Theorem hartogslem2 9521

Description: Lemma for hartogs 9522. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hartogslem.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3	⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}

Assertion

Ref	Expression
hartogslem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑠)   𝑅(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑠, 𝑟)   𝑉(𝑥, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hartogslem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2		hartogslem.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
3	1, 2	hartogslem1 9520	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴}))
4	3	simp3i 1159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴})
5	3	simp2i 1158	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
6	3	simp1i 1157	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7		sqxpexg 7758	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
8	7	pwexd 5341	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		ssexg 5281	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
10	6, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11		funex 7217	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	5, 10, 11	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
13		rnexg 7903	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
15	4, 14	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  {copab 5167   I cid 5545   E cep 5550   We wwe 5603   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Oncon0 6355  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531   ≼ cdom 8955  OrdIsocoi 9487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-en 8958  df-dom 8959  df-oi 9488

This theorem is used by:  hartogs  9522