Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemgun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemgun 33821
Description: A property of the defined operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
ballotlemgun.1 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
ballotlemgun.2 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
ballotlemgun.3 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
ballotlemgun.4 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ballotlemgun (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐼   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑈,𝑣   𝑢,𝑉,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑊(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)

Proof of Theorem ballotlemgun
StepHypRef Expression
1 indir 4274 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
21fveq2i 6893 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
3 ballotlemgun.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
4 infi 9270 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
6 ballotlemgun.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
7 infi 9270 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
9 ballotlemgun.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
109ineq1d 4210 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = (∅ ∩ 𝑈))
11 inindir 4226 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
12 0in 4392 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝑈) = ∅
1310, 11, 123eqtr3g 2793 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
14 hashun 14346 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
155, 8, 13, 14syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
162, 15eqtrid 2782 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
17 difundir 4279 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
1817fveq2i 6893 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
19 diffi 9181 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
21 diffi 9181 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
239difeq1d 4120 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = (∅ ∖ 𝑈))
24 difindir 4281 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
25 0dif 4400 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝑈) = ∅
2623, 24, 253eqtr3g 2793 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
27 hashun 14346 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2820, 22, 26, 27syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2918, 28eqtrid 2782 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
3016, 29oveq12d 7429 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))))
31 hashcl 14320 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
323, 4, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 12538 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
34 hashcl 14320 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
356, 7, 343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12538 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
37 hashcl 14320 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
383, 19, 373syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12538 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
40 hashcl 14320 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
416, 21, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 12538 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
4333, 36, 39, 42addsub4d 11622 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
4430, 43eqtrd 2770 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
45 ballotlemgun.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
46 unfi 9174 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
473, 6, 46syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
48 ballotth.m . . . 4 𝑀 ∈ ℕ
49 ballotth.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
50 ballotth.o . . . 4 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
51 ballotth.p . . . 4 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
52 ballotth.f . . . 4 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
53 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
54 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
55 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
56 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
57 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
58 ballotlemg . . . 4 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
5948, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 33820 . . 3 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑉𝑊) ∈ Fin) → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6045, 47, 59syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6148, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 33820 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6245, 3, 61syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6348, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 33820 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6445, 6, 63syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6562, 64oveq12d 7429 . 2 (𝜑 → ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
6644, 60, 653eqtr4d 2780 1 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  {crab 3430  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  c0 4321  ifcif 4527  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cima 5678  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  Fincfn 8941  infcinf 9438  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448   / cdiv 11875  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  ...cfz 13488  chash 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-hash 14295
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  33825
  Copyright terms: Public domain W3C validator