Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemd 33660
Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemc.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
hgt750lemd.0 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemd (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) < ((1.4263) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
2 diffi 9179 . . . . 5 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((1...𝑁) βˆ– β„™) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) βˆ– β„™) ∈ Fin)
4 vmaf 26623 . . . . . 6 Ξ›:β„•βŸΆβ„
54a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
6 fz1ssnn 13532 . . . . . . . 8 (1...𝑁) βŠ† β„•
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) βŠ† β„•)
87ssdifssd 4143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) βˆ– β„™) βŠ† β„•)
98sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
105, 9ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
113, 10fsumrecl 15680 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
12 2rp 12979 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
1413relogcld 26131 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
15 1nn0 12488 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
16 4re 12296 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
17 2re 12286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
18 6re 12302 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
1918, 17pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20 dp2cl 32046 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ 62 ∈ ℝ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 62 ∈ ℝ
2217, 21pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ)
23 dp2cl 32046 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ) β†’ 262 ∈ ℝ)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 262 ∈ ℝ
2516, 24pm3.2i 472 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ)
26 dp2cl 32046 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ) β†’ 4262 ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 4262 ∈ ℝ
28 dpcl 32057 . . . . . 6 ((1 ∈ β„•0 ∧ 4262 ∈ ℝ) β†’ (1.4262) ∈ ℝ)
2915, 27, 28mp2an 691 . . . . 5 (1.4262) ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1.4262) ∈ ℝ)
31 hgt750lemc.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3231nnred 12227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3331nnrpd 13014 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3433rpge0d 13020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
3532, 34resqrtcld 15364 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3630, 35remulcld 11244 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
37 0nn0 12487 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
38 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
39 1re 11214 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4038, 39pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41 dp2cl 32046 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 01 ∈ ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 01 ∈ ℝ
4338, 42pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ)
44 dp2cl 32046 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ) β†’ 001 ∈ ℝ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ
4638, 45pm3.2i 472 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ)
47 dp2cl 32046 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ) β†’ 0001 ∈ ℝ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 0001 ∈ ℝ
49 dpcl 32057 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ 0001 ∈ ℝ) β†’ (0.0001) ∈ ℝ)
5037, 48, 49mp2an 691 . . . . 5 (0.0001) ∈ ℝ
5150a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0.0001) ∈ ℝ)
5251, 35remulcld 11244 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
5331nnzd 12585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54 chpvalz 33640 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Οˆβ€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘–))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘–))
56 chtvalz 33641 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘–))
5753, 56syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘–))
58 inss2 4230 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ β„™) βŠ† β„™
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) βŠ† β„™)
6059sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑖 ∈ β„™)
61 vmaprm 26621 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„™ β†’ (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜π‘–))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜π‘–))
6362sumeq2dv 15649 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(Ξ›β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘–))
6457, 63eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(Ξ›β€˜π‘–))
6555, 64oveq12d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘–) βˆ’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(Ξ›β€˜π‘–)))
66 infi 9268 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin)
671, 66syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin)
684a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
69 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑁) ∩ β„™) βŠ† (1...𝑁)
7069, 6sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ β„™) βŠ† β„•
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) βŠ† β„•)
7271sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
7368, 72ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7473recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7567, 74fsumcl 15679 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(Ξ›β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7610recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ β„‚)
773, 76fsumcl 15679 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–) ∈ β„‚)
78 inindif 31754 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∩ β„™) ∩ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) = βˆ…
7978a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((1...𝑁) ∩ β„™) ∩ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) = βˆ…)
80 inundif 4479 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∩ β„™) βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) = (1...𝑁)
8180eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ β„™) βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– β„™))
8281a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ β„™) βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– β„™)))
834a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
847sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
8583, 84ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8685recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ β„‚)
8779, 82, 1, 86fsumsplit 15687 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(Ξ›β€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–)))
8875, 77, 87mvrladdd 11627 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘–) βˆ’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(Ξ›β€˜π‘–)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–))
8965, 88eqtr2d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘)))
90 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) = (Οˆβ€˜π‘))
91 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) = (ΞΈβ€˜π‘))
9290, 91oveq12d 7427 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘₯)) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘)))
93 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π‘))
9493oveq2d 7425 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
9592, 94breq12d 5162 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((Οˆβ€˜π‘₯) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘₯)) < ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ↔ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘)) < ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘))))
96 ax-ros336 33658 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((Οˆβ€˜π‘₯) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘₯)) < ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘₯))
9796a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((Οˆβ€˜π‘₯) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘₯)) < ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))
9895, 97, 33rspcdva 3614 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘)) < ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
9989, 98eqbrtrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–) < ((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
10039a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
101 log2le1 26455 . . . . 5 (logβ€˜2) < 1
102101a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) < 1)
103 10nn0 12695 . . . . . . . . 9 10 ∈ β„•0
104 7nn0 12494 . . . . . . . . 9 7 ∈ β„•0
105103, 104nn0expcli 14054 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ β„•0
106105nn0rei 12483 . . . . . . 7 (10↑7) ∈ ℝ
107106a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (10↑7) ∈ ℝ)
10851, 107remulcld 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0.0001) Β· (10↑7)) ∈ ℝ)
109103nn0rei 12483 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
110 0z 12569 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
111 3z 12595 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„€
112109, 110, 1113pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)
113 1lt10 12816 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
114 3pos 12317 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
115113, 114pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 3)
116 ltexp2a 14131 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 3)) β†’ (10↑0) < (10↑3))
117112, 115, 116mp2an 691 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑3)
118103numexp0 17009 . . . . . . . . . 10 (10↑0) = 1
119118eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 1 = (10↑0)
120109recni 11228 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ β„‚
121 10pos 12694 . . . . . . . . . . . 12 0 < 10
12238, 121gtneii 11326 . . . . . . . . . . 11 10 β‰  0
123 4z 12596 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„€
124 expm1 14078 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ β„‚ ∧ 10 β‰  0 ∧ 4 ∈ β„€) β†’ (10↑(4 βˆ’ 1)) = ((10↑4) / 10))
125120, 122, 123, 124mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 βˆ’ 1)) = ((10↑4) / 10)
126 4m1e3 12341 . . . . . . . . . . 11 (4 βˆ’ 1) = 3
127126oveq2i 7420 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 βˆ’ 1)) = (10↑3)
128 4nn0 12491 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„•0
129103, 128nn0expcli 14054 . . . . . . . . . . . 12 (10↑4) ∈ β„•0
130129nn0cni 12484 . . . . . . . . . . 11 (10↑4) ∈ β„‚
131 divrec2 11889 . . . . . . . . . . 11 (((10↑4) ∈ β„‚ ∧ 10 ∈ β„‚ ∧ 10 β‰  0) β†’ ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) Β· (10↑4)))
132130, 120, 122, 131mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) Β· (10↑4))
133125, 127, 1323eqtr3ri 2770 . . . . . . . . 9 ((1 / 10) Β· (10↑4)) = (10↑3)
134117, 119, 1333brtr4i 5179 . . . . . . . 8 1 < ((1 / 10) Β· (10↑4))
135 1rp 12978 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
136135dp0h 32068 . . . . . . . . 9 (0.1) = (1 / 10)
137136oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((0.1) Β· (10↑4)) = ((1 / 10) Β· (10↑4))
138134, 137breqtrri 5176 . . . . . . 7 1 < ((0.1) Β· (10↑4))
139138a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < ((0.1) Β· (10↑4)))
140 4p1e5 12358 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
141 5nn0 12492 . . . . . . . . 9 5 ∈ β„•0
142141nn0zi 12587 . . . . . . . 8 5 ∈ β„€
14337, 135, 140, 123, 142dpexpp1 32074 . . . . . . 7 ((0.1) Β· (10↑4)) = ((0.01) Β· (10↑5))
14437, 135rpdp2cl 32048 . . . . . . . 8 01 ∈ ℝ+
145 5p1e6 12359 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
146 6nn0 12493 . . . . . . . . 9 6 ∈ β„•0
147146nn0zi 12587 . . . . . . . 8 6 ∈ β„€
14837, 144, 145, 142, 147dpexpp1 32074 . . . . . . 7 ((0.01) Β· (10↑5)) = ((0.001) Β· (10↑6))
14937, 144rpdp2cl 32048 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ+
150 6p1e7 12360 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
151104nn0zi 12587 . . . . . . . 8 7 ∈ β„€
15237, 149, 150, 147, 151dpexpp1 32074 . . . . . . 7 ((0.001) Β· (10↑6)) = ((0.0001) Β· (10↑7))
153143, 148, 1523eqtrri 2766 . . . . . 6 ((0.0001) Β· (10↑7)) = ((0.1) Β· (10↑4))
154139, 153breqtrrdi 5191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 < ((0.0001) Β· (10↑7)))
15537, 149rpdp2cl 32048 . . . . . . . 8 0001 ∈ ℝ+
15637, 155rpdpcl 32069 . . . . . . 7 (0.0001) ∈ ℝ+
157156a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0.0001) ∈ ℝ+)
158 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
159158, 104deccl 12692 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ β„•0
160103, 159nn0expcli 14054 . . . . . . . . . 10 (10↑27) ∈ β„•0
161160nn0rei 12483 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (10↑27) ∈ ℝ)
163160nn0ge0i 12499 . . . . . . . . 9 0 ≀ (10↑27)
164163a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (10↑27))
165162, 164resqrtcld 15364 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(10↑27)) ∈ ℝ)
166 expmul 14073 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ β„‚ ∧ 7 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (10↑(7 Β· 2)) = ((10↑7)↑2))
167120, 104, 158, 166mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 Β· 2)) = ((10↑7)↑2)
168 7t2e14 12786 . . . . . . . . . . . . 13 (7 Β· 2) = 14
169168oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 Β· 2)) = (10↑14)
170167, 169eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
171170fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (βˆšβ€˜((10↑7)↑2)) = (βˆšβ€˜(10↑14))
172 expgt0 14061 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ β„€ ∧ 0 < 10) β†’ 0 < (10↑7))
173109, 151, 121, 172mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
17438, 106, 173ltleii 11337 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ (10↑7)
175 sqrtsq 15216 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (10↑7)) β†’ (βˆšβ€˜((10↑7)↑2)) = (10↑7))
176106, 174, 175mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (βˆšβ€˜((10↑7)↑2)) = (10↑7)
177171, 176eqtr3i 2763 . . . . . . . . 9 (βˆšβ€˜(10↑14)) = (10↑7)
17815, 128deccl 12692 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ β„•0
179178nn0zi 12587 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ β„€
180159nn0zi 12587 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ β„€
181109, 179, 1803pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ β„€ ∧ 27 ∈ β„€)
182 4lt10 12813 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 10
183 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
18415, 158, 128, 104, 182, 183decltc 12706 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
185113, 184pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
186 ltexp2a 14131 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ β„€ ∧ 27 ∈ β„€) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) β†’ (10↑14) < (10↑27))
187181, 185, 186mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
188103, 178nn0expcli 14054 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑14) ∈ β„•0
189188nn0rei 12483 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
190 expgt0 14061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ β„€ ∧ 0 < 10) β†’ 0 < (10↑14))
191109, 179, 121, 190mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
19238, 189, 191ltleii 11337 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ (10↑14)
193189, 192pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (10↑14))
194161, 163pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (10↑27))
195 sqrtlt 15208 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (10↑27))) β†’ ((10↑14) < (10↑27) ↔ (βˆšβ€˜(10↑14)) < (βˆšβ€˜(10↑27))))
196193, 194, 195mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (βˆšβ€˜(10↑14)) < (βˆšβ€˜(10↑27)))
197187, 196mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βˆšβ€˜(10↑14)) < (βˆšβ€˜(10↑27))
198177, 197eqbrtrri 5172 . . . . . . . 8 (10↑7) < (βˆšβ€˜(10↑27))
199198a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (10↑7) < (βˆšβ€˜(10↑27)))
200 hgt750lemd.0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
201162, 164, 32, 34sqrtled 15373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((10↑27) ≀ 𝑁 ↔ (βˆšβ€˜(10↑27)) ≀ (βˆšβ€˜π‘)))
202200, 201mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(10↑27)) ≀ (βˆšβ€˜π‘))
203107, 165, 35, 199, 202ltletrd 11374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (10↑7) < (βˆšβ€˜π‘))
204107, 35, 157, 203ltmul2dd 13072 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0.0001) Β· (10↑7)) < ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
205100, 108, 52, 154, 204lttrd 11375 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 < ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
20614, 100, 52, 102, 205lttrd 11375 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) < ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
20711, 14, 36, 52, 99, 206lt2addd 11837 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–) + (logβ€˜2)) < (((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)) + ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘))))
208 nfv 1918 . . 3 β„²π‘–πœ‘
209 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑖(logβ€˜2)
210 2prm 16629 . . . 4 2 ∈ β„™
211210a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„™)
212 elndif 4129 . . . 4 (2 ∈ β„™ β†’ Β¬ 2 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™))
213211, 212syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 2 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™))
214 fveq2 6892 . . . 4 (𝑖 = 2 β†’ (Ξ›β€˜π‘–) = (Ξ›β€˜2))
215 vmaprm 26621 . . . . 5 (2 ∈ β„™ β†’ (Ξ›β€˜2) = (logβ€˜2))
216210, 215ax-mp 5 . . . 4 (Ξ›β€˜2) = (logβ€˜2)
217214, 216eqtrdi 2789 . . 3 (𝑖 = 2 β†’ (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜2))
218 2cnd 12290 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
219 2ne0 12316 . . . . 5 2 β‰  0
220219a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
221218, 220logcld 26079 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) ∈ β„‚)
222208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221fsumsplitsn 15690 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) βˆ– β„™)(Ξ›β€˜π‘–) + (logβ€˜2)))
223146, 12rpdp2cl 32048 . . . . . 6 62 ∈ ℝ+
224158, 223rpdp2cl 32048 . . . . 5 262 ∈ ℝ+
225 3rp 12980 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
226146, 225rpdp2cl 32048 . . . . . 6 63 ∈ ℝ+
227158, 226rpdp2cl 32048 . . . . 5 263 ∈ ℝ+
228 1p0e1 12336 . . . . 5 (1 + 0) = 1
229 4cn 12297 . . . . . . 7 4 ∈ β„‚
230229addridi 11401 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
231 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
232231addridi 11401 . . . . . . 7 (2 + 0) = 2
233 3nn0 12490 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•0
234 eqid 2733 . . . . . . . . 9 62 = 62
235 eqid 2733 . . . . . . . . 9 01 = 01
236 6cn 12303 . . . . . . . . . 10 6 ∈ β„‚
237236addridi 11401 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
238 2p1e3 12354 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
239146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238decadd 12731 . . . . . . . 8 (62 + 01) = 63
240146, 158, 37, 15, 146, 233, 239dpadd 32077 . . . . . . 7 ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240dpadd2 32076 . . . . . 6 ((2.62) + (0.01)) = (2.63)
242158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241dpadd2 32076 . . . . 5 ((4.262) + (0.001)) = (4.263)
243128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242dpadd2 32076 . . . 4 ((1.4262) + (0.0001)) = (1.4263)
244243oveq1i 7419 . . 3 (((1.4262) + (0.0001)) Β· (βˆšβ€˜π‘)) = ((1.4263) Β· (βˆšβ€˜π‘))
24530recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1.4262) ∈ β„‚)
24651recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0.0001) ∈ β„‚)
24735recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜π‘) ∈ β„‚)
248245, 246, 247adddird 11239 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1.4262) + (0.0001)) Β· (βˆšβ€˜π‘)) = (((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)) + ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘))))
249244, 248eqtr3id 2787 . 2 (πœ‘ β†’ ((1.4263) Β· (βˆšβ€˜π‘)) = (((1.4262) Β· (βˆšβ€˜π‘)) + ((0.0001) Β· (βˆšβ€˜π‘))))
250207, 222, 2493brtr4d 5181 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) < ((1.4263) Β· (βˆšβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  cdc 12677  β„+crp 12974  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  Ξ£csu 15632  β„™cprime 16608  logclog 26063  ΞΈccht 26595  Ξ›cvma 26596  Οˆcchp 26597  cdp2 32037  .cdp 32054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-ros336 33658
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-atan 26372  df-cht 26601  df-vma 26602  df-chp 26603  df-dp2 32038  df-dp 32055
This theorem is referenced by:  hgt750leme  33670
  Copyright terms: Public domain W3C validator