Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inelpisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelpisys 34155
Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
Assertion
Ref Expression
inelpisys ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intprg 4981 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1131 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 inteq 4949 . . . 4 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → 𝑥 = {𝐴, 𝐵})
43eleq1d 2826 . . 3 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ( 𝑥𝑆 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5 ispisys.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
65ispisys2 34154 . . . . 5 (𝑆𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆))
76simprbi 496 . . . 4 (𝑆𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
873ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
9 prelpwi 5452 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
1093adant1 1131 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11 prfi 9363 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
1310, 12elind 4200 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14 prnzg 4778 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15143ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1615neneqd 2945 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17 elsni 4643 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
1816, 17nsyl 140 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
1913, 18eldifd 3962 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
204, 8, 19rspcdva 3623 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
212, 20eqeltrrd 2842 1 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   cint 4946  cfv 6561  Fincfn 8985  ficfi 9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451
This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  34166
  Copyright terms: Public domain W3C validator