Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inelpisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelpisys 30557
Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
Assertion
Ref Expression
inelpisys ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intprg 4645 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1124 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 inteq 4614 . . . 4 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → 𝑥 = {𝐴, 𝐵})
4 eqidd 2772 . . . 4 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → 𝑆 = 𝑆)
53, 4eleq12d 2844 . . 3 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ( 𝑥𝑆 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
6 ispisys.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
76ispisys2 30556 . . . . 5 (𝑆𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆))
87simprbi 484 . . . 4 (𝑆𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
983ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
10 prssi 4487 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
11 prex 5037 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1211elpw 4303 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
1310, 12sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
14133adant1 1124 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
15 prfi 8391 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
1714, 16elind 3949 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
18 prnzg 4446 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
19183ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
2019neneqd 2948 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
21 elsni 4333 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
2221con3i 151 . . . . 5 (¬ {𝐴, 𝐵} = ∅ → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
2320, 22syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
2417, 23eldifd 3734 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
255, 9, 24rspcdva 3466 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
262, 25eqeltrrd 2851 1 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318   cint 4611  cfv 6031  Fincfn 8109  ficfi 8472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473
This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  30568
  Copyright terms: Public domain W3C validator