Theorem his6 31302

Description: Zero inner product with self means vector is zero. Lemma 3.1(S6) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his6	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem his6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his4 31288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	gt0ne0d 11751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
3	2	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0))
4	3	necon4d 2981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
5		hi01 31299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
6		oveq1 7403	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (0ℎ ·ih 𝐴) = 0))
8	5, 7	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
9	4, 8	impbid 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7396  0cc0 11073   ℋchba 31122   ·_ih csp 31125  0_ℎc0v 31127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-hv0cl 31206  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his3 31287  ax-his4 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221

This theorem is referenced by:  hial0  31305  hial02  31306  hi2eq  31308  bcseqi  31323  ocin  31499  h1de2bi  31757  h1de2ctlem  31758  normcan  31779  unopf1o  32119  riesz3i  32265