HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ho01i 29614
Description: A condition implying that a Hilbert space operator is identically zero. Lemma 3.2(S8) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ho0.1 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
ho01i (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem ho01i
StepHypRef Expression
1 ho0.1 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2 ffn 6491 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 Fn ℋ
4 ax-hv0cl 28789 . . . . . 6 0 ∈ ℋ
54elexi 3463 . . . . 5 0 ∈ V
65fconst 6543 . . . 4 ( ℋ × {0}): ℋ⟶{0}
7 ffn 6491 . . . 4 (( ℋ × {0}): ℋ⟶{0} → ( ℋ × {0}) Fn ℋ)
86, 7ax-mp 5 . . 3 ( ℋ × {0}) Fn ℋ
9 eqfnfv 6783 . . 3 ((𝑇 Fn ℋ ∧ ( ℋ × {0}) Fn ℋ) → (𝑇 = ( ℋ × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥)))
103, 8, 9mp2an 691 . 2 (𝑇 = ( ℋ × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥))
11 df0op2 29538 . . . 4 0hop = ( ℋ × 0)
12 df-ch0 29039 . . . . 5 0 = {0}
1312xpeq2i 5550 . . . 4 ( ℋ × 0) = ( ℋ × {0})
1411, 13eqtri 2824 . . 3 0hop = ( ℋ × {0})
1514eqeq2i 2814 . 2 (𝑇 = 0hop𝑇 = ( ℋ × {0}))
161ffvelrni 6831 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
17 hial0 28888 . . . . 5 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 0))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 0))
195fvconst2 6947 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
2019eqeq2d 2812 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥) ↔ (𝑇𝑥) = 0))
2118, 20bitr4d 285 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥)))
2221ralbiia 3135 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥))
2310, 15, 223bitr4ri 307 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {csn 4528   × cxp 5521   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  chba 28705   ·ih csp 28708  0c0v 28710  0c0h 28721   0hop ch0o 28729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-shs 29094  df-pjh 29181  df-h0op 29534
This theorem is referenced by:  ho02i  29615  lnopeq0i  29793
  Copyright terms: Public domain W3C validator