MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hartogslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hartogslem2 9558
Description: Lemma for hartogs 9559. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hartogslem.2 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
Assertion
Ref Expression
hartogslem2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2
StepHypRef Expression
1 hartogslem.2 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2 hartogslem.3 . . . 4 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
31, 2hartogslem1 9557 . . 3 (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴}))
43simp3i 1139 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴})
53simp2i 1138 . . . 4 Fun 𝐹
63simp1i 1137 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7 sqxpexg 7751 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
87pwexd 5373 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9 ssexg 5317 . . . . 5 ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
106, 8, 9sylancr 586 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11 funex 7225 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
125, 10, 11sylancr 586 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
13 rnexg 7904 . . 3 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
1412, 13syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
154, 14eqeltrrd 2829 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  cdif 3941  wss 3944  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  {copab 5204   I cid 5569   E cep 5575   We wwe 5626   × cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673  cres 5674  Oncon0 6363  Fun wfun 6536  cfv 6542  cdom 8953  OrdIsocoi 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-en 8956  df-dom 8957  df-oi 9525
This theorem is referenced by:  hartogs  9559
  Copyright terms: Public domain W3C validator