MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1subfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1subfv 22140
Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sub.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1sub.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p = (-g𝑌)
coe1sub.q 𝑁 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1subfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1sub.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 22121 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 20143 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6 coe1sub.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 coe1sub.p . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
86, 7grpsubcl 18948 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an1 1160 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
11 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
12 simpr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
14 eqid 2726 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
152, 6, 13, 14coe1addfv 22139 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
161, 10, 11, 12, 15syl31anc 1370 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
1753ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
1817adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
206, 13, 7grpnpcan 18960 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2118, 19, 11, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2221fveq2d 6889 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺)) = (coe1𝐹))
2322fveq1d 6887 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
2416, 23eqtr3d 2768 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
25 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26253ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2726adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3028, 6, 2, 29coe1f 22085 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31303ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3231ffvelcdmda 7080 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2726 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3433, 6, 2, 29coe1f 22085 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35343ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3635ffvelcdmda 7080 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2726 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 6, 2, 29coe1f 22085 . . . . . 6 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
399, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4039ffvelcdmda 7080 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41 coe1sub.q . . . . 5 𝑁 = (-g𝑅)
4229, 14, 41grpsubadd 18956 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4327, 32, 36, 40, 42syl13anc 1369 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4424, 43mpbird 257 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋))
4544eqcomd 2732 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  Ringcrg 20138  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-ply1 22056  df-coe1 22057
This theorem is referenced by:  deg1sublt  26001  ply1remlem  26054
  Copyright terms: Public domain W3C validator