Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzsub 48204
Description: The subtraction of the -module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m = (-g𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12656 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
2 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
31, 2jca 511 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4 zsubcl 12656 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶𝐷) ∈ ℤ)
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
64, 5jca 511 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7 zlmodzxz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8 eqid 2734 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
97, 8zlmodzxzadd 48202 . . . 4 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
103, 6, 9syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
11 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13 npcan 11514 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1514adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1615opeq2d 4884 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19 npcan 11514 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2120adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2221opeq2d 4884 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
2316, 22preq12d 4745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
2410, 23eqtrd 2774 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
257zlmodzxzlmod 48198 . . . 4 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26 lmodgrp 20881 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
2825, 27mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
297zlmodzxzel 48199 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3029ad2ant2r 747 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
317zlmodzxzel 48199 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
322, 5, 31syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
337zlmodzxzel 48199 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
341, 4, 33syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36 zlmodzxzsub.m . . . 4 = (-g𝑍)
3735, 8, 36grpsubadd 19058 . . 3 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1371 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3924, 38mpbird 257 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cpr 4632  cop 4636  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cmin 11489  cz 12610  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  LModclmod 20874  ringczring 21474   freeLMod cfrlm 21783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-dsmm 21769  df-frlm 21784
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  48341
  Copyright terms: Public domain W3C validator