Theorem zlmodzxzsub 49677

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12765	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4		zsubcl 12765	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7		zlmodzxz.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
9	7, 8	zlmodzxzadd 49675	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
10	3, 6, 9	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
11		zcn 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		zcn 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		npcan 11593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
16	15	opeq2d 4850	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17		zcn 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18		zcn 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19		npcan 11593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
22	21	opeq2d 4850	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
23	16, 22	preq12d 4702	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
24	10, 23	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
25	7	zlmodzxzlmod 49671	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26		lmodgrp 21172	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
28	25, 27	mp1i 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
29	7	zlmodzxzel 49672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	29	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
31	7	zlmodzxzel 49672	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
32	2, 5, 31	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
33	7	zlmodzxzel 49672	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
34	1, 4, 33	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
37	35, 8, 36	grpsubadd 19267	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
38	28, 30, 32, 34, 37	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
39	24, 38	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   − cmin 11568  ℤcz 12720  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  Scalarcsca 17460  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175  LModclmod 21165  ℤ_ringczring 21782   freeLMod cfrlm 22082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-cnfld 21709  df-zring 21783  df-dsmm 22068  df-frlm 22083

This theorem is used by:  zlmodzxzequa  49813