Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapisys 33451
Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
Assertion
Ref Expression
sigapisys (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
Distinct variable group:   𝑂,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys
Dummy variables 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sigasspw 33412 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
2 velpw 4606 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
31, 2sylibr 233 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4 elrnsiga 33422 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6 eldifsn 4789 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↔ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
76biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
87adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
98simpld 493 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))
109elin1d 4197 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
119elin2d 4198 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
12 fict 9650 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ Fin β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
148simprd 494 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
15 sigaclci 33428 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
165, 10, 13, 14, 15syl22anc 835 . . . . 5 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
1716ralrimiva 3144 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
183, 17jca 510 . . 3 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑))
19 ispisys.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
2019ispisys2 33449 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑))
2118, 20sylibr 233 . 2 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
2221ssriv 3985 1 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  ficfi 9407  sigAlgebracsiga 33404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-siga 33405
This theorem is referenced by:  sigapildsys  33458
  Copyright terms: Public domain W3C validator