MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulclem 25134
Description: Lemma for itg2mulc 25135. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))

Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
2 icossicc 13362 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
3 fss 6689 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 12975 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 12965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 25091 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 25121 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
13123expia 1122 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
145, 11, 13syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
15 i1ff 25063 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1615adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 13382 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
19 fss 6689 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
201, 18, 19sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
237rpred 12965 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 12968 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 < 𝐴)
27 ledivmul 12039 . . . . . . . 8 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1375 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2917recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3024recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
317adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 12970 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 β‰  0)
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
3429, 30, 33divrec2d 11943 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)))
3534breq1d 5119 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3628, 35bitr3d 281 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3736ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
38 reex 11150 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
40 ovexd 7396 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ V)
4116feqmptd 6914 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
427ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5698 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6914 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4645adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7641 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7642 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
49 ovexd 7396 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∈ V)
508ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5698 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7641 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7642 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5537, 48, 543bitr4d 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹))
566, 10itg1mulc 25092 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
57 itg1cl 25072 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5857adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5958recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
6023adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6259, 61, 32divrec2d 11943 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
6356, 62eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴))
6463breq1d 5119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6665adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6725adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 0 < 𝐴)
68 ledivmul 12039 . . . . . 6 (((∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7064, 69bitr2d 280 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
7114, 55, 703imtr4d 294 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7271ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
73 ge0mulcl 13387 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6733 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
77 rpre 12931 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 12936 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 elrege0 13380 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6690 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
85 inidm 4182 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7639 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
87 fss 6689 . . . 4 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 11193 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
9089rexrd 11213 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 25122 . . 3 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9288, 90, 91syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9372, 92mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   ∘r cofr 7620  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  β„+crp 12923  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  βˆ«1citg1 25002  βˆ«2citg2 25003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008
This theorem is referenced by:  itg2mulc  25135
  Copyright terms: Public domain W3C validator