Theorem prjcrv0 40783

Description: The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjcrv0.y	⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
prjcrv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
prjcrv0.p	⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
prjcrv0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjcrv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
prjcrv0	⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Proof of Theorem prjcrv0

Dummy variables 𝑘 𝑝 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) mHomP 𝐾) = ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) eval 𝐾) = ((0...𝑁) eval 𝐾)
3		prjcrv0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
5		prjcrv0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		prjcrv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
7		fvssunirn 6859	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁) ⊆ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾)
8		prjcrv0.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((0...𝑁) mPoly 𝐾)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		prjcrv0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
11		ovexd 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
12	6	fldcrngd 20106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
13	12	crnggrpd 19893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
14	8, 9, 4, 10, 11, 13	mpl0 21319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}))
15	1, 4, 9, 11, 13, 5	mhp0cl 21443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑁)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝐾)}) ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
16	14, 15	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (((0...𝑁) mHomP 𝐾)‘𝑁))
17	7, 16	sselid 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ ran ((0...𝑁) mHomP 𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17	prjcrvval 40782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}})
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20		ovexd 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0...𝑁) ∈ V)
21	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ CRing)
22	2, 19, 8, 4, 10, 20, 21	evl0 40582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) = (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}))
23	22	imaeq1d 5999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝))
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
25		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) = ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))})
26	6	flddrngd 40566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
27	3, 24, 25, 5, 26	prjspnssbas 40771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}))
28		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)}
29	24, 19, 4, 28	frlmbas 21069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Field ∧ (0...𝑁) ∈ V) → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
30	6, 11, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} = (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
31		ssrab2 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑘 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑘 finSupp (0g‘𝐾)} ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁))
32	30, 31	eqsstrrdi 3987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
33	32	ssdifssd 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
34	33	sspwd 4561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ((Base‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) ∖ {(0g‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))}) ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
35	27, 34	sstrd 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
36	35	sselda 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝒫 ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
37	36	elpwid 4557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)))
38		sseqin2 4163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ⊆ ((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ↔ (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
39	37, 38	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) = 𝑝)
40	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ0)
41	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ DivRing)
42		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
43	3, 24, 25, 40, 41, 42	prjspnn0 40772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ ∅)
44	39, 43	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅)
45		xpima2 6123	. . . . 5 ⊢ ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) ∩ 𝑝) ≠ ∅ → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((Base‘𝐾) ↑m (0...𝑁)) × {(0g‘𝐾)}) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
47	23, 46	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)})
48	47	rabeqcda 3414	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((0...𝑁) eval 𝐾)‘ 0 ) “ 𝑝) = {(0g‘𝐾)}} = 𝑃)
49	18, 48	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛Crv𝐾)‘ 0 ) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  {crab 3403  Vcvv 3441   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4270  𝒫 cpw 4548  {csn 4574  ∪ cuni 4853   class class class wbr 5093   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  ran crn 5622   “ cima 5624  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338   ↑_m cmap 8687  Fincfn 8805   finSupp cfsupp 9227  0cc0 10973  ℕcn 12075  ℕ₀cn0 12335  ...cfz 13341  Basecbs 17010  0_gc0g 17248  CRingccrg 19880  DivRingcdr 20094  Fieldcfield 20095   freeLMod cfrlm 21060   mPoly cmpl 21216   eval cevl 21388   mHomP cmhp 21426  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 40764  ℙ𝕣𝕠𝕛Crvcprjcrv 40779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-ofr 7597  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-tpos 8113  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-ec 8572  df-qs 8576  df-map 8689  df-pm 8690  df-ixp 8758  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-sup 9300  df-oi 9368  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-seq 13824  df-hash 14147  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19817  df-ur 19834  df-srg 19838  df-ring 19881  df-cring 19882  df-oppr 19958  df-dvdsr 19979  df-unit 19980  df-invr 20010  df-rnghom 20055  df-drng 20096  df-field 20097  df-subrg 20128  df-lmod 20232  df-lss 20301  df-lsp 20341  df-lvec 20472  df-sra 20541  df-rgmod 20542  df-dsmm 21046  df-frlm 21061  df-assa 21167  df-asp 21168  df-ascl 21169  df-psr 21219  df-mvr 21220  df-mpl 21221  df-evls 21389  df-evl 21390  df-mhp 21430  df-prjsp 40752  df-prjspn 40765  df-prjcrv 40780

This theorem is referenced by: (None)