Theorem coe1subfv 22175

Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sub.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1sub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p	⊢ − = (-g‘𝑌)
coe1sub.q	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1subfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1sub.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6		coe1sub.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		coe1sub.p	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8	6, 7	grpsubcl 18928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
11		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	2, 6, 13, 14	coe1addfv 22174	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
16	1, 10, 11, 12, 15	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
17	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	6, 13, 7	grpnpcan 18940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
21	18, 19, 11, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
22	21	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺)) = (coe1‘𝐹))
23	22	fveq1d 6819	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
24	16, 23	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
25		ringgrp 20151	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
29		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	28, 6, 2, 29	coe1f 22119	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31	30	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
32	31	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
34	33, 6, 2, 29	coe1f 22119	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36	35	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
38	37, 6, 2, 29	coe1f 22119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	9, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41		coe1sub.q	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
42	29, 14, 41	grpsubadd 18936	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
43	27, 32, 36, 40, 42	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
44	24, 43	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋))
45	44	eqcomd 2737	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℕ₀cn0 12376  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  Grpcgrp 18841  -_gcsg 18843  Ringcrg 20146  Poly₁cpl1 22084  coe₁cco1 22085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22087  df-ply1 22089  df-coe1 22090

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26037  ply1remlem  26092  2sqr3minply  33785