Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulc 24340
 Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2mulc (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3 itg2mulc.3 . . . . 5 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
43adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6 elrege0 12834 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
75, 6sylib 220 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
87simpld 497 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98anim1i 616 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 elrp 12383 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
119, 10sylibr 236 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
122, 4, 11itg2mulclem 24339 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
13 ge0mulcl 12841 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
1413adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15 fconst6g 6561 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17 reex 10620 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
19 inidm 4193 . . . . . . . 8 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 7416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
2120adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22 icossicc 12816 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23 fss 6520 . . . . . . . . 9 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
2420, 22, 23sylancl 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
2524adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
268, 3remulcld 10663 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
2726adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
28 itg2lecl 24331 . . . . . . 7 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
2925, 27, 12, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
3011rpreccld 12433 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3121, 29, 30itg2mulclem 24339 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
322feqmptd 6726 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
33 rge0ssre 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34 ax-resscn 10586 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
3533, 34sstri 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36 fss 6520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
371, 35, 36sylancl 588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4039mulid2d 10651 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
4140mpteq2dva 5152 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4232, 41eqtr4d 2857 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))))
4317a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44 1red 10634 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4543, 30, 11ofc12 7426 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46 fconstmpt 5607 . . . . . . . . . 10 (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
4745, 46syl6eq 2870 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
488recnd 10661 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4948adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5011rpne0d 12428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5149, 50recid2d 11404 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5251mpteq2dv 5153 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5347, 52eqtrd 2854 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5443, 44, 39, 53, 32offval2 7418 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹𝑦))))
5530rpcnd 12425 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56 fconst6g 6561 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58 fconst6g 6561 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
5949, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60 mulass 10617 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6160adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
6243, 57, 59, 38, 61caofass 7435 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
6342, 54, 623eqtr2d 2860 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
6463fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
6529recnd 10661 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
6665, 49, 50divrec2d 11412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
6731, 64, 663brtr4d 5089 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴))
684, 29, 11lemuldiv2d 12473 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴)))
6967, 68mpbird 259 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
70 itg2cl 24325 . . . . . 6 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
7124, 70syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
7226rexrd 10683 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 12539 . . . . 5 (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
7471, 72, 73syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
7574adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
7612, 69, 75mpbir2and 711 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
7717a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
7837adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
798adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80 0re 10635 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
8382oveq1d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84 mul02 10810 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
8584adantl 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
8683, 85eqtr3d 2856 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
8777, 78, 79, 81, 86caofid2 7432 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
8887fveq2d 6667 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89 itg20 24330 . . . 4 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
9088, 89syl6eq 2870 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = 0)
913adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
9291recnd 10661 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℂ)
9392mul02d 10830 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2𝐹)) = 0)
94 simpr 487 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
9594oveq1d 7163 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
9690, 93, 953eqtr2d 2860 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
977simprd 498 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98 leloe 10719 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9980, 8, 98sylancr 589 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
10097, 99mpbid 234 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
10176, 96, 100mpjaodan 955 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  {csn 4559   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∘f cof 7399  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   / cdiv 11289  ℝ+crp 12381  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  ∫2citg2 24209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20530  df-met 20531  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213  df-itg2 24214  df-0p 24263 This theorem is referenced by:  iblmulc2  24423  itgmulc2lem1  24424  bddmulibl  24431  iblmulc2nc  34949  itgmulc2nclem1  34950
 Copyright terms: Public domain W3C validator