MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2mulclem 25263
Description: Lemma for itg2mulc 25264. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
2 icossicc 13412 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
3 fss 6734 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
54adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 13025 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 13015 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 25220 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 25250 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
13123expia 1121 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
145, 11, 13syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
15 i1ff 25192 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 13432 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
19 fss 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
201, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
237rpred 13015 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 13018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 < 𝐴)
27 ledivmul 12089 . . . . . . . 8 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2917recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3024recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
317adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 13020 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 β‰  0)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
3429, 30, 33divrec2d 11993 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)))
3534breq1d 5158 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3628, 35bitr3d 280 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3736ralbidva 3175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
38 reex 11200 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
40 ovexd 7443 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ V)
4116feqmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
427ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7689 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7690 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
49 ovexd 7443 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∈ V)
508ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7689 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7690 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5537, 48, 543bitr4d 310 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹))
566, 10itg1mulc 25221 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
57 itg1cl 25201 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5958recnd 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
6023adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6259, 61, 32divrec2d 11993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
6356, 62eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴))
6463breq1d 5158 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6665adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6725adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 0 < 𝐴)
68 ledivmul 12089 . . . . . 6 (((∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7064, 69bitr2d 279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
7114, 55, 703imtr4d 293 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7271ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
73 ge0mulcl 13437 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
77 rpre 12981 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 12986 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 elrege0 13430 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4812 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6735 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
85 inidm 4218 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7687 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
87 fss 6734 . . . 4 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
9089rexrd 11263 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 25251 . . 3 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9288, 90, 91syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9372, 92mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ∘r cofr 7668  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  β„+crp 12973  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  βˆ«1citg1 25131  βˆ«2citg2 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137
This theorem is referenced by:  itg2mulc  25264
  Copyright terms: Public domain W3C validator