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Theorem pmatcoe1fsupp 21452
Description: For a polynomial matrix there is an upper bound for the coefficients of all the polynomials being not 0. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcoe1fsupp.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcoe1fsupp.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcoe1fsupp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcoe1fsupp.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pmatcoe1fsupp ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥   𝑖,𝑀,𝑗,𝑠,𝑥   𝑖,𝑁,𝑗,𝑠,𝑥   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥   0 ,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑗,𝑠)

Proof of Theorem pmatcoe1fsupp
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3969 . . . . . 6 {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0))
32olcd 873 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∨ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0)))
4 inss 4129 . . . 4 (( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∨ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0)) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0))
6 xpfi 8863 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
76anidms 570 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
8 snfi 8642 . . . . . . . 8 {(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁)) → {(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
109ralrimiva 3096 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
117, 10jca 515 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin))
12113ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin))
13 iunfi 8885 . . . 4 (((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin) → 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
14 infi 8820 . . . 4 ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin)
1512, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin)
16 pmatcoe1fsupp.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
17 fvex 6687 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
1816, 17eqeltri 2829 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ V)
20 elin 3859 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ↔ (𝑤 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }))
21 breq1 5033 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 finSupp 0𝑤 finSupp 0 ))
2221elrab 3588 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (𝑤 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝑤 finSupp 0 ))
2322simprbi 500 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } → 𝑤 finSupp 0 )
2420, 23simplbiim 508 . . . . 5 (𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) → 𝑤 finSupp 0 )
2524rgen 3063 . . . 4 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0
2625a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 )
27 fsuppmapnn0fiub0 13452 . . . 4 ((( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )))
2827imp 410 . . 3 (((( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ))
295, 15, 19, 26, 28syl31anc 1374 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ))
30 opelxpi 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
31 df-ov 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖𝑀𝑗) = (𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
3231fveq2i 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
33 fvex 6687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)) ∈ V
3433snid 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}
3532, 34eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))})
37 2fveq3 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (coe1‘(𝑀𝑢)) = (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
3837sneqd 4528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → {(coe1‘(𝑀𝑢))} = {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))})
3938eliuni 4887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁) ∧ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
4030, 36, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
4140adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
42 pmatcoe1fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
43 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44 pmatcoe1fsupp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐶)
45 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
46 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
4744eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
4847biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
49483ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
5049ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
5150, 44eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀𝐵)
5242, 43, 44, 45, 46, 51matecld 21177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
53 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
54 pmatcoe1fsupp.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Poly1𝑅)
55 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
56 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5753, 43, 54, 55, 56coe1fsupp 20989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
5852, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
5916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 = (0g𝑅))
6059breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑣 finSupp 0𝑣 finSupp (0g𝑅)))
6160rabbidv 3381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } = {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
6261eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)}))
6362ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)}))
6458, 63mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })
6541, 64elind 4084 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }))
66 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
67 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → (𝑤𝑧) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧))
6867eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → ((𝑤𝑧) = 0 ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ))
6968imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → ((𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑧 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 )))
70 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑧𝑠 < 𝑥))
71 fveqeq2 6683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
7270, 71imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑧 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7369, 72rspc2v 3536 . . . . . . . . . . . 12 (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7465, 66, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7574ex 416 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7675com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7776impancom 455 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7877imp 410 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7978com23 86 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8079ralrimdvv 3105 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
8180ralrimiva 3096 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
8281ex 416 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8382reximdva 3184 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8429, 83mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  cin 3842  wss 3843  {csn 4516  cop 4522   ciun 4881   class class class wbr 5030   × cxp 5523  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Fincfn 8555   finSupp cfsupp 8906   < clt 10753  0cn0 11976  Basecbs 16586  0gc0g 16816  Ringcrg 19416  Poly1cpl1 20952  coe1cco1 20953   Mat cmat 21158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-prds 16824  df-pws 16826  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957  df-coe1 20958  df-mat 21159
This theorem is referenced by:  decpmataa0  21519  decpmatmulsumfsupp  21524  pmatcollpw2lem  21528  pm2mpmhmlem1  21569
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