HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hial0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hial0 28531
Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hial0 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0
StepHypRef Expression
1 oveq2 6930 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
21eqeq1d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
32rspcv 3507 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4 his6 28528 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
53, 4sylibd 231 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0))
6 oveq1 6929 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0 ·ih 𝑥))
7 hi01 28525 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑥) = 0)
86, 7sylan9eq 2834 . . . . 5 ((𝐴 = 0𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
98ex 403 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
1110ralrimdv 3150 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
125, 11impbid 204 1 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  (class class class)co 6922  0cc0 10272  chba 28348   ·ih csp 28351  0c0v 28353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-hv0cl 28432  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his3 28513  ax-his4 28514
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416
This theorem is referenced by:  choc1  28758  ho01i  29259  ho02i  29260
  Copyright terms: Public domain W3C validator