Theorem hgt750lemd 35076

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 9162	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 27314	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 13596	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 7084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 15804	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 13033	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 26819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 12531	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 33245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 33245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 33245	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 33256	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 13070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 13076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 15489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 11250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 11221	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 33245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 33245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 33245	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 33256	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 11250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 35056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 35057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 27312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 15773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66		infi 9233	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
67	1, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
68	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69		inss1 4189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
70	69, 6	sstri 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
72	71	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
75	67, 74	fsumcl 15803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
76	10	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	3, 76	fsumcl 15803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 4331	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 15811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	75, 77, 87	mvrladdd 11638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
89	65, 88	eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
92	90, 91	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
94	93	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
95	92, 94	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
96		ax-ros336 35074	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
98	95, 97, 33	rspcdva 3584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
99	89, 98	eqbrtrd 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101		log2le1 27146	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
102	101	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
103		10nn0 12745	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
104		7nn0 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
105	103, 104	nn0expcli 14138	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 12526	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
108	51, 107	remulcld 11250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
109	103	nn0rei 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
110		0z 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		3z 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
112	109, 110, 111	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113		1lt10 12868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
114		3pos 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
115	113, 114	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
116		ltexp2a 14216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
117	112, 115, 116	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
118	103	numexp0 17153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
119	118	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
120	109	recni 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
121		10pos 12744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
122	38, 121	gtneii 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
123		4z 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
124		expm1 14162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
125	120, 122, 123, 124	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
126		4m1e3 12380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
127	126	oveq2i 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
128		4nn0 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
129	103, 128	nn0expcli 14138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
130	129	nn0cni 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
131		divrec2 11900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
132	130, 120, 122, 131	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
133	125, 127, 132	3eqtr3ri 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
134	117, 119, 133	3brtr4i 5143	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
135		1rp 13032	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
136	135	dp0h 33267	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
137	136	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
138	134, 137	breqtrri 5140	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
139	138	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
140		4p1e5 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
141		5nn0 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
142	141	nn0zi 12630	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
143	37, 135, 140, 123, 142	dpexpp1 33273	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
144	37, 135	rpdp2cl 33247	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
145		5p1e6 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
146		6nn0 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
147	146	nn0zi 12630	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
148	37, 144, 145, 142, 147	dpexpp1 33273	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
149	37, 144	rpdp2cl 33247	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
150		6p1e7 12399	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
151	104	nn0zi 12630	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
152	37, 149, 150, 147, 151	dpexpp1 33273	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
153	143, 148, 152	3eqtrri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
154	139, 153	breqtrrdi 5155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
155	37, 149	rpdp2cl 33247	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
156	37, 155	rpdpcl 33268	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
157	156	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
158		2nn0 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
159	158, 104	deccl 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
160	103, 159	nn0expcli 14138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
161	160	nn0rei 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
163	160	nn0ge0i 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
165	162, 164	resqrtcld 15489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
166		expmul 14157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
167	120, 104, 158, 166	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
168		7t2e14 12837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
169	168	oveq2i 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
170	167, 169	eqtr3i 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
171	170	fveq2i 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
172		expgt0 14145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
173	109, 151, 121, 172	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
174	38, 106, 173	ltleii 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
175		sqrtsq 15340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
176	106, 174, 175	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
177	171, 176	eqtr3i 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
178	15, 128	deccl 12738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
179	178	nn0zi 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
180	159	nn0zi 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
181	109, 179, 180	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
182		4lt10 12865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
183		1lt2 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
184	15, 158, 128, 104, 182, 183	decltc 12757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
185	113, 184	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
186		ltexp2a 14216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
187	181, 185, 186	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
188	103, 178	nn0expcli 14138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
189	188	nn0rei 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
190		expgt0 14145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
191	109, 179, 121, 190	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
192	38, 189, 191	ltleii 11344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
193	189, 192	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
194	161, 163	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
195		sqrtlt 15332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
196	193, 194, 195	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
197	187, 196	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
198	177, 197	eqbrtrri 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
200		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
201	162, 164, 32, 34	sqrtled 15498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
202	200, 201	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
203	107, 165, 35, 199, 202	ltletrd 11381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
204	107, 35, 157, 203	ltmul2dd 13128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
205	100, 108, 52, 154, 204	lttrd 11382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	14, 100, 52, 102, 205	lttrd 11382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	11, 14, 36, 52, 99, 206	lt2addd 11848	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
208		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
209		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
210		2prm 16768	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
211	210	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212		elndif 4087	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213	211, 212	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215		vmaprm 27312	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216	210, 215	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
217	214, 216	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218		2cnd 12330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219		2ne0 12358	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
220	219	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
221	218, 220	logcld 26766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222	208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221	fsumsplitsn 15814	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223	146, 12	rpdp2cl 33247	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
224	158, 223	rpdp2cl 33247	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
225		3rp 13034	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
226	146, 225	rpdp2cl 33247	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
227	158, 226	rpdp2cl 33247	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
228		1p0e1 12374	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
229		4cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
230	229	addridi 11408	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
231		2cn 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
232	231	addridi 11408	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
233		3nn0 12533	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
234		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
235		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
236		6cn 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
237	236	addridi 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
238		2p1e3 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
239	146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238	decadd 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
240	146, 158, 37, 15, 146, 233, 239	dpadd 33276	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241	146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240	dpadd2 33275	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
242	158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241	dpadd2 33275	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
243	128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242	dpadd2 33275	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
244	243	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
245	30	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
246	51	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
247	35	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248	245, 246, 247	adddird 11245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
249	244, 248	eqtr3id 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	207, 222, 249	3brtr4d 5145	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ;cdc 12723  ℝ⁺crp 13028  ...cfz 13547  ↑cexp 14111  √csqrt 15304  Σcsu 15757  ℙcprime 16747  logclog 26750  θccht 27286  Λcvma 27287  ψcchp 27288  _cdp2 33236  .cdp 33253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-ros336 35074

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-tan 16143  df-pi 16144  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-pc 16915  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-cmp 23574  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-ulm 26571  df-log 26752  df-atan 27063  df-cht 27292  df-vma 27293  df-chp 27294  df-dp2 33237  df-dp 33254

This theorem is used by:  hgt750leme  35086