MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulc 25112
Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2mulc (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3 itg2mulc.3 . . . . 5 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6 elrege0 13371 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
75, 6sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
87simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98anim1i 615 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 elrp 12917 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
119, 10sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
122, 4, 11itg2mulclem 25111 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
13 ge0mulcl 13378 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15 fconst6g 6731 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17 reex 11142 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
19 inidm 4178 . . . . . . . 8 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 7635 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22 icossicc 13353 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23 fss 6685 . . . . . . . . 9 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
2420, 22, 23sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
268, 3remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
28 itg2lecl 25103 . . . . . . 7 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
2925, 27, 12, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
3011rpreccld 12967 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3121, 29, 30itg2mulclem 25111 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
322feqmptd 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
33 rge0ssre 13373 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
3533, 34sstri 3953 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36 fss 6685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
371, 35, 36sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4039mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
4140mpteq2dva 5205 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4232, 41eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))))
4317a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44 1red 11156 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4543, 30, 11ofc12 7645 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . 10 (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
4745, 46eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
488recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5011rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5149, 50recid2d 11927 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5251mpteq2dv 5207 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5347, 52eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5443, 44, 39, 53, 32offval2 7637 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))))
5530rpcnd 12959 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56 fconst6g 6731 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58 fconst6g 6731 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
5949, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60 mulass 11139 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6160adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6243, 57, 59, 38, 61caofass 7654 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
6342, 54, 623eqtr2d 2782 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
6463fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
6529recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
6665, 49, 50divrec2d 11935 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
6731, 64, 663brtr4d 5137 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴))
684, 29, 11lemuldiv2d 13007 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴)))
6967, 68mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
70 itg2cl 25097 . . . . . 6 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
7124, 70syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
7226rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 13073 . . . . 5 (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
7471, 72, 73syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
7574adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
7612, 69, 75mpbir2and 711 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
7717a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
7837adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
798adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80 0re 11157 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
8382oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84 mul02 11333 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
8584adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
8683, 85eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
8777, 78, 79, 81, 86caofid2 7651 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
8887fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89 itg20 25102 . . . 4 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
9088, 89eqtrdi 2792 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = 0)
913adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
9291recnd 11183 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℂ)
9392mul02d 11353 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2𝐹)) = 0)
94 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
9594oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
9690, 93, 953eqtr2d 2782 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
977simprd 496 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98 leloe 11241 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9980, 8, 98sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
10097, 99mpbid 231 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
10176, 96, 100mpjaodan 957 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  2citg2 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25195  itgmulc2lem1  25196  bddmulibl  25203  iblmulc2nc  36143  itgmulc2nclem1  36144
  Copyright terms: Public domain W3C validator