Theorem coe1subfv 22457

Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sub.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1sub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p	⊢ − = (-g‘𝑌)
coe1sub.q	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1subfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1sub.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6		coe1sub.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		coe1sub.p	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8	6, 7	grpsubcl 19110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
11		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
14		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	2, 6, 13, 14	coe1addfv 22456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
16	1, 10, 11, 12, 15	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
17	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	6, 13, 7	grpnpcan 19122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
21	18, 19, 11, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
22	21	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺)) = (coe1‘𝐹))
23	22	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
24	16, 23	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
25		ringgrp 20344	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
29		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	28, 6, 2, 29	coe1f 22401	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31	30	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
32	31	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
34	33, 6, 2, 29	coe1f 22401	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36	35	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
38	37, 6, 2, 29	coe1f 22401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	9, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41		coe1sub.q	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
42	29, 14, 41	grpsubadd 19118	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
43	27, 32, 36, 40, 42	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
44	24, 43	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋))
45	44	eqcomd 2771	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17287  +_gcplusg 17328  Grpcgrp 19024  -_gcsg 19026  Ringcrg 20339  Poly₁cpl1 22367  coe₁cco1 22368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-hash 14381  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-psr 22089  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-psr1 22370  df-ply1 22372  df-coe1 22373

This theorem is used by:  deg1sublt  26298  ply1remlem  26353  2sqr3minply  34210