Theorem coe1subfv 22317

Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sub.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1sub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p	⊢ − = (-g‘𝑌)
coe1sub.q	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1subfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1sub.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4		ringgrp 20275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6		coe1sub.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		coe1sub.p	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8	6, 7	grpsubcl 19053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an1 1175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
11		simpl3 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	2, 6, 13, 14	coe1addfv 22316	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
16	1, 10, 11, 12, 15	syl31anc 1391	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
17	5	3ad2ant1 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19		simpl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	6, 13, 7	grpnpcan 19065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
21	18, 19, 11, 20	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺) = 𝐹)
22	21	fveq2d 6866	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺)) = (coe1‘𝐹))
23	22	fveq1d 6864	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 − 𝐺)(+g‘𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
24	16, 23	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
25		ringgrp 20275	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26	25	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
27	26	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
29		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	28, 6, 2, 29	coe1f 22261	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31	30	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
32	31	ffvelcdmda 7060	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
34	33, 6, 2, 29	coe1f 22261	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34	3ad2ant3 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36	35	ffvelcdmda 7060	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
38	37, 6, 2, 29	coe1f 22261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	9, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 − 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffvelcdmda 7060	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41		coe1sub.q	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑅)
42	29, 14, 41	grpsubadd 19061	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1‘𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
43	27, 32, 36, 40, 42	syl13anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋)(+g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋)))
44	24, 43	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋))
45	44	eqcomd 2767	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℕ₀cn0 12475  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  Grpcgrp 18966  -_gcsg 18968  Ringcrg 20270  Poly₁cpl1 22227  coe₁cco1 22228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-psr 21949  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-psr1 22230  df-ply1 22232  df-coe1 22233

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26158  ply1remlem  26213  2sqr3minply  34038