MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2mulc 25256
Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2mulc.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2mulc (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 itg2mulc.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6 elrege0 13427 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
75, 6sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
87simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98anim1i 615 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 elrp 12972 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
119, 10sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
122, 4, 11itg2mulclem 25255 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
13 ge0mulcl 13434 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15 fconst6g 6777 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
17 reex 11197 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
19 inidm 4217 . . . . . . . 8 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 7684 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
22 icossicc 13409 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
23 fss 6731 . . . . . . . . 9 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
2420, 22, 23sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
268, 3remulcld 11240 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
28 itg2lecl 25247 . . . . . . 7 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ)
2925, 27, 12, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ)
3011rpreccld 13022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3121, 29, 30itg2mulclem 25255 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))) ≀ ((1 / 𝐴) Β· (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))))
322feqmptd 6957 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
33 rge0ssre 13429 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
34 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
3533, 34sstri 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
36 fss 6731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
371, 35, 36sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
4039mullidd 11228 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
4140mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4232, 41eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
4317a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ℝ ∈ V)
44 1red 11211 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
4543, 30, 11ofc12 7694 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) = (ℝ Γ— {((1 / 𝐴) Β· 𝐴)}))
46 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— {((1 / 𝐴) Β· 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴))
4745, 46eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴)))
488recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5011rpne0d 13017 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  0)
5149, 50recid2d 11982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
5251mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5347, 52eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5443, 44, 39, 53, 32offval2 7686 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
5530rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
56 fconst6g 6777 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}):β„βŸΆβ„‚)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}):β„βŸΆβ„‚)
58 fconst6g 6777 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„‚)
5949, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„‚)
60 mulass 11194 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
6160adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
6243, 57, 59, 38, 61caofass 7703 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
6342, 54, 623eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹 = ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
6463fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫2β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))))
6529recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ β„‚)
6665, 49, 50divrec2d 11990 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))))
6731, 64, 663brtr4d 5179 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) / 𝐴))
684, 29, 11lemuldiv2d 13062 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) / 𝐴)))
6967, 68mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
70 itg2cl 25241 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ*)
7124, 70syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ*)
7226rexrd 11260 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 13129 . . . . 5 (((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))))
7471, 72, 73syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))))
7574adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))))
7612, 69, 75mpbir2and 711 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
7717a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ ℝ ∈ V)
7837adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
798adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
80 0re 11212 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
82 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 = 𝐴)
8382oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· π‘₯))
84 mul02 11388 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
8584adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
8683, 85eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = 0)
8777, 78, 79, 81, 86caofid2 7700 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (ℝ Γ— {0}))
8887fveq2d 6892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})))
89 itg20 25246 . . . 4 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
9088, 89eqtrdi 2788 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = 0)
913adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
9291recnd 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ β„‚)
9392mul02d 11408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (0 Β· (∫2β€˜πΉ)) = 0)
94 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 0 = 𝐴)
9594oveq1d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (0 Β· (∫2β€˜πΉ)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
9690, 93, 953eqtr2d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
977simprd 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
98 leloe 11296 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9980, 8, 98sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
10097, 99mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
10176, 96, 100mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„+crp 12970  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  βˆ«2citg2 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-0p 25178
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25339  itgmulc2lem1  25340  bddmulibl  25347  iblmulc2nc  36541  itgmulc2nclem1  36542
  Copyright terms: Public domain W3C validator