Theorem inelpisys 34121

Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
inelpisys	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		inteq 4899	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑥 = ∩ {𝐴, 𝐵})
4	3	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5		ispisys.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
6	5	ispisys2 34120	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆))
7	6	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
9		prelpwi 5390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
10	9	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11		prfi 9213	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	10, 12	elind 4151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14		prnzg 4730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
16	15	neneqd 2930	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17		elsni 4594	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
18	16, 17	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
19	13, 18	eldifd 3914	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
20	4, 8, 19	rspcdva 3578	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
21	2, 20	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3394   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  {cpr 4579  ∩ cint 4896  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  ficfi 9300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-2o 8389  df-en 8873  df-fin 8876  df-fi 9301

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  34132