HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hial02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hial02 31032
Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hial02 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial02
StepHypRef Expression
1 oveq1 7422 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih 𝐴))
21eqeq1d 2728 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
32rspcv 3605 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4 his6 31028 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
53, 4sylibd 238 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
6 oveq2 7423 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 0))
7 hi02 31026 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0) = 0)
86, 7sylan9eq 2786 . . . . 5 ((𝐴 = 0𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)
98ex 411 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)))
1110ralrimdv 3142 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
125, 11impbid 211 1 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  (class class class)co 7415  0cc0 11148  chba 30848   ·ih csp 30851  0c0v 30853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-hv0cl 30932  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his3 31013  ax-his4 31014
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12320  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100
This theorem is referenced by:  ho02i  31758
  Copyright terms: Public domain W3C validator