Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemd 31993
Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemd (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13336 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 diffi 8738 . . . . 5 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4 vmaf 25702 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6 fz1ssnn 12933 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℕ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
87ssdifssd 4094 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
98sselda 3942 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
105, 9ffvelrnd 6834 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
113, 10fsumrecl 15082 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12 2rp 12382 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1413relogcld 25212 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15 1nn0 11901 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 4re 11709 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
17 2re 11699 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
18 6re 11715 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
1918, 17pm3.2i 474 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20 dp2cl 30566 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → 62 ∈ ℝ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 62 ∈ ℝ
2217, 21pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ)
23 dp2cl 30566 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ) → 262 ∈ ℝ)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 262 ∈ ℝ
2516, 24pm3.2i 474 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ)
26 dp2cl 30566 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ) → 4262 ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 4262 ∈ ℝ
28 dpcl 30577 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ04262 ∈ ℝ) → (1.4262) ∈ ℝ)
2915, 27, 28mp2an 691 . . . . 5 (1.4262) ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℝ)
31 hgt750lemc.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3231nnred 11640 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3331nnrpd 12417 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3433rpge0d 12423 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
3532, 34resqrtcld 14768 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
3630, 35remulcld 10660 . . 3 (𝜑 → ((1.4262) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37 0nn0 11900 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
38 0re 10632 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
39 1re 10630 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4038, 39pm3.2i 474 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41 dp2cl 30566 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 01 ∈ ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 01 ∈ ℝ
4338, 42pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ)
44 dp2cl 30566 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ) → 001 ∈ ℝ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ
4638, 45pm3.2i 474 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ)
47 dp2cl 30566 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ) → 0001 ∈ ℝ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 0001 ∈ ℝ
49 dpcl 30577 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ00001 ∈ ℝ) → (0.0001) ∈ ℝ)
5037, 48, 49mp2an 691 . . . . 5 (0.0001) ∈ ℝ
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ)
5251, 35remulcld 10660 . . 3 (𝜑 → ((0.0001) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
5331nnzd 12074 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54 chpvalz 31973 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56 chtvalz 31974 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
5753, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58 inss2 4180 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
6059sselda 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61 vmaprm 25700 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6362sumeq2dv 15051 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
6457, 63eqtr4d 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
6555, 64oveq12d 7158 . . . . 5 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66 infi 8730 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
671, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
684a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69 inss1 4179 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
7069, 6sstri 3951 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
7271sselda 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
7368, 72ffvelrnd 6834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7473recnd 10658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7567, 74fsumcl 15081 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7610recnd 10658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
773, 76fsumcl 15081 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78 inindif 30285 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
7978a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80 inundif 4399 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
8180eqcomi 2831 . . . . . . . 8 (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
834a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
847sselda 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelrnd 6834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
8685recnd 10658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
8779, 82, 1, 86fsumsplit 15088 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
8875, 77, 87mvrladdd 11042 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
8965, 88eqtr2d 2858 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90 fveq2 6652 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91 fveq2 6652 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
9290, 91oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93 fveq2 6652 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
9493oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((1.4262) · (√‘𝑥)) = ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9592, 94breq12d 5055 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁))))
96 ax-ros336 31991 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥))
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)))
9895, 97, 33rspcdva 3600 . . . 4 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9989, 98eqbrtrd 5064 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
10039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101 log2le1 25534 . . . . 5 (log‘2) < 1
102101a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) < 1)
103 10nn0 12104 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
104 7nn0 11907 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
105103, 104nn0expcli 13451 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℕ0
106105nn0rei 11896 . . . . . . 7 (10↑7) ∈ ℝ
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) ∈ ℝ)
10851, 107remulcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) ∈ ℝ)
109103nn0rei 11896 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
110 0z 11980 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
111 3z 12003 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
112109, 110, 1113pm3.2i 1336 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113 1lt10 12225 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
114 3pos 11730 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
115113, 114pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 3)
116 ltexp2a 13526 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 3)) → (10↑0) < (10↑3))
117112, 115, 116mp2an 691 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑3)
118103numexp0 16401 . . . . . . . . . 10 (10↑0) = 1
119118eqcomi 2831 . . . . . . . . 9 1 = (10↑0)
120109recni 10644 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
121 10pos 12103 . . . . . . . . . . . 12 0 < 10
12238, 121gtneii 10741 . . . . . . . . . . 11 10 ≠ 0
123 4z 12004 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
124 expm1 13475 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10))
125120, 122, 123, 124mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10)
126 4m1e3 11754 . . . . . . . . . . 11 (4 − 1) = 3
127126oveq2i 7151 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = (10↑3)
128 4nn0 11904 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
129103, 128nn0expcli 13451 . . . . . . . . . . . 12 (10↑4) ∈ ℕ0
130129nn0cni 11897 . . . . . . . . . . 11 (10↑4) ∈ ℂ
131 divrec2 11304 . . . . . . . . . . 11 (((10↑4) ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4)))
132130, 120, 122, 131mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4))
133125, 127, 1323eqtr3ri 2854 . . . . . . . . 9 ((1 / 10) · (10↑4)) = (10↑3)
134117, 119, 1333brtr4i 5072 . . . . . . . 8 1 < ((1 / 10) · (10↑4))
135 1rp 12381 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
136135dp0h 30588 . . . . . . . . 9 (0.1) = (1 / 10)
137136oveq1i 7150 . . . . . . . 8 ((0.1) · (10↑4)) = ((1 / 10) · (10↑4))
138134, 137breqtrri 5069 . . . . . . 7 1 < ((0.1) · (10↑4))
139138a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < ((0.1) · (10↑4)))
140 4p1e5 11771 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
141 5nn0 11905 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
142141nn0zi 11995 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
14337, 135, 140, 123, 142dpexpp1 30594 . . . . . . 7 ((0.1) · (10↑4)) = ((0.01) · (10↑5))
14437, 135rpdp2cl 30568 . . . . . . . 8 01 ∈ ℝ+
145 5p1e6 11772 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
146 6nn0 11906 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
147146nn0zi 11995 . . . . . . . 8 6 ∈ ℤ
14837, 144, 145, 142, 147dpexpp1 30594 . . . . . . 7 ((0.01) · (10↑5)) = ((0.001) · (10↑6))
14937, 144rpdp2cl 30568 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ+
150 6p1e7 11773 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
151104nn0zi 11995 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
15237, 149, 150, 147, 151dpexpp1 30594 . . . . . . 7 ((0.001) · (10↑6)) = ((0.0001) · (10↑7))
153143, 148, 1523eqtrri 2850 . . . . . 6 ((0.0001) · (10↑7)) = ((0.1) · (10↑4))
154139, 153breqtrrdi 5084 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (10↑7)))
15537, 149rpdp2cl 30568 . . . . . . . 8 0001 ∈ ℝ+
15637, 155rpdpcl 30589 . . . . . . 7 (0.0001) ∈ ℝ+
157156a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ+)
158 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
159158, 104deccl 12101 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ0
160103, 159nn0expcli 13451 . . . . . . . . . 10 (10↑27) ∈ ℕ0
161160nn0rei 11896 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
163160nn0ge0i 11912 . . . . . . . . 9 0 ≤ (10↑27)
164163a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (10↑27))
165162, 164resqrtcld 14768 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ∈ ℝ)
166 expmul 13470 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
167120, 104, 158, 166mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
168 7t2e14 12195 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
169168oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
170167, 169eqtr3i 2847 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
171170fveq2i 6655 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
172 expgt0 13458 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
173109, 151, 121, 172mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
17438, 106, 173ltleii 10752 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
175 sqrtsq 14620 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
176106, 174, 175mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
177171, 176eqtr3i 2847 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
17815, 128deccl 12101 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
179178nn0zi 11995 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
180159nn0zi 11995 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℤ
181109, 179, 1803pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
182 4lt10 12222 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 10
183 1lt2 11796 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
18415, 158, 128, 104, 182, 183decltc 12115 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
185113, 184pm3.2i 474 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
186 ltexp2a 13526 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
187181, 185, 186mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
188103, 178nn0expcli 13451 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑14) ∈ ℕ0
189188nn0rei 11896 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
190 expgt0 13458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
191109, 179, 121, 190mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
19238, 189, 191ltleii 10752 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
193189, 192pm3.2i 474 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
194161, 163pm3.2i 474 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
195 sqrtlt 14612 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
196193, 194, 195mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
197187, 196mpbi 233 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
198177, 197eqbrtrri 5065 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
199198a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑7) < (√‘(10↑27)))
200 hgt750lemd.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
201162, 164, 32, 34sqrtled 14777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((10↑27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁)))
202200, 201mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁))
203107, 165, 35, 199, 202ltletrd 10789 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) < (√‘𝑁))
204107, 35, 157, 203ltmul2dd 12475 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
205100, 108, 52, 154, 204lttrd 10790 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20614, 100, 52, 102, 205lttrd 10790 . . 3 (𝜑 → (log‘2) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20711, 14, 36, 52, 99, 206lt2addd 11252 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
208 nfv 1915 . . 3 𝑖𝜑
209 nfcv 2979 . . 3 𝑖(log‘2)
210 2prm 16025 . . . 4 2 ∈ ℙ
211210a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212 elndif 4080 . . . 4 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213211, 212syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214 fveq2 6652 . . . 4 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215 vmaprm 25700 . . . . 5 (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216210, 215ax-mp 5 . . . 4 (Λ‘2) = (log‘2)
217214, 216syl6eq 2873 . . 3 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218 2cnd 11703 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219 2ne0 11729 . . . . 5 2 ≠ 0
220219a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
221218, 220logcld 25160 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221fsumsplitsn 15091 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223146, 12rpdp2cl 30568 . . . . . 6 62 ∈ ℝ+
224158, 223rpdp2cl 30568 . . . . 5 262 ∈ ℝ+
225 3rp 12383 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
226146, 225rpdp2cl 30568 . . . . . 6 63 ∈ ℝ+
227158, 226rpdp2cl 30568 . . . . 5 263 ∈ ℝ+
228 1p0e1 11749 . . . . 5 (1 + 0) = 1
229 4cn 11710 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
230229addid1i 10816 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
231 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
232231addid1i 10816 . . . . . . 7 (2 + 0) = 2
233 3nn0 11903 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
234 eqid 2822 . . . . . . . . 9 62 = 62
235 eqid 2822 . . . . . . . . 9 01 = 01
236 6cn 11716 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
237236addid1i 10816 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
238 2p1e3 11767 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
239146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238decadd 12140 . . . . . . . 8 (62 + 01) = 63
240146, 158, 37, 15, 146, 233, 239dpadd 30597 . . . . . . 7 ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240dpadd2 30596 . . . . . 6 ((2.62) + (0.01)) = (2.63)
242158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241dpadd2 30596 . . . . 5 ((4.262) + (0.001)) = (4.263)
243128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242dpadd2 30596 . . . 4 ((1.4262) + (0.0001)) = (1.4263)
244243oveq1i 7150 . . 3 (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = ((1.4263) · (√‘𝑁))
24530recnd 10658 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℂ)
24651recnd 10658 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℂ)
24735recnd 10658 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248245, 246, 247adddird 10655 . . 3 (𝜑 → (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
249244, 248syl5eqr 2871 . 2 (𝜑 → ((1.4263) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
250207, 222, 2493brtr4d 5074 1 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4265  {csn 4539   class class class wbr 5042  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  +crp 12377  ...cfz 12885  cexp 13425  csqrt 14583  Σcsu 15033  cprime 16004  logclog 25144  θccht 25674  Λcvma 25675  ψcchp 25676  cdp2 30557  .cdp 30574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-ros336 31991
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ulm 24970  df-log 25146  df-atan 25451  df-cht 25680  df-vma 25681  df-chp 25682  df-dp2 30558  df-dp 30575
This theorem is referenced by:  hgt750leme  32003
  Copyright terms: Public domain W3C validator