Theorem itg2mulclem 25707

Description: Lemma for itg2mulc 25708. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2mulclem	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13356	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3		fss 6679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7		itg2mulclem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	7	rpreccld 12963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	i1fmulc 25664	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12		itg2ub 25694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹))
13	12	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
14	5, 11, 13	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
15		i1ff 25637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℝ)
18		rge0ssre 13376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19		fss 6679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20	1, 18, 19	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	21	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
23	7	rpred 12953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	7	rpgt0d 12956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27		ledivmul 12022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
28	17, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
29	17	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℂ)
30	24	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32	31	rpne0d 12958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divrec2d 11925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)))
35	34	breq1d 5109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓‘𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
36	28, 35	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralbidva 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
38		reex 11121	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ V)
41	16	feqmptd 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑦)))
42	7	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43		fconstmpt 5687	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
45	1	feqmptd 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
47	39, 42, 22, 44, 46	offval2 7644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
48	39, 17, 40, 41, 47	ofrfval2 7645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓‘𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹‘𝑦))))
49		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
50	8	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51		fconstmpt 5687	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
53	39, 50, 17, 52, 41	offval2 7644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦))))
54	39, 49, 22, 53, 46	ofrfval2 7645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓‘𝑦)) ≤ (𝐹‘𝑦)))
55	37, 48, 54	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓) ∘r ≤ 𝐹))
56	6, 10	itg1mulc 25665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
57		itg1cl 25646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝑓) ∈ ℂ)
60	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
62	59, 61, 32	divrec2d 11925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1‘𝑓)))
63	56, 62	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) = ((∫1‘𝑓) / 𝐴))
64	63	breq1d 5109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ ((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹)))
65		itg2mulc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
67	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68		ledivmul 12022	. . . . . 6 ⊢ (((∫1‘𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
69	58, 66, 60, 67, 68	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1‘𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2‘𝐹) ↔ (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
70	64, 69	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · 𝑓)) ≤ (∫2‘𝐹)))
71	14, 55, 70	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
72	71	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))))
73		ge0mulcl 13381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75		fconstg 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
76	7, 75	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77		rpre 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
78		rpge0 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79		elrege0 13374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
80	77, 78, 79	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
81	7, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
82	81	snssd 4766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
83	76, 82	fssd 6680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
84	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
85		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
86	74, 83, 1, 84, 84, 85	off 7642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		fss 6679	. . . 4 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
88	86, 2, 87	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
89	23, 65	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
90	89	rexrd 11186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
91		itg2leub 25695	. . 3 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
92	88, 90, 91	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓 ∘r ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) → (∫1‘𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))))
93	72, 92	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ∘_r cofr 7623  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12909  [,)cico 13267  [,]cicc 13268  ∫₁citg1 25576  ∫₂citg2 25577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xadd 13031  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-xmet 21306  df-met 21307  df-ovol 25425  df-vol 25426  df-mbf 25580  df-itg1 25581  df-itg2 25582

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25708