Theorem hial02 28511

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial02	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3522	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 28507	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq2 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 0ℎ))
7		hi02 28505	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	ex 403	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)))
11	10	ralrimdv 3177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
12	5, 11	impbid 204	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  (class class class)co 6910  0cc0 10259   ℋchba 28327   ·_ih csp 28330  0_ℎc0v 28332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-hv0cl 28411  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his3 28492  ax-his4 28493

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-2 11421  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225

This theorem is referenced by:  ho02i  29239