Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapisys 30665
Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
Assertion
Ref Expression
sigapisys (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
Distinct variable group:   𝑂,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys
Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sigasspw 30626 . . . . 5 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
2 selpw 4322 . . . . 5 (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
31, 2sylibr 225 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4 elrnsiga 30636 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ran sigAlgebra)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑡 ran sigAlgebra)
6 eldifsn 4472 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
76biimpi 207 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
87adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
98simpld 488 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin))
109elin1d 3964 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
119elin2d 3965 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ Fin)
12 fict 8765 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ≼ ω)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≼ ω)
148simprd 489 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
15 sigaclci 30642 . . . . . 6 (((𝑡 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝑡)
165, 10, 13, 14, 15syl22anc 867 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥𝑡)
1716ralrimiva 3113 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑡)
183, 17jca 507 . . 3 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑡))
19 ispisys.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2019ispisys2 30663 . . 3 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑡))
2118, 20sylibr 225 . 2 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡𝑃)
2221ssriv 3765 1 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   cuni 4594   cint 4633   class class class wbr 4809  ran crn 5278  cfv 6068  ωcom 7263  cdom 8158  Fincfn 8160  ficfi 8523  sigAlgebracsiga 30617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-ac2 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-siga 30618
This theorem is referenced by:  sigapildsys  30672
  Copyright terms: Public domain W3C validator