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
25		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
26	6	flddrngd 20720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
27	3, 24, 25, 5, 26	prjspnssbas 43078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
28		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)}
29	24, 19, 4, 28	frlmbas 21737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Field ∧ (0...𝑁) ∈ V) → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
30	6, 11, 29	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
31		ssrab2 4018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁))
32	30, 31	eqsstrrdi 3967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
33	32	ssdifssd 4084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
34	33	sspwd 4549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
35	27, 34	sstrd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
36	35	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
37	36	elpwid 4545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
38		sseqin2 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ↔ (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
39	37, 38	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
40	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ0)
41	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ DivRing)
42		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
43	3, 24, 25, 40, 41, 42	prjspnn0 43079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ ∅)
44	39, 43	eqnetrd 3002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅)
45		xpima2 6142	. . . . 5 ⊢ ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅ → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
47	23, 46	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
48	47	rabeqcda 3403	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}} = 𝑃)
49	18, 48	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   “ cima 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  0cc0 11036  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ...cfz 13459  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  CRingccrg 20213  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709   freeLMod cfrlm 21728   mPoly cmpl 21888   eval cevl 22056   mHomP cmhp 22128  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 43071  ℙ𝕣𝕠𝕛Crvcprjcrv 43086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-field 20711  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-evls 22057  df-evl 22058  df-mhp 22131  df-prjsp 43059  df-prjspn 43072  df-prjcrv 43087

This theorem is referenced by: (None)