Theorem his6 31583

Description: Zero inner product with self means vector is zero. Lemma 3.1(S6) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his6	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem his6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his4 31569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	gt0ne0d 11805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
3	2	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0))
4	3	necon4d 2979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
5		hi01 31580	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
6		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (0ℎ ·ih 𝐴) = 0))
8	5, 7	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
9	4, 8	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  0cc0 11127   ℋchba 31403   ·_ih csp 31406  0_ℎc0v 31408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-hv0cl 31487  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his3 31568  ax-his4 31569

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275

This theorem is used by:  hial0  31586  hial02  31587  hi2eq  31589  bcseqi  31604  ocin  31780  h1de2bi  32038  h1de2ctlem  32039  normcan  32060  unopf1o  32400  riesz3i  32546