Theorem alephordilem1 10091

Description: Lemma for alephordi 10092. (Contributed by NM, 23-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephordilem1	⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Proof of Theorem alephordilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 10087	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
2		onenon 9967	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
3		harsdom 10013	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card → (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴))
5		alephsuc 10086	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) = (har‘(ℵ‘𝐴)))
6	4, 5	breqtrrid 5182	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  Oncon0 6365  suc csuc 6367  ‘cfv 6543   ≺ csdm 8956  harchar 9574  cardccrd 9953  ℵcale 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-oi 9528  df-har 9575  df-card 9957  df-aleph 9958

This theorem is referenced by:  alephordi  10092  alephsucdom  10097  alephsuc3  10598  alephreg  10600  gchaleph  10689