MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1subfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1subfv 21653
Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sub.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1sub.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p = (-g𝑌)
coe1sub.q 𝑁 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1subfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1sub.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 21635 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 19974 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6 coe1sub.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 coe1sub.p . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
86, 7grpsubcl 18832 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
109adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
11 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
12 simpr 486 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
14 eqid 2733 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
152, 6, 13, 14coe1addfv 21652 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
161, 10, 11, 12, 15syl31anc 1374 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
1753ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
1817adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
206, 13, 7grpnpcan 18844 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2118, 19, 11, 20syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2221fveq2d 6847 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺)) = (coe1𝐹))
2322fveq1d 6845 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
2416, 23eqtr3d 2775 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
25 ringgrp 19974 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26253ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2726adantr 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3028, 6, 2, 29coe1f 21598 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31303ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3231ffvelcdmda 7036 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3433, 6, 2, 29coe1f 21598 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35343ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3635ffvelcdmda 7036 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 6, 2, 29coe1f 21598 . . . . . 6 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
399, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4039ffvelcdmda 7036 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41 coe1sub.q . . . . 5 𝑁 = (-g𝑅)
4229, 14, 41grpsubadd 18840 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4327, 32, 36, 40, 42syl13anc 1373 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4424, 43mpbird 257 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋))
4544eqcomd 2739 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  Ringcrg 19969  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-coe1 21570
This theorem is referenced by:  deg1sublt  25491  ply1remlem  25543
  Copyright terms: Public domain W3C validator