Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemgun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemgun 34527
Description: A property of the defined operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
ballotlemgun.1 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
ballotlemgun.2 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
ballotlemgun.3 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
ballotlemgun.4 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ballotlemgun (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐼   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑈,𝑣   𝑢,𝑉,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑊(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)

Proof of Theorem ballotlemgun
StepHypRef Expression
1 indir 4286 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
21fveq2i 6909 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
3 ballotlemgun.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
4 infi 9302 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
6 ballotlemgun.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
7 infi 9302 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
9 ballotlemgun.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
109ineq1d 4219 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = (∅ ∩ 𝑈))
11 inindir 4236 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
12 0in 4397 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝑈) = ∅
1310, 11, 123eqtr3g 2800 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
14 hashun 14421 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
155, 8, 13, 14syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
162, 15eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
17 difundir 4291 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
1817fveq2i 6909 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
19 diffi 9215 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
21 diffi 9215 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
239difeq1d 4125 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = (∅ ∖ 𝑈))
24 difindir 4293 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
25 0dif 4405 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝑈) = ∅
2623, 24, 253eqtr3g 2800 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
27 hashun 14421 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2820, 22, 26, 27syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2918, 28eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
3016, 29oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))))
31 hashcl 14395 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
323, 4, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 12589 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
34 hashcl 14395 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
356, 7, 343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12589 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
37 hashcl 14395 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
383, 19, 373syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12589 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
40 hashcl 14395 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
416, 21, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 12589 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
4333, 36, 39, 42addsub4d 11667 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
4430, 43eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
45 ballotlemgun.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
46 unfi 9211 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
473, 6, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
48 ballotth.m . . . 4 𝑀 ∈ ℕ
49 ballotth.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
50 ballotth.o . . . 4 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
51 ballotth.p . . . 4 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
52 ballotth.f . . . 4 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
53 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
54 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
55 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
56 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
57 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
58 ballotlemg . . . 4 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
5948, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 34526 . . 3 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑉𝑊) ∈ Fin) → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6045, 47, 59syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6148, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 34526 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6245, 3, 61syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6348, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 34526 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6445, 6, 63syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6562, 64oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
6644, 60, 653eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8985  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  34531
  Copyright terms: Public domain W3C validator