MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulclem 23919
Description: Lemma for itg2mulc 23920. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 icossicc 12556 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3 fss 6295 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
54adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 12173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 12163 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 23876 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 23906 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹))
13123expia 1154 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
145, 11, 13syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
15 i1ff 23849 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
1615adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6613 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 12577 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19 fss 6295 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
201, 18, 19sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2120adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6613 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
237rpred 12163 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 12166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27 ledivmul 11236 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2917recnd 10392 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
3024recnd 10392 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
317adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 12168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
3332adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
3429, 30, 33divrec2d 11138 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)))
3534breq1d 4885 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3628, 35bitr3d 273 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3736ralbidva 3194 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
38 reex 10350 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40 ovexd 6944 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ V)
4116feqmptd 6500 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑦)))
427ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5402 . . . . . . . 8 (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6500 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4645adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7179 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7180 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
49 ovexd 6944 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ∈ V)
508ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5402 . . . . . . . 8 (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7179 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7180 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
5537, 48, 543bitr4d 303 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹))
566, 10itg1mulc 23877 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
57 itg1cl 23858 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
5857adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
5958recnd 10392 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℂ)
6023adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 10392 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
6259, 61, 32divrec2d 11138 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
6356, 62eqtr4d 2864 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ((∫1𝑓) / 𝐴))
6463breq1d 4885 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6665adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6725adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68 ledivmul 11236 . . . . . 6 (((∫1𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1497 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7064, 69bitr2d 272 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
7114, 55, 703imtr4d 286 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7271ralrimiva 3175 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
73 ge0mulcl 12582 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6333 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77 rpre 12127 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 12134 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79 elrege0 12575 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 578 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4560 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6296 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
85 inidm 4049 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7177 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87 fss 6295 . . . 4 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 580 . . 3 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 10394 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
9089rexrd 10413 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 23907 . . 3 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9288, 90, 91syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9372, 92mpbird 249 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  Vcvv 3414  wss 3798  {csn 4399   class class class wbr 4875  cmpt 4954   × cxp 5344  dom cdm 5346  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑓 cof 7160  𝑟 cofr 7161  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264  +∞cpnf 10395  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399   / cdiv 11016  +crp 12119  [,)cico 12472  [,]cicc 12473  1citg1 23788  2citg2 23789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xadd 12240  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-xmet 20106  df-met 20107  df-ovol 23637  df-vol 23638  df-mbf 23792  df-itg1 23793  df-itg2 23794
This theorem is referenced by:  itg2mulc  23920
  Copyright terms: Public domain W3C validator