MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaleph2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaleph2 10712
Description: If (ℵ‘𝐴) and (ℵ‘suc 𝐴) are GCH-sets, then the successor aleph (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchaleph2 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem gchaleph2
StepHypRef Expression
1 harcl 9599 . . 3 (har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ On
2 alephon 10109 . . . . 5 (ℵ‘𝐴) ∈ On
3 onenon 9989 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
4 harsdom 10035 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card → (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)))
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴))
6 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → 𝐴 ∈ On)
7 alephgeom 10122 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
86, 7sylib 218 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
9 ssdomg 9040 . . . . . 6 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
102, 8, 9mpsyl 68 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
11 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)
12 alephsuc 10108 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) = (har‘(ℵ‘𝐴)))
136, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) = (har‘(ℵ‘𝐴)))
14 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH)
1513, 14eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ GCH)
16 gchpwdom 10710 . . . . 5 ((ω ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ GCH) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)) ↔ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴))))
1710, 11, 15, 16syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)) ↔ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴))))
185, 17mpbii 233 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴)))
19 ondomen 10077 . . 3 (((har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ On ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴))) → 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
201, 18, 19sylancr 587 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
21 gchaleph 10711 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card) → (ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴))
2220, 21syld3an3 1411 1 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cfv 6561  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  harchar 9596  cardccrd 9975  cale 9976  GCHcgch 10660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-har 9597  df-wdom 9605  df-cnf 9702  df-dju 9941  df-card 9979  df-aleph 9980  df-fin4 10327  df-gch 10661
This theorem is referenced by:  gch2  10715  gch3  10716
  Copyright terms: Public domain W3C validator