Theorem hial0 31004

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 31001	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
7		hi01 30998	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
9	8	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
11	10	ralrimdv 3131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
12	5, 11	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  (class class class)co 7369  0cc0 11044   ℋchba 30821   ·_ih csp 30824  0_ℎc0v 30826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hv0cl 30905  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his3 30986  ax-his4 30987

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189

This theorem is referenced by:  choc1  31229  ho01i  31730  ho02i  31731