Theorem sigapisys 33710

Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
sigapisys	⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃

Distinct variable group:   𝑂,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigasspw 33671	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
2		velpw 4603	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
3	1, 2	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4		elrnsiga 33681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		eldifsn 4786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
7	6	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin))
10	9	elin1d 4194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
11	9	elin2d 4195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ Fin)
12		fict 9668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ≼ ω)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≼ ω)
14	8	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
15		sigaclci 33687	. . . . . 6 ⊢ (((𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
16	5, 10, 13, 14, 15	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
17	16	ralrimiva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
18	3, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡))
19		ispisys.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
20	19	ispisys2 33708	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡))
21	18, 20	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝑃)
22	21	ssriv 3982	1 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  {crab 3427   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  ∪ cuni 4903  ∩ cint 4944   class class class wbr 5142  ran crn 5673  ‘cfv 6542  ωcom 7864   ≼ cdom 8953  Fincfn 8955  ficfi 9425  sigAlgebracsiga 33663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-ac2 10478

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-siga 33664

This theorem is referenced by:  sigapildsys  33717