Theorem hial0 31088

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3602	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 31085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
7		hi01 31082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
9	8	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
11	10	ralrimdv 3139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
12	5, 11	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  (class class class)co 7410  0cc0 11134   ℋchba 30905   ·_ih csp 30908  0_ℎc0v 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-hv0cl 30989  ax-hvmul0 30996  ax-hfi 31065  ax-his3 31070  ax-his4 31071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279

This theorem is referenced by:  choc1  31313  ho01i  31814  ho02i  31815