Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapisys 33153
Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
Assertion
Ref Expression
sigapisys (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
Distinct variable group:   𝑂,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys
Dummy variables 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sigasspw 33114 . . . . 5 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
2 velpw 4608 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
31, 2sylibr 233 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4 elrnsiga 33124 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
54adantr 482 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↔ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
76biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…))
98simpld 496 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))
109elin1d 4199 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
119elin2d 4200 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
12 fict 9648 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ Fin β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
148simprd 497 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
15 sigaclci 33130 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
165, 10, 13, 14, 15syl22anc 838 . . . . 5 ((𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
1716ralrimiva 3147 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑)
183, 17jca 513 . . 3 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑))
19 ispisys.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
2019ispisys2 33151 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑑 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑑))
2118, 20sylibr 233 . 2 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
2221ssriv 3987 1 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  ficfi 9405  sigAlgebracsiga 33106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-siga 33107
This theorem is referenced by:  sigapildsys  33160
  Copyright terms: Public domain W3C validator