Theorem ioc0 13397

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ioc0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ioc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocval 13387	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
2	1	eqeq1d 2730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
3		df-ne 2937	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅)
4		rabn0 4381	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
5	3, 4	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
6		xrltletr 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7	6	3com23 1124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
8	7	3expa 1116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
9	8	rexlimdva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
10		qbtwnxr 13205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
11		qre 12961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
14		xrltle 13154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	14	3ad2antr2 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	anim2d 611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
17	13, 16	anim12d 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
21	20	pm2.43b 55	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
22	21	reximdv2 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
23	10, 22	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
24	23	3expia 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
25	9, 24	impbid 211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
26	5, 25	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
27		xrltnle 11305	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
28	26, 27	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	28	con4bid 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	2, 29	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  {crab 3428  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11271   < clt 11272   ≤ cle 11273  ℚcq 12956  (,]cioc 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-ioc 13355

This theorem is referenced by:  iocmbl  42635  volioc  45354