Theorem his6 30617

Description: Zero inner product with self means vector is zero. Lemma 3.1(S6) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his6	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem his6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his4 30603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	gt0ne0d 11784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
3	2	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0))
4	3	necon4d 2962	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
5		hi01 30614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
6		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (0ℎ ·ih 𝐴) = 0))
8	5, 7	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
9	4, 8	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7413  0cc0 11114   ℋchba 30437   ·_ih csp 30440  0_ℎc0v 30442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-hv0cl 30521  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his3 30602  ax-his4 30603

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259

This theorem is referenced by:  hial0  30620  hial02  30621  hi2eq  30623  bcseqi  30638  ocin  30814  h1de2bi  31072  h1de2ctlem  31073  normcan  31094  unopf1o  31434  riesz3i  31580