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Theorem pmatcoe1fsupp 22050
Description: For a polynomial matrix there is an upper bound for the coefficients of all the polynomials being not 0. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcoe1fsupp.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcoe1fsupp.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcoe1fsupp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcoe1fsupp.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pmatcoe1fsupp ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥   𝑖,𝑀,𝑗,𝑠,𝑥   𝑖,𝑁,𝑗,𝑠,𝑥   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥   0 ,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑗,𝑠)

Proof of Theorem pmatcoe1fsupp
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4037 . . . . . 6 {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0))
32olcd 872 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∨ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0)))
4 inss 4198 . . . 4 (( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∨ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0)) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0))
6 xpfi 9261 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
76anidms 567 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
8 snfi 8988 . . . . . . . 8 {(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁)) → {(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
109ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
117, 10jca 512 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin))
12113ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin))
13 iunfi 9284 . . . 4 (((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin) → 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
14 infi 9212 . . . 4 ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin)
1512, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin)
16 pmatcoe1fsupp.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
17 fvex 6855 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
1816, 17eqeltri 2834 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ V)
20 elin 3926 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ↔ (𝑤 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }))
21 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 finSupp 0𝑤 finSupp 0 ))
2221elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (𝑤 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝑤 finSupp 0 ))
2322simprbi 497 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } → 𝑤 finSupp 0 )
2420, 23simplbiim 505 . . . . 5 (𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) → 𝑤 finSupp 0 )
2524rgen 3066 . . . 4 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0
2625a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 )
27 fsuppmapnn0fiub0 13898 . . . 4 ((( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )))
2827imp 407 . . 3 (((( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ))
295, 15, 19, 26, 28syl31anc 1373 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ))
30 opelxpi 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
31 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖𝑀𝑗) = (𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
3231fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
33 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)) ∈ V
3433snid 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}
3532, 34eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))})
37 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (coe1‘(𝑀𝑢)) = (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
3837sneqd 4598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → {(coe1‘(𝑀𝑢))} = {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))})
3938eliuni 4960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁) ∧ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
4030, 36, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
42 pmatcoe1fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44 pmatcoe1fsupp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐶)
45 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
46 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
4744eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
4847biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
49483ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
5049ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
5150, 44eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀𝐵)
5242, 43, 44, 45, 46, 51matecld 21775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
53 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
54 pmatcoe1fsupp.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Poly1𝑅)
55 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5753, 43, 54, 55, 56coe1fsupp 21585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
5852, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
5916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 = (0g𝑅))
6059breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑣 finSupp 0𝑣 finSupp (0g𝑅)))
6160rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } = {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
6261eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)}))
6362ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)}))
6458, 63mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })
6541, 64elind 4154 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }))
66 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
67 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → (𝑤𝑧) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧))
6867eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → ((𝑤𝑧) = 0 ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ))
6968imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → ((𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑧 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 )))
70 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑧𝑠 < 𝑥))
71 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
7270, 71imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑧 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7369, 72rspc2v 3590 . . . . . . . . . . . 12 (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7465, 66, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7574ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7675com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7776impancom 452 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7877imp 407 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7978com23 86 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8079ralrimdvv 3198 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
8180ralrimiva 3143 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
8281ex 413 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8382reximdva 3165 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8429, 83mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  cop 4592   ciun 4954   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305   < clt 11189  0cn0 12413  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Ringcrg 19964  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  decpmataa0  22117  decpmatmulsumfsupp  22122  pmatcollpw2lem  22126  pm2mpmhmlem1  22167
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