HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hial0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hial0 31122
Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hial0 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
21eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
32rspcv 3617 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4 his6 31119 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
53, 4sylibd 239 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0))
6 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0 ·ih 𝑥))
7 hi01 31116 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑥) = 0)
86, 7sylan9eq 2796 . . . . 5 ((𝐴 = 0𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
98ex 412 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
1110ralrimdv 3151 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
125, 11impbid 212 1 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  (class class class)co 7432  0cc0 11156  chba 30939   ·ih csp 30942  0c0v 30944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-hv0cl 31023  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his3 31104  ax-his4 31105
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301
This theorem is referenced by:  choc1  31347  ho01i  31848  ho02i  31849
  Copyright terms: Public domain W3C validator