Theorem inelpisys 34311

Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
inelpisys	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
3		inteq 4905	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑥 = ∩ {𝐴, 𝐵})
4	3	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
5		ispisys.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
6	5	ispisys2 34310	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆))
7	6	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑆)
9		prelpwi 5395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
10	9	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
11		prfi 9224	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	10, 12	elind 4152	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
14		prnzg 4735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
16	15	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
17		elsni 4597	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
18	16, 17	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
19	13, 18	eldifd 3912	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
20	4, 8, 19	rspcdva 3577	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
21	2, 20	eqeltrrd 2837	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3399   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  {cpr 4582  ∩ cint 4902  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  ficfi 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-2o 8398  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  34322