MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2mulclem 25692
Description: Lemma for itg2mulc 25693. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
2 icossicc 13443 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
3 fss 6733 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
54adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 13056 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 13046 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 25649 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 25679 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
13123expia 1118 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
145, 11, 13syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
15 i1ff 25621 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 13463 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
19 fss 6733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
201, 18, 19sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2120adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
237rpred 13046 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 13049 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 < 𝐴)
27 ledivmul 12118 . . . . . . . 8 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2917recnd 11270 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3024recnd 11270 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
317adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 13051 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 β‰  0)
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
3429, 30, 33divrec2d 12022 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)))
3534breq1d 5153 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3628, 35bitr3d 280 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3736ralbidva 3166 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
38 reex 11227 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
40 ovexd 7450 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ V)
4116feqmptd 6961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
427ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5734 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4645adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7702 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
49 ovexd 7450 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∈ V)
508ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5734 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7702 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5537, 48, 543bitr4d 310 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹))
566, 10itg1mulc 25650 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
57 itg1cl 25630 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5857adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5958recnd 11270 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
6023adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11270 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6259, 61, 32divrec2d 12022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
6356, 62eqtr4d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴))
6463breq1d 5153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6665adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6725adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 0 < 𝐴)
68 ledivmul 12118 . . . . . 6 (((∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7064, 69bitr2d 279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
7114, 55, 703imtr4d 293 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7271ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
73 ge0mulcl 13468 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
77 rpre 13012 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 13017 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 elrege0 13461 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4808 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
85 inidm 4213 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7699 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
87 fss 6733 . . . 4 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 11272 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
9089rexrd 11292 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 25680 . . 3 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9288, 90, 91syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9372, 92mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679   ∘r cofr 7680  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   Β· cmul 11141  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   / cdiv 11899  β„+crp 13004  [,)cico 13356  [,]cicc 13357  βˆ«1citg1 25560  βˆ«2citg2 25561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-xmet 21274  df-met 21275  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566
This theorem is referenced by:  itg2mulc  25693
  Copyright terms: Public domain W3C validator