Theorem zlmodzxzsub 48474

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12524	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
4		zsubcl 12524	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
7		zlmodzxz.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
9	7, 8	zlmodzxzadd 48472	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
10	3, 6, 9	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩})
11		zcn 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		zcn 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		npcan 11379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
16	15	opeq2d 4833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩ = ⟨0, 𝐴⟩)
17		zcn 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18		zcn 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
19		npcan 11379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷) = 𝐶)
22	21	opeq2d 4833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩ = ⟨1, 𝐶⟩)
23	16, 22	preq12d 4695	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵)⟩, ⟨1, ((𝐶 − 𝐷) + 𝐷)⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
24	10, 23	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩})
25	7	zlmodzxzlmod 48468	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
26		lmodgrp 20810	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ Grp)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ Grp)
28	25, 27	mp1i 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Grp)
29	7	zlmodzxzel 48469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	29	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
31	7	zlmodzxzel 48469	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
32	2, 5, 31	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
33	7	zlmodzxzel 48469	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
34	1, 4, 33	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))
35		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
36		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
37	35, 8, 36	grpsubadd 18951	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ∈ (Base‘𝑍))) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
38	28, 30, 32, 34, 37	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} ↔ ({⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩} (+g‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
39	24, 38	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = {⟨0, (𝐴 − 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐶 − 𝐷)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cpr 4579  ⟨cop 4583  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   − cmin 11354  ℤcz 12478  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  Scalarcsca 17174  Grpcgrp 18856  -_gcsg 18858  LModclmod 20803  ℤ_ringczring 21393   freeLMod cfrlm 21693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-cring 20164  df-subrng 20471  df-subrg 20495  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-sra 21117  df-rgmod 21118  df-cnfld 21302  df-zring 21394  df-dsmm 21679  df-frlm 21694

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  48611