Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapisys 32818
Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
Assertion
Ref Expression
sigapisys (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
Distinct variable group:   𝑂,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys
Dummy variables 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sigasspw 32779 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
2 velpw 4569 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
31, 2sylibr 233 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4 elrnsiga 32789 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
54adantr 482 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6 eldifsn 4751 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↔ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
76biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
98simpld 496 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))
109elin1d 4162 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
119elin2d 4163 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
12 fict 9597 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ Fin β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
148simprd 497 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
15 sigaclci 32795 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
165, 10, 13, 14, 15syl22anc 838 . . . . 5 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
1716ralrimiva 3140 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
183, 17jca 513 . . 3 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑))
19 ispisys.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
2019ispisys2 32816 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑))
2118, 20sylibr 233 . 2 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
2221ssriv 3952 1 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911   class class class wbr 5109  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  Fincfn 8889  ficfi 9354  sigAlgebracsiga 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-siga 32772
This theorem is referenced by:  sigapildsys  32825
  Copyright terms: Public domain W3C validator