MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0mulcl 13441
Description: The nonnegative reals are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ge0mulcl ((๐ด โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž))

Proof of Theorem ge0mulcl
StepHypRef Expression
1 elrege0 13434 . 2 (๐ด โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
2 elrege0 13434 . 2 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
3 remulcl 11194 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
43ad2ant2r 744 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5 mulge0 11733 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
6 elrege0 13434 . . 3 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
74, 5, 6sylanbrc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž))
81, 2, 7syl2anb 597 1 ((๐ด โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (0[,)+โˆž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246   โ‰ค cle 11250  [,)cico 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ico 13333
This theorem is referenced by:  fprodge0  15940  rge0srg  21327  itg2mulclem  25626  itg2mulc  25627
  Copyright terms: Public domain W3C validator