HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ho01i 29296
Description: A condition implying that a Hilbert space operator is identically zero. Lemma 3.2(S8) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ho0.1 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
ho01i (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem ho01i
StepHypRef Expression
1 ho0.1 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2 ffn 6382 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 Fn ℋ
4 ax-hv0cl 28471 . . . . . 6 0 ∈ ℋ
54elexi 3456 . . . . 5 0 ∈ V
65fconst 6433 . . . 4 ( ℋ × {0}): ℋ⟶{0}
7 ffn 6382 . . . 4 (( ℋ × {0}): ℋ⟶{0} → ( ℋ × {0}) Fn ℋ)
86, 7ax-mp 5 . . 3 ( ℋ × {0}) Fn ℋ
9 eqfnfv 6667 . . 3 ((𝑇 Fn ℋ ∧ ( ℋ × {0}) Fn ℋ) → (𝑇 = ( ℋ × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥)))
103, 8, 9mp2an 688 . 2 (𝑇 = ( ℋ × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥))
11 df0op2 29220 . . . 4 0hop = ( ℋ × 0)
12 df-ch0 28721 . . . . 5 0 = {0}
1312xpeq2i 5470 . . . 4 ( ℋ × 0) = ( ℋ × {0})
1411, 13eqtri 2819 . . 3 0hop = ( ℋ × {0})
1514eqeq2i 2807 . 2 (𝑇 = 0hop𝑇 = ( ℋ × {0}))
161ffvelrni 6715 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
17 hial0 28570 . . . . 5 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 0))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 0))
195fvconst2 6833 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
2019eqeq2d 2805 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥) ↔ (𝑇𝑥) = 0))
2118, 20bitr4d 283 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥)))
2221ralbiia 3131 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (( ℋ × {0})‘𝑥))
2310, 15, 223bitr4ri 305 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  {csn 4472   × cxp 5441   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  chba 28387   ·ih csp 28390  0c0v 28392  0c0h 28403   0hop ch0o 28411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463  ax-hilex 28467  ax-hfvadd 28468  ax-hvcom 28469  ax-hvass 28470  ax-hv0cl 28471  ax-hvaddid 28472  ax-hfvmul 28473  ax-hvmulid 28474  ax-hvmulass 28475  ax-hvdistr1 28476  ax-hvdistr2 28477  ax-hvmul0 28478  ax-hfi 28547  ax-his1 28550  ax-his2 28551  ax-his3 28552  ax-his4 28553  ax-hcompl 28670
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-lm 21521  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cfil 23541  df-cau 23542  df-cmet 23543  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-gdiv 27964  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-vs 28067  df-nmcv 28068  df-ims 28069  df-dip 28169  df-ssp 28190  df-ph 28281  df-cbn 28331  df-hnorm 28436  df-hba 28437  df-hvsub 28439  df-hlim 28440  df-hcau 28441  df-sh 28675  df-ch 28689  df-oc 28720  df-ch0 28721  df-shs 28776  df-pjh 28863  df-h0op 29216
This theorem is referenced by:  ho02i  29297  lnopeq0i  29475
  Copyright terms: Public domain W3C validator