Theorem coe1subfv 22199

Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sub.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1sub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p	⊢ − = (-g‘𝑌)
coe1sub.q	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1subfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1sub.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6		coe1sub.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		coe1sub.p	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8	6, 7	grpsubcl 18941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
11		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	2, 6, 13, 14	coe1addfv 22198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
16	1, 10, 11, 12, 15	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
17	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	6, 13, 7	grpnpcan 18953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
21	18, 19, 11, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
22	21	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺)) = (coe1‘𝐹))
23	22	fveq1d 6833	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
24	16, 23	eqtr3d 2770	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
25		ringgrp 20164	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
29		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	28, 6, 2, 29	coe1f 22143	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31	30	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
32	31	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
34	33, 6, 2, 29	coe1f 22143	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36	35	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
38	37, 6, 2, 29	coe1f 22143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	9, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41		coe1sub.q	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
42	29, 14, 41	grpsubadd 18949	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
43	27, 32, 36, 40, 42	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
44	24, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋))
45	44	eqcomd 2739	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  Grpcgrp 18854  -_gcsg 18856  Ringcrg 20159  Poly₁cpl1 22108  coe₁cco1 22109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-psr 21856  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22111  df-ply1 22113  df-coe1 22114

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26062  ply1remlem  26117  2sqr3minply  33865