MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephordilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephordilem1 9291
Description: Lemma for alephordi 9292. (Contributed by NM, 23-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephordilem1 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Proof of Theorem alephordilem1
StepHypRef Expression
1 alephon 9287 . . 3 (ℵ‘𝐴) ∈ On
2 onenon 9170 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ∈ On → (ℵ‘𝐴) ∈ dom card)
3 harsdom 9216 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ∈ dom card → (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴)))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (ℵ‘𝐴) ≺ (har‘(ℵ‘𝐴))
5 alephsuc 9286 . 2 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) = (har‘(ℵ‘𝐴)))
64, 5syl5breqr 4963 1 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2051   class class class wbr 4925  dom cdm 5403  Oncon0 6026  suc csuc 6028  cfv 6185  csdm 8303  harchar 8813  cardccrd 9156  cale 9157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-oi 8767  df-har 8815  df-card 9160  df-aleph 9161
This theorem is referenced by:  alephordi  9292  alephsucdom  9297  alephsuc3  9798  alephreg  9800  gchaleph  9889
  Copyright terms: Public domain W3C validator