Theorem hgt750lemd 34646

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 9145	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 27036	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 13523	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 15707	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 12963	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 26539	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 32807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 32807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 32807	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 32818	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 13000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 13006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 15391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 11211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 32807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 32807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 32807	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 32818	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 11211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 34626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 34627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 4204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 27034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 15675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66		infi 9220	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
67	1, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
68	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69		inss1 4203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
70	69, 6	sstri 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
72	71	sselda 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
75	67, 74	fsumcl 15706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
76	10	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	3, 76	fsumcl 15706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 4341	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 15714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	75, 77, 87	mvrladdd 11598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
89	65, 88	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
92	90, 91	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
94	93	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
95	92, 94	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
96		ax-ros336 34644	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
98	95, 97, 33	rspcdva 3592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
99	89, 98	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101		log2le1 26867	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
102	101	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
103		10nn0 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
104		7nn0 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
105	103, 104	nn0expcli 14060	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 12460	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
108	51, 107	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
109	103	nn0rei 12460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
110		0z 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		3z 12573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
112	109, 110, 111	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113		1lt10 12795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
114		3pos 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
115	113, 114	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
116		ltexp2a 14138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
117	112, 115, 116	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
118	103	numexp0 17053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
119	118	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
120	109	recni 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
121		10pos 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
122	38, 121	gtneii 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
123		4z 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
124		expm1 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
125	120, 122, 123, 124	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
126		4m1e3 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
127	126	oveq2i 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
128		4nn0 12468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
129	103, 128	nn0expcli 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
130	129	nn0cni 12461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
131		divrec2 11861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
132	130, 120, 122, 131	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
133	125, 127, 132	3eqtr3ri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
134	117, 119, 133	3brtr4i 5140	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
135		1rp 12962	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
136	135	dp0h 32829	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
137	136	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
138	134, 137	breqtrri 5137	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
139	138	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
140		4p1e5 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
141		5nn0 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
142	141	nn0zi 12565	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
143	37, 135, 140, 123, 142	dpexpp1 32835	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
144	37, 135	rpdp2cl 32809	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
145		5p1e6 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
146		6nn0 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
147	146	nn0zi 12565	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
148	37, 144, 145, 142, 147	dpexpp1 32835	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
149	37, 144	rpdp2cl 32809	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
150		6p1e7 12336	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
151	104	nn0zi 12565	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
152	37, 149, 150, 147, 151	dpexpp1 32835	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
153	143, 148, 152	3eqtrri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
154	139, 153	breqtrrdi 5152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
155	37, 149	rpdp2cl 32809	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
156	37, 155	rpdpcl 32830	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
157	156	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
158		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
159	158, 104	deccl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
160	103, 159	nn0expcli 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
161	160	nn0rei 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
163	160	nn0ge0i 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
165	162, 164	resqrtcld 15391	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
166		expmul 14079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
167	120, 104, 158, 166	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
168		7t2e14 12765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
169	168	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
170	167, 169	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
171	170	fveq2i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
172		expgt0 14067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
173	109, 151, 121, 172	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
174	38, 106, 173	ltleii 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
175		sqrtsq 15242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
176	106, 174, 175	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
177	171, 176	eqtr3i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
178	15, 128	deccl 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
179	178	nn0zi 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
180	159	nn0zi 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
181	109, 179, 180	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
182		4lt10 12792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
183		1lt2 12359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
184	15, 158, 128, 104, 182, 183	decltc 12685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
185	113, 184	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
186		ltexp2a 14138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
187	181, 185, 186	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
188	103, 178	nn0expcli 14060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
189	188	nn0rei 12460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
190		expgt0 14067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
191	109, 179, 121, 190	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
192	38, 189, 191	ltleii 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
193	189, 192	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
194	161, 163	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
195		sqrtlt 15234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
196	193, 194, 195	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
197	187, 196	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
198	177, 197	eqbrtrri 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
200		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
201	162, 164, 32, 34	sqrtled 15400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
202	200, 201	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
203	107, 165, 35, 199, 202	ltletrd 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
204	107, 35, 157, 203	ltmul2dd 13058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
205	100, 108, 52, 154, 204	lttrd 11342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	14, 100, 52, 102, 205	lttrd 11342	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	11, 14, 36, 52, 99, 206	lt2addd 11808	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
208		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
209		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
210		2prm 16669	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
211	210	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212		elndif 4099	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213	211, 212	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215		vmaprm 27034	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216	210, 215	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
217	214, 216	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218		2cnd 12271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219		2ne0 12297	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
220	219	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
221	218, 220	logcld 26486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222	208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221	fsumsplitsn 15717	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223	146, 12	rpdp2cl 32809	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
224	158, 223	rpdp2cl 32809	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
225		3rp 12964	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
226	146, 225	rpdp2cl 32809	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
227	158, 226	rpdp2cl 32809	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
228		1p0e1 12312	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
229		4cn 12278	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
230	229	addridi 11368	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
231		2cn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
232	231	addridi 11368	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
233		3nn0 12467	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
234		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
235		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
236		6cn 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
237	236	addridi 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
238		2p1e3 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
239	146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238	decadd 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
240	146, 158, 37, 15, 146, 233, 239	dpadd 32838	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241	146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240	dpadd2 32837	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
242	158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241	dpadd2 32837	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
243	128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242	dpadd2 32837	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
244	243	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
245	30	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
246	51	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
247	35	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248	245, 246, 247	adddird 11206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
249	244, 248	eqtr3id 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	207, 222, 249	3brtr4d 5142	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  √csqrt 15206  Σcsu 15659  ℙcprime 16648  logclog 26470  θccht 27008  Λcvma 27009  ψcchp 27010  _cdp2 32798  .cdp 32815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-ros336 34644

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-ulm 26293  df-log 26472  df-atan 26784  df-cht 27014  df-vma 27015  df-chp 27016  df-dp2 32799  df-dp 32816

This theorem is referenced by:  hgt750leme  34656