MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioc0 12881
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ioc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocval 12871 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2741 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 df-ne 2936 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅)
4 rabn0 4284 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
53, 4bitr3i 280 . . . . 5 (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
6 xrltletr 12646 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
763com23 1127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
873expa 1119 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
98rexlimdva 3195 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
10 qbtwnxr 12689 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
11 qre 12448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1211rexrd 10782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
14 xrltle 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
15143ad2antr2 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1615anim2d 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
1713, 16anim12d 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))))
1817ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
1912, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
2019adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
2120pm2.43b 55 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))))
2221reximdv2 3182 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
2310, 22mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
24233expia 1122 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
259, 24impbid 215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
265, 25syl5bb 286 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
27 xrltnle 10799 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2826, 27bitrd 282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2928con4bid 320 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
302, 29bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  {crab 3058  c0 4221   class class class wbr 5040  (class class class)co 7183  *cxr 10765   < clt 10766  cle 10767  cq 12443  (,]cioc 12835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-q 12444  df-ioc 12839
This theorem is referenced by:  iocmbl  40657  volioc  43096
  Copyright terms: Public domain W3C validator