Theorem hial0 31031

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 31028	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
7		hi01 31025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
9	8	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
11	10	ralrimdv 3131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
12	5, 11	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  (class class class)co 7387  0cc0 11068   ℋchba 30848   ·_ih csp 30851  0_ℎc0v 30853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-hv0cl 30932  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  choc1  31256  ho01i  31757  ho02i  31758