MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulclem 25111
Description: Lemma for itg2mulc 25112. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 icossicc 13353 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3 fss 6685 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 12967 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 12957 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 25068 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 25098 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹))
13123expia 1121 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
145, 11, 13syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
15 i1ff 25040 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 13373 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19 fss 6685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
201, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2221ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
237rpred 12957 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 12960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27 ledivmul 12031 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1374 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2917recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
3024recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
317adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 12962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
3429, 30, 33divrec2d 11935 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)))
3534breq1d 5115 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3628, 35bitr3d 280 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3736ralbidva 3172 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
38 reex 11142 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40 ovexd 7392 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ V)
4116feqmptd 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑦)))
427ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5694 . . . . . . . 8 (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6910 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7637 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7638 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
49 ovexd 7392 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ∈ V)
508ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5694 . . . . . . . 8 (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7637 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7638 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
5537, 48, 543bitr4d 310 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r𝐹))
566, 10itg1mulc 25069 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
57 itg1cl 25049 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
5958recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℂ)
6023adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
6259, 61, 32divrec2d 11935 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
6356, 62eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((∫1𝑓) / 𝐴))
6463breq1d 5115 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6665adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6725adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68 ledivmul 12031 . . . . . 6 (((∫1𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7064, 69bitr2d 279 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
7114, 55, 703imtr4d 293 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7271ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
73 ge0mulcl 13378 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6729 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77 rpre 12923 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 12928 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79 elrege0 13371 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4769 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6686 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
85 inidm 4178 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7635 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87 fss 6685 . . . 4 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
9089rexrd 11205 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 25099 . . 3 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9288, 90, 91syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9372, 92mpbird 256 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  r cofr 7616  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  1citg1 24979  2citg2 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985
This theorem is referenced by:  itg2mulc  25112
  Copyright terms: Public domain W3C validator