Theorem prjcrv0 43935

Description: The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjcrv0.y	⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
prjcrv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prjcrv0.p	⊢ 𝑃 = (𝑁 ℙrojn 𝐾)
prjcrv0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjcrv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
prjcrv0	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ℙrojCrv 𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Proof of Theorem prjcrv0

Dummy variables 𝑘 𝑝 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) mHomP 𝐾) = ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) eval 𝐾) = ((0...𝑁) eval 𝐾)
3		prjcrv0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑁 ℙrojn 𝐾)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
5		prjcrv0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		prjcrv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
7		fvssunirn 6947	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁) ⊆ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
8		prjcrv0.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		prjcrv0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
11		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
12	6	fldcrngd 21046	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
13	12	crnggrpd 20525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
14	8, 9, 4, 10, 11, 13	mpl0 22368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}))
15	1, 4, 9, 11, 13, 5	mhp0cl 22522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}) ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
16	14, 15	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
17	7, 16	sselid 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17	prjcrvval 43934	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ℙrojCrv 𝐾)‘ 0 ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}})
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0...𝑁) ∈ V)
21	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ CRing)
22	2, 19, 8, 4, 10, 20, 21	evl0 43879	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) = (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}))
23	22	imaeq1d 6069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝))
24		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
25		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
26	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	6	flddrngd 21045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ DivRing)
29		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
30	3, 24, 25, 26, 28, 29	elprjspnss 43916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)}
32	24, 19, 4, 31	frlmbas 22116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Field ∧ (0...𝑁) ∈ V) → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
33	6, 11, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
34		ssrab2 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁))
35	33, 34	eqsstrrdi 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
36	35	ssdifssd 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
38	30, 37	sstrd 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
39		sseqin2 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ↔ (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
40	38, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
41	3, 26, 28, 29	prjspnn0 43917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ ∅)
42	40, 41	eqnetrd 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅)
43		xpima2 6194	. . . . 5 ⊢ ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅ → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
44	42, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
45	23, 44	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
46	45	rabeqcda 3427	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}} = 𝑃)
47	18, 46	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ℙrojCrv 𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   “ cima 5661  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  CRingccrg 20511  DivRingcdr 21031  Fieldcfield 21032   freeLMod cfrlm 22107   mPoly cmpl 22269   eval cevl 22437   mHomP cmhp 22509   ℙroj_n cprjspn 43908   ℙrojCrv cprjcrv 43931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-field 21034  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-evls 22438  df-evl 22439  df-mhp 22512  df-prjsp 43896  df-prjspn 43909  df-prjcrv 43932

This theorem is used by: (None)