HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho02i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ho02i 29024
Description: A condition implying that a Hilbert space operator is identically zero. Lemma 3.2(S10) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ho0.1 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
ho02i (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem ho02i
StepHypRef Expression
1 ralcom 3246 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0)
2 ho0.1 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelrni 6500 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
4 hial02 28296 . . . . 5 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ (𝑇𝑦) = 0))
5 hial0 28295 . . . . 5 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑦) = 0))
64, 5bitr4d 271 . . . 4 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) = 0))
73, 6syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) = 0))
87ralbiia 3128 . 2 (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) = 0)
92ho01i 29023 . 2 (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
101, 8, 93bitri 286 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6792  0cc0 10138  chil 28112   ·ih csp 28115  0c0v 28117   0hop ch0o 28136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28192  ax-hfvadd 28193  ax-hvcom 28194  ax-hvass 28195  ax-hv0cl 28196  ax-hvaddid 28197  ax-hfvmul 28198  ax-hvmulid 28199  ax-hvmulass 28200  ax-hvdistr1 28201  ax-hvdistr2 28202  ax-hvmul0 28203  ax-hfi 28272  ax-his1 28275  ax-his2 28276  ax-his3 28277  ax-his4 28278  ax-hcompl 28395
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12147  df-xadd 12148  df-xmul 12149  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12530  df-fzo 12670  df-fl 12797  df-seq 13005  df-exp 13064  df-hash 13318  df-cj 14043  df-re 14044  df-im 14045  df-sqrt 14179  df-abs 14180  df-clim 14423  df-rlim 14424  df-sum 14621  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-ip 16163  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-hom 16170  df-cco 16171  df-rest 16287  df-topn 16288  df-0g 16306  df-gsum 16307  df-topgen 16308  df-pt 16309  df-prds 16312  df-xrs 16366  df-qtop 16371  df-imas 16372  df-xps 16374  df-mre 16450  df-mrc 16451  df-acs 16453  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-submnd 17540  df-mulg 17745  df-cntz 17953  df-cmn 18398  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20915  df-topon 20932  df-topsp 20954  df-bases 20967  df-cld 21040  df-ntr 21041  df-cls 21042  df-nei 21119  df-cn 21248  df-cnp 21249  df-lm 21250  df-haus 21336  df-tx 21582  df-hmeo 21775  df-fil 21866  df-fm 21958  df-flim 21959  df-flf 21960  df-xms 22341  df-ms 22342  df-tms 22343  df-cfil 23268  df-cau 23269  df-cmet 23270  df-grpo 27683  df-gid 27684  df-ginv 27685  df-gdiv 27686  df-ablo 27735  df-vc 27750  df-nv 27783  df-va 27786  df-ba 27787  df-sm 27788  df-0v 27789  df-vs 27790  df-nmcv 27791  df-ims 27792  df-dip 27892  df-ssp 27913  df-ph 28004  df-cbn 28055  df-hnorm 28161  df-hba 28162  df-hvsub 28164  df-hlim 28165  df-hcau 28166  df-sh 28400  df-ch 28414  df-oc 28445  df-ch0 28446  df-shs 28503  df-pjh 28590  df-h0op 28943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator