MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hartogslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hartogslem2 8995
Description: Lemma for hartogs 8996. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hartogslem.2 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
Assertion
Ref Expression
hartogslem2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2
StepHypRef Expression
1 hartogslem.2 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2 hartogslem.3 . . . 4 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
31, 2hartogslem1 8994 . . 3 (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴}))
43simp3i 1138 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴})
53simp2i 1137 . . . 4 Fun 𝐹
63simp1i 1136 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7 sqxpexg 7461 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
87pwexd 5248 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9 ssexg 5194 . . . . 5 ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
106, 8, 9sylancr 590 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11 funex 6963 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
125, 10, 11sylancr 590 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
13 rnexg 7599 . . 3 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
1412, 13syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
154, 14eqeltrrd 2894 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033  {copab 5095   I cid 5427   E cep 5432   We wwe 5481   × cxp 5521  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  Oncon0 6163  Fun wfun 6322  cfv 6328  cdom 8494  OrdIsocoi 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-en 8497  df-dom 8498  df-oi 8962
This theorem is referenced by:  hartogs  8996
  Copyright terms: Public domain W3C validator