Theorem inelpisys 33140

Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
inelpisys	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4984	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		inteq 4952	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑥 = ∩ {𝐴, 𝐵})
4	3	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5		ispisys.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
6	5	ispisys2 33139	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆))
7	6	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
9		prelpwi 5446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
10	9	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11		prfi 9318	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	10, 12	elind 4193	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14		prnzg 4781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
16	15	neneqd 2945	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17		elsni 4644	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
18	16, 17	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
19	13, 18	eldifd 3958	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
20	4, 8, 19	rspcdva 3613	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
21	2, 20	eqeltrrd 2834	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629  ∩ cint 4949  ‘cfv 6540  Fincfn 8935  ficfi 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  33151