Theorem hartogslem2 9537

Description: Lemma for hartogs 9538. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hartogslem.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3	⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}

Assertion

Ref	Expression
hartogslem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hartogslem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2		hartogslem.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
3	1, 2	hartogslem1 9536	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴}))
4	3	simp3i 1141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴})
5	3	simp2i 1140	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
6	3	simp1i 1139	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7		sqxpexg 7741	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
8	7	pwexd 5377	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		ssexg 5323	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
10	6, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11		funex 7220	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	5, 10, 11	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
13		rnexg 7894	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
15	4, 14	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  {copab 5210   I cid 5573   E cep 5579   We wwe 5630   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678  Oncon0 6364  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543   ≼ cdom 8936  OrdIsocoi 9503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-en 8939  df-dom 8940  df-oi 9504

This theorem is referenced by:  hartogs  9538