Theorem hial0 31761

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 31758	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
7		hi01 31755	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)
9	8	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
11	10	ralrimdv 3164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
12	5, 11	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  (class class class)co 7451  0cc0 11239   ℋchba 31578   ·_ih csp 31581  0_ℎc0v 31583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-hv0cl 31662  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  choc1  31986  ho01i  32487  ho02i  32488