MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hartogslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hartogslem2 9487
Description: Lemma for hartogs 9488. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hartogslem.2 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
Assertion
Ref Expression
hartogslem2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2
StepHypRef Expression
1 hartogslem.2 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2 hartogslem.3 . . . 4 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
31, 2hartogslem1 9486 . . 3 (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴}))
43simp3i 1142 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴})
53simp2i 1141 . . . 4 Fun 𝐹
63simp1i 1140 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7 sqxpexg 7693 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
87pwexd 5338 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9 ssexg 5284 . . . . 5 ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
106, 8, 9sylancr 588 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11 funex 7173 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
125, 10, 11sylancr 588 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
13 rnexg 7845 . . 3 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
1412, 13syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
154, 14eqeltrrd 2835 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  wss 3914  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5109  {copab 5171   I cid 5534   E cep 5540   We wwe 5591   × cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638  cres 5639  Oncon0 6321  Fun wfun 6494  cfv 6500  cdom 8887  OrdIsocoi 9453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-en 8890  df-dom 8891  df-oi 9454
This theorem is referenced by:  hartogs  9488
  Copyright terms: Public domain W3C validator