Theorem hartogslem2 9590

Description: Lemma for hartogs 9591. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hartogslem.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3	⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}

Assertion

Ref	Expression
hartogslem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hartogslem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟 ⊆ 𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2		hartogslem.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∃𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑠 = (𝑓‘𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓‘𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
3	1, 2	hartogslem1 9589	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴}))
4	3	simp3i 1142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴})
5	3	simp2i 1141	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
6	3	simp1i 1140	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7		sqxpexg 7781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
8	7	pwexd 5388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		ssexg 5332	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
10	6, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
11		funex 7246	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
12	5, 10, 11	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
13		rnexg 7932	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
15	4, 14	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≼ 𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3481   ∖ cdif 3963   ⊆ wss 3966  𝒫 cpw 4608   class class class wbr 5151  {copab 5213   I cid 5586   E cep 5592   We wwe 5644   × cxp 5691  dom cdm 5693  ran crn 5694   ↾ cres 5695  Oncon0 6392  Fun wfun 6563  ‘cfv 6569   ≼ cdom 8991  OrdIsocoi 9556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-en 8994  df-dom 8995  df-oi 9557

This theorem is referenced by:  hartogs  9591