Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inelpisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelpisys 31642
 Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
Assertion
Ref Expression
inelpisys ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intprg 4872 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1128 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 inteq 4842 . . . 4 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → 𝑥 = {𝐴, 𝐵})
43eleq1d 2837 . . 3 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ( 𝑥𝑆 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5 ispisys.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
65ispisys2 31641 . . . . 5 (𝑆𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆))
76simprbi 501 . . . 4 (𝑆𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
873ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
9 prelpwi 5309 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
1093adant1 1128 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11 prfi 8827 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
1310, 12elind 4100 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14 prnzg 4672 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15143ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1615neneqd 2957 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17 elsni 4540 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
1816, 17nsyl 142 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
1913, 18eldifd 3870 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
204, 8, 19rspcdva 3544 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
212, 20eqeltrrd 2854 1 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  {crab 3075   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  𝒫 cpw 4495  {csn 4523  {cpr 4525  ∩ cint 4839  ‘cfv 6336  Fincfn 8528  ficfi 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-om 7581  df-1o 8113  df-en 8529  df-fin 8532  df-fi 8909 This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  31653
 Copyright terms: Public domain W3C validator