Theorem gchaleph2 10645

Description: If (ℵ‘𝐴) and (ℵ‘suc 𝐴) are GCH-sets, then the successor aleph (ℵ‘suc 𝐴) is equinumerous to the powerset of (ℵ‘𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchaleph2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem gchaleph2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9509	. . 3 ⊢ (har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ On
2		alephon 10041	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
3		onenon 9923	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
4		harsdom 9969	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card → (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴))
6		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → 𝐴 ∈ On)
7		alephgeom 10054	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
9		ssdomg 8985	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → ω ≼ (ℵ‘𝐴)))
10	2, 8, 9	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → ω ≼ (ℵ‘𝐴))
11		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘𝐴) ∈ GCH)
12		alephsuc 10040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) = (har‘(ℵ‘𝐴)))
13	6, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) = (har‘(ℵ‘𝐴)))
14		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH)
15	13, 14	eqeltrrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ GCH)
16		gchpwdom 10643	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ (ℵ‘𝐴) ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ GCH) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)) ↔ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴))))
17	10, 11, 15, 16	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)) ↔ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴))))
18	5, 17	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴)))
19		ondomen 10009	. . 3 ⊢ (((har‘(ℵ‘𝐴)) ∈ On ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≼ (har‘(ℵ‘𝐴))) → 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
20	1, 18, 19	sylancr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
21		gchaleph 10644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ dom card) → (ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴))
22	20, 21	syld3an3 1432	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐴) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝐴) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  Oncon0 6350  suc csuc 6352  ‘cfv 6525  ωcom 7850   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930  harchar 9506  cardccrd 9909  ℵcale 9910  GCHcgch 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seqom 8423  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-oexp 8447  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-har 9507  df-wdom 9515  df-cnf 9619  df-dju 9875  df-card 9913  df-aleph 9914  df-fin4 10259  df-gch 10594

This theorem is referenced by:  gch2  10648  gch3  10649