Theorem hial02 31032

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial02	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3605	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 31028	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 0ℎ))
7		hi02 31026	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)))
11	10	ralrimdv 3142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
12	5, 11	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  (class class class)co 7415  0cc0 11148   ℋchba 30848   ·_ih csp 30851  0_ℎc0v 30853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-hv0cl 30932  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12320  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100

This theorem is referenced by:  ho02i  31758