Theorem ioc0 13294

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ioc0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ioc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocval 13284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
2	1	eqeq1d 2735	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
3		df-ne 2930	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅)
4		rabn0 4338	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
5	3, 4	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
6		xrltletr 13058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7	6	3com23 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
8	7	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
9	8	rexlimdva 3134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
10		qbtwnxr 13101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
11		qre 12853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
14		xrltle 13050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	14	3ad2antr2 1190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
17	13, 16	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
21	20	pm2.43b 55	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
22	21	reximdv2 3143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
23	10, 22	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
24	23	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
25	9, 24	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
26	5, 25	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
27		xrltnle 11186	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
28	26, 27	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	28	con4bid 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	2, 29	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  {crab 3396  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  ℚcq 12848  (,]cioc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-ioc 13252

This theorem is referenced by:  iocmbl  43330  volioc  46094