Theorem itg2mulclem 25801

Description: Lemma for itg2mulc 25802. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2mulclem	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13496	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3		fss 6763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7		itg2mulclem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	7	rpreccld 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
10	9	rpred 13099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	i1fmulc 25758	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12		itg2ub 25788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹))
13	12	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
14	5, 11, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
15		i1ff 25730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
18		rge0ssre 13516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19		fss 6763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20	1, 18, 19	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
23	7	rpred 13099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	7	rpgt0d 13102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26	25	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27		ledivmul 12171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
28	17, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
29	17	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
30	24	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 13104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divrec2d 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)))
35	34	breq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
36	28, 35	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralbidva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
38		reex 11275	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40		ovexd 7483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
41	16	feqmptd 6990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑦)))
42	7	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43		fconstmpt 5762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
45	1	feqmptd 6990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
47	39, 42, 22, 44, 46	offval2 7734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
48	39, 17, 40, 41, 47	ofrfval2 7735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
49		ovexd 7483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
50	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51		fconstmpt 5762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
53	39, 50, 17, 52, 41	offval2 7734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦))))
54	39, 49, 22, 53, 46	ofrfval2 7735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
55	37, 48, 54	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹))
56	6, 10	itg1mulc 25759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
57		itg1cl 25739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℂ)
60	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
62	59, 61, 32	divrec2d 12074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
63	56, 62	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((∫1‘𝑓) / 𝐴))
64	63	breq1d 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ ((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹)))
65		itg2mulc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
67	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68		ledivmul 12171	. . . . . 6 ⊢ (((∫1‘𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
69	58, 66, 60, 67, 68	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
70	64, 69	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
71	14, 55, 70	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
72	71	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
73		ge0mulcl 13521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75		fconstg 6808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
76	7, 75	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77		rpre 13065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
78		rpge0 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79		elrege0 13514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
80	77, 78, 79	sylanbrc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81	7, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
82	81	snssd 4834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
83	76, 82	fssd 6764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
84	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
85		inidm 4248	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
86	74, 83, 1, 84, 84, 85	off 7732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		fss 6763	. . . 4 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
88	86, 2, 87	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
89	23, 65	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
90	89	rexrd 11340	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
91		itg2leub 25789	. . 3 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
92	88, 90, 91	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
93	72, 92	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ∘_r cofr 7713  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  [,]cicc 13410  ∫₁citg1 25669  ∫₂citg2 25670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25802