Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemgun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemgun 34489
Description: A property of the defined operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
ballotlemgun.1 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
ballotlemgun.2 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
ballotlemgun.3 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
ballotlemgun.4 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ballotlemgun (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐼   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑈,𝑣   𝑢,𝑉,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑊(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)

Proof of Theorem ballotlemgun
StepHypRef Expression
1 indir 4305 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
21fveq2i 6923 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
3 ballotlemgun.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
4 infi 9330 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
6 ballotlemgun.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
7 infi 9330 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
9 ballotlemgun.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
109ineq1d 4240 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = (∅ ∩ 𝑈))
11 inindir 4257 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
12 0in 4420 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝑈) = ∅
1310, 11, 123eqtr3g 2803 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
14 hashun 14431 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
155, 8, 13, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
162, 15eqtrid 2792 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
17 difundir 4310 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
1817fveq2i 6923 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
19 diffi 9242 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
21 diffi 9242 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
239difeq1d 4148 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = (∅ ∖ 𝑈))
24 difindir 4312 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
25 0dif 4428 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝑈) = ∅
2623, 24, 253eqtr3g 2803 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
27 hashun 14431 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2820, 22, 26, 27syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2918, 28eqtrid 2792 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
3016, 29oveq12d 7466 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))))
31 hashcl 14405 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
323, 4, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 12615 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
34 hashcl 14405 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
356, 7, 343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12615 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
37 hashcl 14405 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
383, 19, 373syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12615 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
40 hashcl 14405 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
416, 21, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 12615 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
4333, 36, 39, 42addsub4d 11694 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
4430, 43eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
45 ballotlemgun.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
46 unfi 9238 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
473, 6, 46syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
48 ballotth.m . . . 4 𝑀 ∈ ℕ
49 ballotth.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
50 ballotth.o . . . 4 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
51 ballotth.p . . . 4 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
52 ballotth.f . . . 4 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
53 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
54 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
55 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
56 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
57 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
58 ballotlemg . . . 4 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
5948, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 34488 . . 3 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑉𝑊) ∈ Fin) → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6045, 47, 59syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6148, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 34488 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6245, 3, 61syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6348, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 34488 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6445, 6, 63syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6562, 64oveq12d 7466 . 2 (𝜑 → ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
6644, 60, 653eqtr4d 2790 1 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  c0 4352  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cima 5703  cfv 6573  (class class class)co 7448  cmpo 7450  Fincfn 9003  infcinf 9510  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  cn 12293  0cn0 12553  cz 12639  ...cfz 13567  chash 14379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-hash 14380
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  34493
  Copyright terms: Public domain W3C validator