Theorem ho02i 29024

Description: A condition implying that a Hilbert space operator is identically zero. Lemma 3.2(S10) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ho0.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho02i	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem ho02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3246	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
2		ho0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelrni 6500	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
4		hial02 28296	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑇‘𝑦) = 0ℎ))
5		hial0 28295	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇‘𝑦) = 0ℎ))
6	4, 5	bitr4d 271	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0))
8	7	ralbiia 3128	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0)
9	2	ho01i 29023	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
10	1, 8, 9	3bitri 286	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ⟶wf 6025  ‘cfv 6029  (class class class)co 6792  0cc0 10138   ℋchil 28112   ·_ih csp 28115  0_ℎc0v 28117   0_hop ch0o 28136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28192  ax-hfvadd 28193  ax-hvcom 28194  ax-hvass 28195  ax-hv0cl 28196  ax-hvaddid 28197  ax-hfvmul 28198  ax-hvmulid 28199  ax-hvmulass 28200  ax-hvdistr1 28201  ax-hvdistr2 28202  ax-hvmul0 28203  ax-hfi 28272  ax-his1 28275  ax-his2 28276  ax-his3 28277  ax-his4 28278  ax-hcompl 28395

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12147  df-xadd 12148  df-xmul 12149  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12530  df-fzo 12670  df-fl 12797  df-seq 13005  df-exp 13064  df-hash 13318  df-cj 14043  df-re 14044  df-im 14045  df-sqrt 14179  df-abs 14180  df-clim 14423  df-rlim 14424  df-sum 14621  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-ip 16163  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-hom 16170  df-cco 16171  df-rest 16287  df-topn 16288  df-0g 16306  df-gsum 16307  df-topgen 16308  df-pt 16309  df-prds 16312  df-xrs 16366  df-qtop 16371  df-imas 16372  df-xps 16374  df-mre 16450  df-mrc 16451  df-acs 16453  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-submnd 17540  df-mulg 17745  df-cntz 17953  df-cmn 18398  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20915  df-topon 20932  df-topsp 20954  df-bases 20967  df-cld 21040  df-ntr 21041  df-cls 21042  df-nei 21119  df-cn 21248  df-cnp 21249  df-lm 21250  df-haus 21336  df-tx 21582  df-hmeo 21775  df-fil 21866  df-fm 21958  df-flim 21959  df-flf 21960  df-xms 22341  df-ms 22342  df-tms 22343  df-cfil 23268  df-cau 23269  df-cmet 23270  df-grpo 27683  df-gid 27684  df-ginv 27685  df-gdiv 27686  df-ablo 27735  df-vc 27750  df-nv 27783  df-va 27786  df-ba 27787  df-sm 27788  df-0v 27789  df-vs 27790  df-nmcv 27791  df-ims 27792  df-dip 27892  df-ssp 27913  df-ph 28004  df-cbn 28055  df-hnorm 28161  df-hba 28162  df-hvsub 28164  df-hlim 28165  df-hcau 28166  df-sh 28400  df-ch 28414  df-oc 28445  df-ch0 28446  df-shs 28503  df-pjh 28590  df-h0op 28943

This theorem is referenced by: (None)