Theorem itg2mulc 25194

Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2mulc	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2mulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
5		itg2mulc.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6		elrege0 13413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8	7	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		elrp 12958	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	9, 10	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	2, 4, 11	itg2mulclem 25193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
13		ge0mulcl 13420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15		fconst6g 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17		reex 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
19		inidm 4214	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
20	14, 16, 1, 18, 18, 19	off 7671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22		icossicc 13395	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23		fss 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
24	20, 22, 23	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
26	8, 3	remulcld 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
28		itg2lecl 25185	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 12, 28	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	11	rpreccld 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31	21, 29, 30	itg2mulclem 25193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
32	2	feqmptd 6946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
33		rge0ssre 13415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 11149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36		fss 6721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
37	1, 35, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
40	39	mullidd 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
41	40	mpteq2dva 5241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
42	32, 41	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
43	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44		1red 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
45	43, 30, 11	ofc12 7681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46		fconstmpt 5730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
47	45, 46	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
48	8	recnd 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	11	rpne0d 13003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
51	49, 50	recid2d 11968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
52	51	mpteq2dv 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
53	47, 52	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
54	43, 44, 39, 53, 32	offval2 7673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
55	30	rpcnd 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56		fconst6g 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58		fconst6g 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60		mulass 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
61	60	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
62	43, 57, 59, 38, 61	caofass 7690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
63	42, 54, 62	3eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
64	63	fveq2d 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
65	29	recnd 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
66	65, 49, 50	divrec2d 11976	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
67	31, 64, 66	3brtr4d 5173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴))
68	4, 29, 11	lemuldiv2d 13048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴)))
69	67, 68	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
70		itg2cl 25179	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
71	24, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
72	26	rexrd 11246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13115	. . . . 5 ⊢ (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
74	71, 72, 73	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
75	74	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
76	12, 69, 75	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
77	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
78	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
79	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		0re 11198	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
83	82	oveq1d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84		mul02 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
85	84	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
86	83, 85	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
87	77, 78, 79, 81, 86	caofid2 7687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
88	87	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89		itg20 25184	. . . 4 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
90	88, 89	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = 0)
91	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
92	91	recnd 11224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	mul02d 11394	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = 0)
94		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
95	94	oveq1d 7408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
96	90, 93, 95	3eqtr2d 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
97	7	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98		leloe 11282	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
99	80, 8, 98	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
100	97, 99	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
101	76, 96, 100	mpjaodan 957	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ⊆ wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ∘_f cof 7651  ℂcc 11090  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   · cmul 11097  +∞cpnf 11227  ℝ^*cxr 11229   < clt 11230   ≤ cle 11231   / cdiv 11853  ℝ⁺crp 12956  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  ∫₂citg2 25062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xadd 13075  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-xmet 20871  df-met 20872  df-ovol 24910  df-vol 24911  df-mbf 25065  df-itg1 25066  df-itg2 25067  df-0p 25116

This theorem is referenced by:  iblmulc2  25277  itgmulc2lem1  25278  bddmulibl  25285  iblmulc2nc  36357  itgmulc2nclem1  36358