Theorem zlmodzxzsub 49292

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12663	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4		zsubcl 12663	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7		zlmodzxz.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
9	7, 8	zlmodzxzadd 49290	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
10	3, 6, 9	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
11		zcn 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		zcn 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		npcan 11493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
16	15	opeq2d 4843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17		zcn 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18		zcn 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19		npcan 11493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
22	21	opeq2d 4843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
23	16, 22	preq12d 4705	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
24	10, 23	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
25	7	zlmodzxzlmod 49286	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26		lmodgrp 21055	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
28	25, 27	mp1i 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
29	7	zlmodzxzel 49287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	29	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
31	7	zlmodzxzel 49287	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
32	2, 5, 31	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
33	7	zlmodzxzel 49287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
34	1, 4, 33	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
37	35, 8, 36	grpsubadd 19155	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
38	28, 30, 32, 34, 37	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
39	24, 38	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468  ℤcz 12618  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Scalarcsca 17349  Grpcgrp 19061  -_gcsg 19063  LModclmod 21048  ℤ_ringczring 21663   freeLMod cfrlm 21963

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-sra 21361  df-rgmod 21362  df-cnfld 21590  df-zring 21664  df-dsmm 21949  df-frlm 21964

This theorem is used by:  zlmodzxzequa  49428