Theorem his6 31188

Description: Zero inner product with self means vector is zero. Lemma 3.1(S6) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his6	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem his6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his4 31174	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	gt0ne0d 11708	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0))
4	3	necon4d 2957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
5		hi01 31185	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
6		oveq1 7368	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (0ℎ ·ih 𝐴) = 0))
8	5, 7	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
9	4, 8	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7361  0cc0 11032   ℋchba 31008   ·_ih csp 31011  0_ℎc0v 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-hv0cl 31092  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178

This theorem is referenced by:  hial0  31191  hial02  31192  hi2eq  31194  bcseqi  31209  ocin  31385  h1de2bi  31643  h1de2ctlem  31644  normcan  31665  unopf1o  32005  riesz3i  32151