Theorem zlmodzxzsub 48830

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4		zsubcl 12569	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7		zlmodzxz.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
9	7, 8	zlmodzxzadd 48828	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
10	3, 6, 9	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
11		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		npcan 11402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
16	15	opeq2d 4824	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19		npcan 11402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
22	21	opeq2d 4824	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
23	16, 22	preq12d 4686	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
24	10, 23	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
25	7	zlmodzxzlmod 48824	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26		lmodgrp 20862	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
28	25, 27	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
29	7	zlmodzxzel 48825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	29	ad2ant2r 748	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
31	7	zlmodzxzel 48825	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
32	2, 5, 31	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
33	7	zlmodzxzel 48825	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
34	1, 4, 33	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
37	35, 8, 36	grpsubadd 19004	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
38	28, 30, 32, 34, 37	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
39	24, 38	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℤcz 12524  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  LModclmod 20855  ℤ_ringczring 21426   freeLMod cfrlm 21726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-dsmm 21712  df-frlm 21727

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  48966