MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2mulc 25707
Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2mulc.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2mulc (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
21adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
3 itg2mulc.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
43adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6 elrege0 13463 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
75, 6sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
87simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98anim1i 613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 elrp 13008 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
119, 10sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
122, 4, 11itg2mulclem 25706 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
13 ge0mulcl 13470 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
1413adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15 fconst6g 6784 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
17 reex 11229 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
19 inidm 4218 . . . . . . . 8 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 7701 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
2120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
22 icossicc 13445 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
23 fss 6737 . . . . . . . . 9 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
2420, 22, 23sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
268, 3remulcld 11274 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
28 itg2lecl 25698 . . . . . . 7 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ)
2925, 27, 12, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ)
3011rpreccld 13058 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3121, 29, 30itg2mulclem 25706 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))) ≀ ((1 / 𝐴) Β· (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))))
322feqmptd 6964 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
33 rge0ssre 13465 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
34 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
3533, 34sstri 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
36 fss 6737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
371, 35, 36sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 7091 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
4039mullidd 11262 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
4140mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4232, 41eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
4317a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ℝ ∈ V)
44 1red 11245 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
4543, 30, 11ofc12 7712 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) = (ℝ Γ— {((1 / 𝐴) Β· 𝐴)}))
46 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— {((1 / 𝐴) Β· 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴))
4745, 46eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴)))
488recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5011rpne0d 13053 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  0)
5149, 50recid2d 12016 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
5251mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5347, 52eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
5443, 44, 39, 53, 32offval2 7703 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
5530rpcnd 13050 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
56 fconst6g 6784 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}):β„βŸΆβ„‚)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}):β„βŸΆβ„‚)
58 fconst6g 6784 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„‚)
5949, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„‚)
60 mulass 11226 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
6160adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
6243, 57, 59, 38, 61caofass 7721 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· (ℝ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
6342, 54, 623eqtr2d 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐹 = ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
6463fveq2d 6898 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫2β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))))
6529recnd 11272 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ β„‚)
6665, 49, 50divrec2d 12024 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))))
6731, 64, 663brtr4d 5180 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) / 𝐴))
684, 29, 11lemuldiv2d 13098 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ↔ (∫2β€˜πΉ) ≀ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) / 𝐴)))
6967, 68mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
70 itg2cl 25692 . . . . . 6 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ*)
7124, 70syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ*)
7226rexrd 11294 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 13165 . . . . 5 (((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))))
7471, 72, 73syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))))
7574adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ≀ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))))
7612, 69, 75mpbir2and 711 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
7717a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ ℝ ∈ V)
7837adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
798adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
80 0re 11246 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
82 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 = 𝐴)
8382oveq1d 7432 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· π‘₯))
84 mul02 11422 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
8584adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
8683, 85eqtr3d 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = 0)
8777, 78, 79, 81, 86caofid2 7718 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (ℝ Γ— {0}))
8887fveq2d 6898 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})))
89 itg20 25697 . . . 4 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
9088, 89eqtrdi 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = 0)
913adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
9291recnd 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ β„‚)
9392mul02d 11442 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (0 Β· (∫2β€˜πΉ)) = 0)
94 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ 0 = 𝐴)
9594oveq1d 7432 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (0 Β· (∫2β€˜πΉ)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
9690, 93, 953eqtr2d 2771 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 = 𝐴) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
977simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
98 leloe 11330 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9980, 8, 98sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
10097, 99mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
10176, 96, 100mpjaodan 956 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3945  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ∘f cof 7681  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   / cdiv 11901  β„+crp 13006  [,)cico 13358  [,]cicc 13359  βˆ«2citg2 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-xmet 21276  df-met 21277  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580  df-0p 25629
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25790  itgmulc2lem1  25791  bddmulibl  25798  iblmulc2nc  37228  itgmulc2nclem1  37229
  Copyright terms: Public domain W3C validator