Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjcrv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjcrv0 41677
Description: The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prjcrv0.y 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
prjcrv0.0 0 = (0g𝑌)
prjcrv0.p 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
prjcrv0.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjcrv0.k (𝜑𝐾 ∈ Field)
Assertion
Ref Expression
prjcrv0 (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Proof of Theorem prjcrv0
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 ((0...𝑁) mHomP 𝐾) = ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
2 eqid 2732 . . 3 ((0...𝑁) eval 𝐾) = ((0...𝑁) eval 𝐾)
3 prjcrv0.p . . 3 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
4 eqid 2732 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
5 prjcrv0.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 prjcrv0.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
7 fvssunirn 6924 . . . 4 (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁) ⊆ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
8 prjcrv0.y . . . . . 6 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
9 eqid 2732 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0m (0...𝑁)) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m (0...𝑁)) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
10 prjcrv0.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑌)
11 ovexd 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
126fldcrngd 20513 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
1312crnggrpd 20141 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Grp)
148, 9, 4, 10, 11, 13mpl0 21784 . . . . 5 (𝜑0 = ({ ∈ (ℕ0m (0...𝑁)) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝐾)}))
151, 4, 9, 11, 13, 5mhp0cl 21908 . . . . 5 (𝜑 → ({ ∈ (ℕ0m (0...𝑁)) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝐾)}) ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
1614, 15eqeltrd 2833 . . . 4 (𝜑0 ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
177, 16sselid 3980 . . 3 (𝜑0 ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 17prjcrvval 41676 . 2 (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = {𝑝𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g𝐾)}})
19 eqid 2732 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20 ovexd 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → (0...𝑁) ∈ V)
2112adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ∈ CRing)
222, 19, 8, 4, 10, 20, 21evl0 41431 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → (((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) = (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g𝐾)}))
2322imaeq1d 6058 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g𝐾)}) “ 𝑝))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
266flddrngd 20512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
273, 24, 25, 5, 26prjspnssbas 41665 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g𝐾)} = {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g𝐾)}
2924, 19, 4, 28frlmbas 21529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Field ∧ (0...𝑁) ∈ V) → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
306, 11, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
31 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g𝐾)} ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁))
3230, 31eqsstrrdi 4037 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
3332ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
3433sspwd 4615 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
3527, 34sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
3635sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
3736elpwid 4611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
38 sseqin2 4215 . . . . . . 7 (𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ↔ (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
3937, 38sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
405adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4126adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ∈ DivRing)
42 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
433, 24, 25, 40, 41, 42prjspnn0 41666 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝 ≠ ∅)
4439, 43eqnetrd 3008 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅)
45 xpima2 6183 . . . . 5 ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅ → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g𝐾)})
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g𝐾)})
4723, 46eqtrd 2772 . . 3 ((𝜑𝑝𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g𝐾)})
4847rabeqcda 3443 . 2 (𝜑 → {𝑝𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g𝐾)}} = 𝑃)
4918, 48eqtrd 2772 1 (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   cuni 4908   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ccnv 5675  ran crn 5677  cima 5679  cfv 6543  (class class class)co 7411  m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  cn 12216  0cn0 12476  ...cfz 13488  Basecbs 17148  0gc0g 17389  CRingccrg 20128  DivRingcdr 20500  Fieldcfield 20501   freeLMod cfrlm 21520   mPoly cmpl 21678   eval cevl 21853   mHomP cmhp 21891  ℙ𝕣𝕠𝕛ncprjspn 41658  ℙ𝕣𝕠𝕛Crvcprjcrv 41673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-evls 21854  df-evl 21855  df-mhp 21895  df-prjsp 41646  df-prjspn 41659  df-prjcrv 41674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator