Theorem sigapisys 33148

Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
sigapisys	⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃

Distinct variable group:   𝑂,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigasspw 33109	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
2		velpw 4607	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
3	1, 2	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4		elrnsiga 33119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		eldifsn 4790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
7	6	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
9	8	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin))
10	9	elin1d 4198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
11	9	elin2d 4199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ Fin)
12		fict 9647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ≼ ω)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≼ ω)
14	8	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
15		sigaclci 33125	. . . . . 6 ⊢ (((𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
16	5, 10, 13, 14, 15	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
17	16	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
18	3, 17	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡))
19		ispisys.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
20	19	ispisys2 33146	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡))
21	18, 20	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝑃)
22	21	ssriv 3986	1 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ∪ cuni 4908  ∩ cint 4950   class class class wbr 5148  ran crn 5677  ‘cfv 6543  ωcom 7854   ≼ cdom 8936  Fincfn 8938  ficfi 9404  sigAlgebracsiga 33101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-siga 33102

This theorem is referenced by:  sigapildsys  33155