Theorem ge0addcl 13362

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ge0addcl	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem ge0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13356	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		elrege0 13356	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
3		readdcl 11096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5		addge0 11613	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	5	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7		elrege0 13356	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (0[,)+∞))
9	1, 2, 8	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   + caddc 11016  +∞cpnf 11150   ≤ cle 11154  [,)cico 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ico 13253

This theorem is referenced by:  fsumge0  15704  rege0subm  21362  ovolsf  25401  itg2addlem  25687  esumfsupre  34105  esumpfinvallem  34108  itg2addnc  37734  ftc1anclem3  37755  ftc1anclem6  37758  ftc1anclem7  37759  ftc1anclem8  37760