Theorem hartogslem2 9458

Description: Lemma for hartogs 9459. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hartogslem.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3	⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}

Assertion

Ref	Expression
hartogslem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hartogslem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2		hartogslem.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
3	1, 2	hartogslem1 9457	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴}))
4	3	simp3i 1142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴})
5	3	simp2i 1141	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
6	3	simp1i 1140	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7		sqxpexg 7709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
8	7	pwexd 5321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		ssexg 5264	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
10	6, 8, 9	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11		funex 7174	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	5, 10, 11	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
13		rnexg 7853	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
15	4, 14	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085  {copab 5147   I cid 5525   E cep 5530   We wwe 5583   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633  Oncon0 6323  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498   ≼ cdom 8891  OrdIsocoi 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-en 8894  df-dom 8895  df-oi 9425

This theorem is referenced by:  hartogs  9459