Theorem coe1subfv 22231

Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sub.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1sub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p	⊢ − = (-g‘𝑌)
coe1sub.q	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1subfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1sub.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6		coe1sub.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		coe1sub.p	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8	6, 7	grpsubcl 18996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
11		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	2, 6, 13, 14	coe1addfv 22230	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
16	1, 10, 11, 12, 15	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
17	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	6, 13, 7	grpnpcan 19008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
21	18, 19, 11, 20	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
22	21	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺)) = (coe1‘𝐹))
23	22	fveq1d 6842	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
24	16, 23	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
25		ringgrp 20219	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	28, 6, 2, 29	coe1f 22175	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31	30	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
32	31	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
34	33, 6, 2, 29	coe1f 22175	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36	35	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
38	37, 6, 2, 29	coe1f 22175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	9, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41		coe1sub.q	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
42	29, 14, 41	grpsubadd 19004	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
43	27, 32, 36, 40, 42	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
44	24, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋))
45	44	eqcomd 2742	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  Ringcrg 20214  Poly₁cpl1 22140  coe₁cco1 22141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-ply1 22145  df-coe1 22146

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26075  ply1remlem  26130  2sqr3minply  33924