Theorem inelpisys 34666

Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
inelpisys	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		inteq 4910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑥 = ∩ {𝐴, 𝐵})
4	3	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5		ispisys.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
6	5	ispisys2 34665	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆))
7	6	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
9		prelpwi 5422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
10	9	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11		prfi 9294	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	10, 12	elind 4146	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14		prnzg 4739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
16	15	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
18	16, 17	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
19	13, 18	eldifd 3910	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
20	4, 8, 19	rspcdva 3577	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
21	2, 20	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586  ∩ cint 4907  ‘cfv 6533  Fincfn 8953  ficfi 9381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8456  df-2o 8457  df-en 8954  df-fin 8957  df-fi 9382

This theorem is used by:  ldgenpisyslem3  34677