MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1subfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1subfv 19958
Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sub.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1sub.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p = (-g𝑌)
coe1sub.q 𝑁 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1subfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv
StepHypRef Expression
1 simpl1 1243 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1sub.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19940 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 18868 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6 coe1sub.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 coe1sub.p . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
86, 7grpsubcl 17811 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an1 1203 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
109adantr 473 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
11 simpl3 1247 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
12 simpr 478 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13 eqid 2799 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
14 eqid 2799 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
152, 6, 13, 14coe1addfv 19957 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
161, 10, 11, 12, 15syl31anc 1493 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
1753ad2ant1 1164 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
1817adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19 simpl2 1245 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
206, 13, 7grpnpcan 17823 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2118, 19, 11, 20syl3anc 1491 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2221fveq2d 6415 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺)) = (coe1𝐹))
2322fveq1d 6413 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
2416, 23eqtr3d 2835 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
25 ringgrp 18868 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26253ad2ant1 1164 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2726adantr 473 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28 eqid 2799 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
29 eqid 2799 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3028, 6, 2, 29coe1f 19903 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31303ad2ant2 1165 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3231ffvelrnda 6585 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2799 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3433, 6, 2, 29coe1f 19903 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35343ad2ant3 1166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3635ffvelrnda 6585 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2799 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 6, 2, 29coe1f 19903 . . . . . 6 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
399, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4039ffvelrnda 6585 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41 coe1sub.q . . . . 5 𝑁 = (-g𝑅)
4229, 14, 41grpsubadd 17819 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4327, 32, 36, 40, 42syl13anc 1492 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4424, 43mpbird 249 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋))
4544eqcomd 2805 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cn0 11580  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  Grpcgrp 17738  -gcsg 17740  Ringcrg 18863  Poly1cpl1 19869  coe1cco1 19870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-psr 19679  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-ply1 19874  df-coe1 19875
This theorem is referenced by:  deg1sublt  24211  ply1remlem  24263
  Copyright terms: Public domain W3C validator