Theorem hial0 31038

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 31035	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
7		hi01 31032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
9	8	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
11	10	ralrimdv 3132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
12	5, 11	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  (class class class)co 7390  0cc0 11075   ℋchba 30855   ·_ih csp 30858  0_ℎc0v 30860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hv0cl 30939  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  choc1  31263  ho01i  31764  ho02i  31765