Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzsub 48276
Description: The subtraction of the -module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m = (-g𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12659 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
2 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
31, 2jca 511 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4 zsubcl 12659 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶𝐷) ∈ ℤ)
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
64, 5jca 511 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7 zlmodzxz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑍) = (+g𝑍)
97, 8zlmodzxzadd 48274 . . . 4 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
103, 6, 9syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩})
11 zcn 12618 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 zcn 12618 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13 npcan 11517 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1514adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
1615opeq2d 4880 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17 zcn 12618 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18 zcn 12618 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19 npcan 11517 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2120adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
2221opeq2d 4880 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
2316, 22preq12d 4741 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
2410, 23eqtrd 2777 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
257zlmodzxzlmod 48270 . . . 4 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26 lmodgrp 20865 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
2825, 27mp1i 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
297zlmodzxzel 48271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3029ad2ant2r 747 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
317zlmodzxzel 48271 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
322, 5, 31syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
337zlmodzxzel 48271 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
341, 4, 33syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36 zlmodzxzsub.m . . . 4 = (-g𝑍)
3735, 8, 36grpsubadd 19046 . . 3 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1374 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩} (+g𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
3924, 38mpbird 257 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶𝐷)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  cz 12613  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  LModclmod 20858  ringczring 21457   freeLMod cfrlm 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-dsmm 21752  df-frlm 21767
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  48413
  Copyright terms: Public domain W3C validator