Theorem hfuniOLD 9896

Description: Obsolete version of hfuni 9895 as of 17-Sep-2026. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hfuniOLD	⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuniOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9852	. . 3 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9777	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3		ontr 6463	. . . . . 6 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ On → Tr (rank‘𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Tr (rank‘𝐴)
5		df-tr 5212	. . . . 5 ⊢ (Tr (rank‘𝐴) ↔ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
6	4, 5	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
7		elhf2g 9882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
8	7	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
9		rankon 9777	. . . . . . 7 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ∈ On
10	1, 9	eqeltrri 2857	. . . . . 6 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ∈ On
11	10	onordi 6465	. . . . 5 ⊢ Ord ∪ (rank‘𝐴)
12		ordom 7870	. . . . 5 ⊢ Ord ω
13		ordtr2 6397	. . . . 5 ⊢ ((Ord ∪ (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
15	6, 8, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
16	1, 15	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω)
17		uniexg 7740	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ V)
18		elhf2g 9882	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
20	16, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4866  Tr wtr 5211  Ord word 6350  Oncon0 6351  ‘cfv 6527  ωcom 7860  rankcrnk 9745   Hf chf 9877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-r1 9746  df-rank 9747  df-hf 9878

This theorem is used by: (None)