Theorem itg2mulc 25668

Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2mulc	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2mulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
5		itg2mulc.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6		elrege0 13346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8	7	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		elrp 12884	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	9, 10	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	2, 4, 11	itg2mulclem 25667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
13		ge0mulcl 13353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15		fconst6g 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17		reex 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
19		inidm 4175	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
20	14, 16, 1, 18, 18, 19	off 7623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22		icossicc 13328	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23		fss 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
24	20, 22, 23	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
26	8, 3	remulcld 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
28		itg2lecl 25659	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 12, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	11	rpreccld 12936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31	21, 29, 30	itg2mulclem 25667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
32	2	feqmptd 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
33		rge0ssre 13348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 11055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36		fss 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
37	1, 35, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
40	39	mullidd 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
41	40	mpteq2dva 5182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
42	32, 41	eqtr4d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
43	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44		1red 11105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
45	43, 30, 11	ofc12 7635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46		fconstmpt 5676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
47	45, 46	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
48	8	recnd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	11	rpne0d 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
51	49, 50	recid2d 11885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
52	51	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
53	47, 52	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
54	43, 44, 39, 53, 32	offval2 7625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
55	30	rpcnd 12928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56		fconst6g 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58		fconst6g 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60		mulass 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
62	43, 57, 59, 38, 61	caofass 7645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
63	42, 54, 62	3eqtr2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
64	63	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
65	29	recnd 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
66	65, 49, 50	divrec2d 11893	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
67	31, 64, 66	3brtr4d 5121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴))
68	4, 29, 11	lemuldiv2d 12976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴)))
69	67, 68	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
70		itg2cl 25653	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
71	24, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
72	26	rexrd 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13045	. . . . 5 ⊢ (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
74	71, 72, 73	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
75	74	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
76	12, 69, 75	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
77	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
78	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
79	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		0re 11106	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
83	82	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84		mul02 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
85	84	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
86	83, 85	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
87	77, 78, 79, 81, 86	caofid2 7641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
88	87	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89		itg20 25658	. . . 4 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
90	88, 89	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = 0)
91	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
92	91	recnd 11132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	mul02d 11303	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = 0)
94		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
95	94	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
96	90, 93, 95	3eqtr2d 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
97	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98		leloe 11191	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
99	80, 8, 98	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
100	97, 99	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
101	76, 96, 100	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  {csn 4574   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003  +∞cpnf 11135  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   ≤ cle 11139   / cdiv 11766  ℝ⁺crp 12882  [,)cico 13239  [,]cicc 13240  ∫₂citg2 25537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xadd 13004  df-ioo 13241  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-sum 15586  df-xmet 21277  df-met 21278  df-ovol 25385  df-vol 25386  df-mbf 25540  df-itg1 25541  df-itg2 25542  df-0p 25591

This theorem is referenced by:  iblmulc2  25752  itgmulc2lem1  25753  bddmulibl  25760  iblmulc2nc  37704  itgmulc2nclem1  37705