Theorem ioc0 13553

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ioc0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ioc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocval 13543	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
2	1	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
3		df-ne 2960	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅)
4		rabn0 4342	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
5	3, 4	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
6		xrltletr 13316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7	6	3com23 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
8	7	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
9	8	rexlimdva 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
10		qbtwnxr 13360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
11		qre 13110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
14		xrltle 13308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	14	3ad2antr2 1208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
16	15	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
17	13, 16	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
19	12, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
21	20	pm2.43b 56	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
22	21	reximdv2 3176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
23	10, 22	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
24	23	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
25	9, 24	impbid 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
26	5, 25	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
27		xrltnle 11406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
28	26, 27	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	28	con4bid 320	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	2, 29	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374  ℚcq 13105  (,]cioc 13507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-ioc 13511

This theorem is used by:  iocmbl  44418  volioc  47197