Theorem itg2mulc 26098

Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2mulc	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2mulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
5		itg2mulc.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6		elrege0 13612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8	7	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		elrp 13149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	9, 10	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	2, 4, 11	itg2mulclem 26097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
13		ge0mulcl 13619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15		fconst6g 6793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
16	5, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17		reex 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
19		inidm 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
20	14, 16, 1, 18, 18, 19	off 7735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22		icossicc 13594	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23		fss 6748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
24	20, 22, 23	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
26	8, 3	remulcld 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
28		itg2lecl 26089	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 12, 28	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	11	rpreccld 13201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31	21, 29, 30	itg2mulclem 26097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
32	2	feqmptd 6976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
33		rge0ssre 13614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36		fss 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
37	1, 35, 36	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
40	39	mullidd 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
41	40	mpteq2dva 5201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
42	32, 41	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
43	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44		1red 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
45	43, 30, 11	ofc12 7747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46		fconstmpt 5717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
47	45, 46	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
48	8	recnd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	11	rpne0d 13196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
51	49, 50	recid2d 12116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
52	51	mpteq2dv 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
53	47, 52	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
54	43, 44, 39, 53, 32	offval2 7737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
55	30	rpcnd 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56		fconst6g 6793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58		fconst6g 6793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
59	49, 58	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60		mulass 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
61	60	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
62	43, 57, 59, 38, 61	caofass 7757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
63	42, 54, 62	3eqtr2d 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
64	63	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
65	29	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
66	65, 49, 50	divrec2d 12124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
67	31, 64, 66	3brtr4d 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴))
68	4, 29, 11	lemuldiv2d 13241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴)))
69	67, 68	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
70		itg2cl 26083	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
71	24, 70	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
72	26	rexrd 11386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13310	. . . . 5 ⊢ (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
74	71, 72, 73	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
75	74	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
76	12, 69, 75	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
77	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
78	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
79	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		0re 11337	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
83	82	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84		mul02 11515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
85	84	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
86	83, 85	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
87	77, 78, 79, 81, 86	caofid2 7753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
88	87	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89		itg20 26088	. . . 4 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
90	88, 89	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = 0)
91	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
92	91	recnd 11364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	mul02d 11535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = 0)
94		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
95	94	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
96	90, 93, 95	3eqtr2d 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
97	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98		leloe 11423	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
99	80, 8, 98	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
100	97, 99	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
101	76, 96, 100	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  ℝ⁺crp 13147  [,)cico 13505  [,]cicc 13506  ∫₂citg2 25967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xadd 13269  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-xmet 21701  df-met 21702  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971  df-itg2 25972  df-0p 26021

This theorem is used by:  iblmulc2  26181  itgmulc2lem1  26182  bddmulibl  26189  iblmulc2nc  38795  itgmulc2nclem1  38796