MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2mulclem 25631
Description: Lemma for itg2mulc 25632. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
2 icossicc 13419 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
3 fss 6728 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
6 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 13032 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 13022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 25588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 25618 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
13123expia 1118 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
145, 11, 13syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
15 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 13439 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
19 fss 6728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
201, 18, 19sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
237rpred 13022 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 13025 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 < 𝐴)
27 ledivmul 12094 . . . . . . . 8 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
2917recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3024recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
317adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 13027 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 β‰  0)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
3429, 30, 33divrec2d 11998 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)))
3534breq1d 5151 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘“β€˜π‘¦) / 𝐴) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3628, 35bitr3d 281 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3736ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
38 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
40 ovexd 7440 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ V)
4116feqmptd 6954 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
427ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5731 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6954 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7687 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7688 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘¦) ≀ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
49 ovexd 7440 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ∈ V)
508ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5731 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7687 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7688 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((1 / 𝐴) Β· (π‘“β€˜π‘¦)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5537, 48, 543bitr4d 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ ((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓) ∘r ≀ 𝐹))
566, 10itg1mulc 25589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
57 itg1cl 25569 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ)
5958recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜π‘“) ∈ β„‚)
6023adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6259, 61, 32divrec2d 11998 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· (∫1β€˜π‘“)))
6356, 62eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) = ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴))
6463breq1d 5151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ ((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6665adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6725adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ 0 < 𝐴)
68 ledivmul 12094 . . . . . 6 (((∫1β€˜π‘“) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (((∫1β€˜π‘“) / 𝐴) ≀ (∫2β€˜πΉ) ↔ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7064, 69bitr2d 280 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ (∫1β€˜((ℝ Γ— {(1 / 𝐴)}) ∘f Β· 𝑓)) ≀ (∫2β€˜πΉ)))
7114, 55, 703imtr4d 294 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
7271ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ))))
73 ge0mulcl 13444 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6772 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
77 rpre 12988 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 12993 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 elrege0 13437 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4807 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
85 inidm 4213 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7685 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞))
87 fss 6728 . . . 4 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 11248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ)
9089rexrd 11268 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 25619 . . 3 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9288, 90, 91syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≀ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘“) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))))
9372, 92mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) ≀ (𝐴 Β· (∫2β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„+crp 12980  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  βˆ«1citg1 25499  βˆ«2citg2 25500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505
This theorem is referenced by:  itg2mulc  25632
  Copyright terms: Public domain W3C validator