Theorem itg2mulclem 25111

Description: Lemma for itg2mulc 25112. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2mulclem	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13353	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3		fss 6685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7		itg2mulclem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	7	rpreccld 12967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	i1fmulc 25068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12		itg2ub 25098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹))
13	12	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
14	5, 11, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
15		i1ff 25040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
18		rge0ssre 13373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19		fss 6685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20	1, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
23	7	rpred 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	7	rpgt0d 12960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26	25	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27		ledivmul 12031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
28	17, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
29	17	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
30	24	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 12962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divrec2d 11935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)))
35	34	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
36	28, 35	bitr3d 280	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralbidva 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
38		reex 11142	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40		ovexd 7392	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
41	16	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑦)))
42	7	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43		fconstmpt 5694	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
45	1	feqmptd 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
47	39, 42, 22, 44, 46	offval2 7637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
48	39, 17, 40, 41, 47	ofrfval2 7638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
49		ovexd 7392	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
50	8	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51		fconstmpt 5694	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
53	39, 50, 17, 52, 41	offval2 7637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦))))
54	39, 49, 22, 53, 46	ofrfval2 7638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
55	37, 48, 54	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹))
56	6, 10	itg1mulc 25069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
57		itg1cl 25049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
58	57	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℂ)
60	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
62	59, 61, 32	divrec2d 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
63	56, 62	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((∫1‘𝑓) / 𝐴))
64	63	breq1d 5115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ ((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹)))
65		itg2mulc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
66	65	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
67	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68		ledivmul 12031	. . . . . 6 ⊢ (((∫1‘𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
69	58, 66, 60, 67, 68	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
70	64, 69	bitr2d 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
71	14, 55, 70	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
72	71	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
73		ge0mulcl 13378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
74	73	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75		fconstg 6729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
76	7, 75	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77		rpre 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
78		rpge0 12928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79		elrege0 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
80	77, 78, 79	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81	7, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
82	81	snssd 4769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
83	76, 82	fssd 6686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
84	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
85		inidm 4178	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
86	74, 83, 1, 84, 84, 85	off 7635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		fss 6685	. . . 4 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
88	86, 2, 87	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
89	23, 65	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
90	89	rexrd 11205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
91		itg2leub 25099	. . 3 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
92	88, 90, 91	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
93	72, 92	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ∫₁citg1 24979  ∫₂citg2 24980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25112