Theorem itg2mulclem 25663

Description: Lemma for itg2mulc 25664. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2mulclem	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13357	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3		fss 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7		itg2mulclem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	7	rpreccld 12965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	i1fmulc 25620	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12		itg2ub 25650	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹))
13	12	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
14	5, 11, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
15		i1ff 25593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
18		rge0ssre 13377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19		fss 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20	1, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
23	7	rpred 12955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	7	rpgt0d 12958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27		ledivmul 12019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
28	17, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
29	17	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
30	24	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 12960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divrec2d 11922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)))
35	34	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
36	28, 35	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralbidva 3150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
38		reex 11119	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40		ovexd 7388	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
41	16	feqmptd 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑦)))
42	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43		fconstmpt 5685	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
45	1	feqmptd 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
47	39, 42, 22, 44, 46	offval2 7637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
48	39, 17, 40, 41, 47	ofrfval2 7638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
49		ovexd 7388	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
50	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51		fconstmpt 5685	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
53	39, 50, 17, 52, 41	offval2 7637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦))))
54	39, 49, 22, 53, 46	ofrfval2 7638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
55	37, 48, 54	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹))
56	6, 10	itg1mulc 25621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
57		itg1cl 25602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℂ)
60	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
62	59, 61, 32	divrec2d 11922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
63	56, 62	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((∫1‘𝑓) / 𝐴))
64	63	breq1d 5105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ ((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹)))
65		itg2mulc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
67	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68		ledivmul 12019	. . . . . 6 ⊢ (((∫1‘𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
69	58, 66, 60, 67, 68	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
70	64, 69	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
71	14, 55, 70	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
72	71	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
73		ge0mulcl 13382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75		fconstg 6715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
76	7, 75	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77		rpre 12920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
78		rpge0 12925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79		elrege0 13375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
80	77, 78, 79	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81	7, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
82	81	snssd 4763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
83	76, 82	fssd 6673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
84	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
85		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
86	74, 83, 1, 84, 84, 85	off 7635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		fss 6672	. . . 4 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
88	86, 2, 87	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
89	23, 65	remulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
90	89	rexrd 11184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
91		itg2leub 25651	. . 3 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
92	88, 90, 91	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
93	72, 92	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11795  ℝ⁺crp 12911  [,)cico 13268  [,]cicc 13269  ∫₁citg1 25532  ∫₂citg2 25533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25664