Theorem inelpisys 33152

Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
inelpisys	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4986	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		inteq 4954	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑥 = ∩ {𝐴, 𝐵})
4	3	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5		ispisys.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
6	5	ispisys2 33151	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆))
7	6	simprbi 498	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
8	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
9		prelpwi 5448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
10	9	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11		prfi 9322	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	10, 12	elind 4195	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14		prnzg 4783	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15	14	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
16	15	neneqd 2946	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17		elsni 4646	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
18	16, 17	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
19	13, 18	eldifd 3960	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
20	4, 8, 19	rspcdva 3614	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
21	2, 20	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  {crab 3433   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  ∩ cint 4951  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  ficfi 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  33163