Theorem ho01i 31575

Description: A condition implying that a Hilbert space operator is identically zero. Lemma 3.2(S8) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ho0.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho01i	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem ho01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0.1	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		ffn 6708	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
4		ax-hv0cl 30750	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5	4	elexi 3486	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
6	5	fconst 6768	. . . 4 ⊢ ( ℋ × {0ℎ}): ℋ⟶{0ℎ}
7		ffn 6708	. . . 4 ⊢ (( ℋ × {0ℎ}): ℋ⟶{0ℎ} → ( ℋ × {0ℎ}) Fn ℋ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ℋ × {0ℎ}) Fn ℋ
9		eqfnfv 7023	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ ( ℋ × {0ℎ}) Fn ℋ) → (𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (( ℋ × {0ℎ})‘𝑥)))
10	3, 8, 9	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (( ℋ × {0ℎ})‘𝑥))
11		df0op2 31499	. . . 4 ⊢ 0hop = ( ℋ × 0ℋ)
12		df-ch0 31000	. . . . 5 ⊢ 0ℋ = {0ℎ}
13	12	xpeq2i 5694	. . . 4 ⊢ ( ℋ × 0ℋ) = ( ℋ × {0ℎ})
14	11, 13	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 0hop = ( ℋ × {0ℎ})
15	14	eqeq2i 2737	. 2 ⊢ (𝑇 = 0hop ↔ 𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}))
16	1	ffvelcdmi 7076	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
17		hial0 30849	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇‘𝑥) = 0ℎ))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇‘𝑥) = 0ℎ))
19	5	fvconst2 7198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0ℎ})‘𝑥) = 0ℎ)
20	19	eqeq2d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) = (( ℋ × {0ℎ})‘𝑥) ↔ (𝑇‘𝑥) = 0ℎ))
21	18, 20	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑇‘𝑥) = (( ℋ × {0ℎ})‘𝑥)))
22	21	ralbiia 3083	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (( ℋ × {0ℎ})‘𝑥))
23	10, 15, 22	3bitr4ri 304	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  {csn 4621   × cxp 5665   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107   ℋchba 30666   ·_ih csp 30669  0_ℎc0v 30671  0_ℋc0h 30682   0_hop ch0o 30690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30746  ax-hfvadd 30747  ax-hvcom 30748  ax-hvass 30749  ax-hv0cl 30750  ax-hvaddid 30751  ax-hfvmul 30752  ax-hvmulid 30753  ax-hvmulass 30754  ax-hvdistr1 30755  ax-hvdistr2 30756  ax-hvmul0 30757  ax-hfi 30826  ax-his1 30829  ax-his2 30830  ax-his3 30831  ax-his4 30832  ax-hcompl 30949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-lm 23077  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cfil 25127  df-cau 25128  df-cmet 25129  df-grpo 30240  df-gid 30241  df-ginv 30242  df-gdiv 30243  df-ablo 30292  df-vc 30306  df-nv 30339  df-va 30342  df-ba 30343  df-sm 30344  df-0v 30345  df-vs 30346  df-nmcv 30347  df-ims 30348  df-dip 30448  df-ssp 30469  df-ph 30560  df-cbn 30610  df-hnorm 30715  df-hba 30716  df-hvsub 30718  df-hlim 30719  df-hcau 30720  df-sh 30954  df-ch 30968  df-oc 30999  df-ch0 31000  df-shs 31055  df-pjh 31142  df-h0op 31495

This theorem is referenced by:  ho02i  31576  lnopeq0i  31754