Theorem sigapisys 32023

Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ispisys.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
sigapisys	⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃

Distinct variable group:   𝑂,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys

Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigasspw 31984	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
2		velpw 4535	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
3	1, 2	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4		elrnsiga 31994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		eldifsn 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
7	6	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin))
10	9	elin1d 4128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
11	9	elin2d 4129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ Fin)
12		fict 9341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ≼ ω)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≼ ω)
14	8	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
15		sigaclci 32000	. . . . . 6 ⊢ (((𝑡 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
16	5, 10, 13, 14, 15	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
17	16	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡)
18	3, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡))
19		ispisys.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
20	19	ispisys2 32021	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑡))
21	18, 20	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝑃)
22	21	ssriv 3921	1 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ cuni 4836  ∩ cint 4876   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ‘cfv 6418  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  ficfi 9099  sigAlgebracsiga 31976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-siga 31977

This theorem is referenced by:  sigapildsys  32030