Theorem hgt750lemd 32628

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 8962	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 26268	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 13287	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 15446	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 12735	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 25778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 12249	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 12057	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 12047	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 12063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 31154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 31154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 31154	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 31165	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 12770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 12776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 15129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 11005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 10975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 31154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 31154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 31154	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 31165	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 11005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 32608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 32609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 26266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 15415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66		infi 9043	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
67	1, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
68	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69		inss1 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
70	69, 6	sstri 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
72	71	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
75	67, 74	fsumcl 15445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
76	10	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	3, 76	fsumcl 15445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 30863	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 15453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	75, 77, 87	mvrladdd 11388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
89	65, 88	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
92	90, 91	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
94	93	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
95	92, 94	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
96		ax-ros336 32626	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
98	95, 97, 33	rspcdva 3562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
99	89, 98	eqbrtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101		log2le1 26100	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
102	101	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
103		10nn0 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
104		7nn0 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
105	103, 104	nn0expcli 13809	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 12244	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
108	51, 107	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
109	103	nn0rei 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
110		0z 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		3z 12353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
112	109, 110, 111	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113		1lt10 12576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
114		3pos 12078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
115	113, 114	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
116		ltexp2a 13884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
117	112, 115, 116	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
118	103	numexp0 16777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
119	118	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
120	109	recni 10989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
121		10pos 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
122	38, 121	gtneii 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
123		4z 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
124		expm1 13833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
125	120, 122, 123, 124	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
126		4m1e3 12102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
127	126	oveq2i 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
128		4nn0 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
129	103, 128	nn0expcli 13809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
130	129	nn0cni 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
131		divrec2 11650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
132	130, 120, 122, 131	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
133	125, 127, 132	3eqtr3ri 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
134	117, 119, 133	3brtr4i 5104	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
135		1rp 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
136	135	dp0h 31176	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
137	136	oveq1i 7285	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
138	134, 137	breqtrri 5101	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
139	138	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
140		4p1e5 12119	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
141		5nn0 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
142	141	nn0zi 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
143	37, 135, 140, 123, 142	dpexpp1 31182	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
144	37, 135	rpdp2cl 31156	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
145		5p1e6 12120	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
146		6nn0 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
147	146	nn0zi 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
148	37, 144, 145, 142, 147	dpexpp1 31182	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
149	37, 144	rpdp2cl 31156	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
150		6p1e7 12121	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
151	104	nn0zi 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
152	37, 149, 150, 147, 151	dpexpp1 31182	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
153	143, 148, 152	3eqtrri 2771	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
154	139, 153	breqtrrdi 5116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
155	37, 149	rpdp2cl 31156	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
156	37, 155	rpdpcl 31177	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
157	156	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
158		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
159	158, 104	deccl 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
160	103, 159	nn0expcli 13809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
161	160	nn0rei 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
163	160	nn0ge0i 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
165	162, 164	resqrtcld 15129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
166		expmul 13828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
167	120, 104, 158, 166	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
168		7t2e14 12546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
169	168	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
170	167, 169	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
171	170	fveq2i 6777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
172		expgt0 13816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
173	109, 151, 121, 172	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
174	38, 106, 173	ltleii 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
175		sqrtsq 14981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
176	106, 174, 175	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
177	171, 176	eqtr3i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
178	15, 128	deccl 12452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
179	178	nn0zi 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
180	159	nn0zi 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
181	109, 179, 180	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
182		4lt10 12573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
183		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
184	15, 158, 128, 104, 182, 183	decltc 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
185	113, 184	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
186		ltexp2a 13884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
187	181, 185, 186	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
188	103, 178	nn0expcli 13809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
189	188	nn0rei 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
190		expgt0 13816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
191	109, 179, 121, 190	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
192	38, 189, 191	ltleii 11098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
193	189, 192	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
194	161, 163	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
195		sqrtlt 14973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
196	193, 194, 195	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
197	187, 196	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
198	177, 197	eqbrtrri 5097	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
200		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
201	162, 164, 32, 34	sqrtled 15138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
202	200, 201	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
203	107, 165, 35, 199, 202	ltletrd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
204	107, 35, 157, 203	ltmul2dd 12828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
205	100, 108, 52, 154, 204	lttrd 11136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	14, 100, 52, 102, 205	lttrd 11136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	11, 14, 36, 52, 99, 206	lt2addd 11598	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
208		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
209		nfcv 2907	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
210		2prm 16397	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
211	210	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212		elndif 4063	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213	211, 212	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215		vmaprm 26266	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216	210, 215	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
217	214, 216	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218		2cnd 12051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219		2ne0 12077	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
220	219	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
221	218, 220	logcld 25726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222	208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221	fsumsplitsn 15456	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223	146, 12	rpdp2cl 31156	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
224	158, 223	rpdp2cl 31156	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
225		3rp 12736	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
226	146, 225	rpdp2cl 31156	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
227	158, 226	rpdp2cl 31156	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
228		1p0e1 12097	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
229		4cn 12058	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
230	229	addid1i 11162	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
231		2cn 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
232	231	addid1i 11162	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
233		3nn0 12251	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
234		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
235		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
236		6cn 12064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
237	236	addid1i 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
238		2p1e3 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
239	146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238	decadd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
240	146, 158, 37, 15, 146, 233, 239	dpadd 31185	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241	146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240	dpadd2 31184	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
242	158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241	dpadd2 31184	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
243	128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242	dpadd2 31184	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
244	243	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
245	30	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
246	51	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
247	35	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248	245, 246, 247	adddird 11000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
249	244, 248	eqtr3id 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	207, 222, 249	3brtr4d 5106	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  √csqrt 14944  Σcsu 15397  ℙcprime 16376  logclog 25710  θccht 26240  Λcvma 26241  ψcchp 26242  _cdp2 31145  .cdp 31162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-ros336 32626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536  df-log 25712  df-atan 26017  df-cht 26246  df-vma 26247  df-chp 26248  df-dp2 31146  df-dp 31163

This theorem is referenced by:  hgt750leme  32638