Theorem prjcrv0 41029

Description: The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjcrv0.y	⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
prjcrv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prjcrv0.p	⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
prjcrv0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjcrv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
prjcrv0	⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Proof of Theorem prjcrv0

Dummy variables 𝑘 𝑝 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) mHomP 𝐾) = ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) eval 𝐾) = ((0...𝑁) eval 𝐾)
3		prjcrv0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
5		prjcrv0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		prjcrv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
7		fvssunirn 6880	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁) ⊆ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
8		prjcrv0.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		prjcrv0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
11		ovexd 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
12	6	fldcrngd 20237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
13	12	crnggrpd 19992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
14	8, 9, 4, 10, 11, 13	mpl0 21449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}))
15	1, 4, 9, 11, 13, 5	mhp0cl 21573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}) ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
16	14, 15	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
17	7, 16	sselid 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17	prjcrvval 41028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}})
19		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		ovexd 7397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0...𝑁) ∈ V)
21	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ CRing)
22	2, 19, 8, 4, 10, 20, 21	evl0 40801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) = (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}))
23	22	imaeq1d 6017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝))
24		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
26	6	flddrngd 40780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
27	3, 24, 25, 5, 26	prjspnssbas 41017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
28		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)}
29	24, 19, 4, 28	frlmbas 21198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Field ∧ (0...𝑁) ∈ V) → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
30	6, 11, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
31		ssrab2 4042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁))
32	30, 31	eqsstrrdi 4002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
33	32	ssdifssd 4107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
34	33	sspwd 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
35	27, 34	sstrd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
36	35	sselda 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
37	36	elpwid 4574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
38		sseqin2 4180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ↔ (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
39	37, 38	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
40	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ0)
41	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ DivRing)
42		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
43	3, 24, 25, 40, 41, 42	prjspnn0 41018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ ∅)
44	39, 43	eqnetrd 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅)
45		xpima2 6141	. . . . 5 ⊢ ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅ → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
47	23, 46	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
48	47	rabeqcda 3416	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}} = 𝑃)
49	18, 48	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  {crab 3405  Vcvv 3446   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5110   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   “ cima 5641  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8772  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9312  0cc0 11060  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422  ...cfz 13434  Basecbs 17094  0_gc0g 17335  CRingccrg 19979  DivRingcdr 20225  Fieldcfield 20226   freeLMod cfrlm 21189   mPoly cmpl 21345   eval cevl 21518   mHomP cmhp 21556  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 41010  ℙ𝕣𝕠𝕛Crvcprjcrv 41025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-hom 17171  df-cco 17172  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-ghm 19020  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-srg 19932  df-ring 19980  df-cring 19981  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-rnghom 20162  df-drng 20227  df-field 20228  df-subrg 20268  df-lmod 20380  df-lss 20450  df-lsp 20490  df-lvec 20621  df-sra 20692  df-rgmod 20693  df-dsmm 21175  df-frlm 21190  df-assa 21296  df-asp 21297  df-ascl 21298  df-psr 21348  df-mvr 21349  df-mpl 21350  df-evls 21519  df-evl 21520  df-mhp 21560  df-prjsp 40998  df-prjspn 41011  df-prjcrv 41026

This theorem is referenced by: (None)