Theorem itg2mulclem 25738

Description: Lemma for itg2mulc 25739. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2mulclem	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13387	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3		fss 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7		itg2mulclem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	7	rpreccld 12994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12984	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	i1fmulc 25695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12		itg2ub 25725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹))
13	12	3expia 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
14	5, 11, 13	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
15		i1ff 25668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
18		rge0ssre 13407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19		fss 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20	1, 18, 19	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
23	7	rpred 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	7	rpgt0d 12987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26	25	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27		ledivmul 12030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
28	17, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
29	17	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
30	24	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 12989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divrec2d 11933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)))
35	34	breq1d 5089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
36	28, 35	bitr3d 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralbidva 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
38		reex 11127	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
41	16	feqmptd 6902	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑦)))
42	7	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43		fconstmpt 5687	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
45	1	feqmptd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
47	39, 42, 22, 44, 46	offval2 7647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
48	39, 17, 40, 41, 47	ofrfval2 7648	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
49		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
50	8	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51		fconstmpt 5687	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
53	39, 50, 17, 52, 41	offval2 7647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦))))
54	39, 49, 22, 53, 46	ofrfval2 7648	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
55	37, 48, 54	3bitr4d 312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹))
56	6, 10	itg1mulc 25696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
57		itg1cl 25677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
58	57	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℂ)
60	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
62	59, 61, 32	divrec2d 11933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
63	56, 62	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((∫1‘𝑓) / 𝐴))
64	63	breq1d 5089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ ((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹)))
65		itg2mulc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
66	65	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
67	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68		ledivmul 12030	. . . . . 6 ⊢ (((∫1‘𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
69	58, 66, 60, 67, 68	syl112anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
70	64, 69	bitr2d 281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
71	14, 55, 70	3imtr4d 295	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
72	71	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
73		ge0mulcl 13412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
74	73	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75		fconstg 6721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
76	7, 75	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77		rpre 12949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
78		rpge0 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79		elrege0 13405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
80	77, 78, 79	sylanbrc 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81	7, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
82	81	snssd 4725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
83	76, 82	fssd 6679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
84	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
85		inidm 4162	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
86	74, 83, 1, 84, 84, 85	off 7645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		fss 6678	. . . 4 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
88	86, 2, 87	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
89	23, 65	remulcld 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
90	89	rexrd 11193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
91		itg2leub 25726	. . 3 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
92	88, 90, 91	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
93	72, 92	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  dom cdm 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   ∘_r cofr 7626  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178   / cdiv 11805  ℝ⁺crp 12940  [,)cico 13298  [,]cicc 13299  ∫₁citg1 25607  ∫₂citg2 25608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xadd 13062  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-xmet 21347  df-met 21348  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611  df-itg1 25612  df-itg2 25613

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25739