Theorem ho02i 29016

Description: A condition implying that a Hilbert space operator is identically zero. Lemma 3.2(S10) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ho0.1	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho02i	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem ho02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3286	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
2		ho0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelrni 6580	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
4		hial02 28288	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑇‘𝑦) = 0ℎ))
5		hial0 28287	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇‘𝑦) = 0ℎ))
6	4, 5	bitr4d 273	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0))
8	7	ralbiia 3167	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0)
9	2	ho01i 29015	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
10	1, 8, 9	3bitri 288	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 197   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  ∀wral 3096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  0cc0 10221   ℋchil 28104   ·_ih csp 28107  0_ℎc0v 28109   0_hop ch0o 28128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cc 9542  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301  ax-hilex 28184  ax-hfvadd 28185  ax-hvcom 28186  ax-hvass 28187  ax-hv0cl 28188  ax-hvaddid 28189  ax-hfvmul 28190  ax-hvmulid 28191  ax-hvmulass 28192  ax-hvdistr1 28193  ax-hvdistr2 28194  ax-hvmul0 28195  ax-hfi 28264  ax-his1 28267  ax-his2 28268  ax-his3 28269  ax-his4 28270  ax-hcompl 28387

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-lm 21247  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cfil 23265  df-cau 23266  df-cmet 23267  df-grpo 27676  df-gid 27677  df-ginv 27678  df-gdiv 27679  df-ablo 27728  df-vc 27742  df-nv 27775  df-va 27778  df-ba 27779  df-sm 27780  df-0v 27781  df-vs 27782  df-nmcv 27783  df-ims 27784  df-dip 27884  df-ssp 27905  df-ph 27996  df-cbn 28047  df-hnorm 28153  df-hba 28154  df-hvsub 28156  df-hlim 28157  df-hcau 28158  df-sh 28392  df-ch 28406  df-oc 28437  df-ch0 28438  df-shs 28495  df-pjh 28582  df-h0op 28935

This theorem is referenced by: (None)