Theorem hgt750lemd 34639

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 9139	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 27029	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 13516	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 4110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 15700	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 12956	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 26532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 12270	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 12276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 32800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 32800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 32800	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 32811	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 12993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 12999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 15384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 11204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 32800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 32800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 32800	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 32811	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 11204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 12556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 34619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 34620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 4201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 27027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 15668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66		infi 9213	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
67	1, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
68	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69		inss1 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
70	69, 6	sstri 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
72	71	sselda 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
75	67, 74	fsumcl 15699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
76	10	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	3, 76	fsumcl 15699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 4338	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 15707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	75, 77, 87	mvrladdd 11591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
89	65, 88	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
92	90, 91	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
94	93	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
95	92, 94	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
96		ax-ros336 34637	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
98	95, 97, 33	rspcdva 3589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
99	89, 98	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101		log2le1 26860	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
102	101	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
103		10nn0 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
104		7nn0 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
105	103, 104	nn0expcli 14053	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 12453	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
108	51, 107	remulcld 11204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
109	103	nn0rei 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
110		0z 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		3z 12566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
112	109, 110, 111	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113		1lt10 12788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
114		3pos 12291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
115	113, 114	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
116		ltexp2a 14131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
117	112, 115, 116	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
118	103	numexp0 17046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
119	118	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
120	109	recni 11188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
121		10pos 12666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
122	38, 121	gtneii 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
123		4z 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
124		expm1 14077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
125	120, 122, 123, 124	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
126		4m1e3 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
127	126	oveq2i 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
128		4nn0 12461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
129	103, 128	nn0expcli 14053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
130	129	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
131		divrec2 11854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
132	130, 120, 122, 131	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
133	125, 127, 132	3eqtr3ri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
134	117, 119, 133	3brtr4i 5137	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
135		1rp 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
136	135	dp0h 32822	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
137	136	oveq1i 7397	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
138	134, 137	breqtrri 5134	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
139	138	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
140		4p1e5 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
141		5nn0 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
142	141	nn0zi 12558	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
143	37, 135, 140, 123, 142	dpexpp1 32828	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
144	37, 135	rpdp2cl 32802	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
145		5p1e6 12328	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
146		6nn0 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
147	146	nn0zi 12558	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
148	37, 144, 145, 142, 147	dpexpp1 32828	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
149	37, 144	rpdp2cl 32802	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
150		6p1e7 12329	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
151	104	nn0zi 12558	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
152	37, 149, 150, 147, 151	dpexpp1 32828	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
153	143, 148, 152	3eqtrri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
154	139, 153	breqtrrdi 5149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
155	37, 149	rpdp2cl 32802	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
156	37, 155	rpdpcl 32823	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
157	156	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
158		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
159	158, 104	deccl 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
160	103, 159	nn0expcli 14053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
161	160	nn0rei 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
163	160	nn0ge0i 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
165	162, 164	resqrtcld 15384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
166		expmul 14072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
167	120, 104, 158, 166	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
168		7t2e14 12758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
169	168	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
170	167, 169	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
171	170	fveq2i 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
172		expgt0 14060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
173	109, 151, 121, 172	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
174	38, 106, 173	ltleii 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
175		sqrtsq 15235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
176	106, 174, 175	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
177	171, 176	eqtr3i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
178	15, 128	deccl 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
179	178	nn0zi 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
180	159	nn0zi 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
181	109, 179, 180	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
182		4lt10 12785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
183		1lt2 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
184	15, 158, 128, 104, 182, 183	decltc 12678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
185	113, 184	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
186		ltexp2a 14131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
187	181, 185, 186	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
188	103, 178	nn0expcli 14053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
189	188	nn0rei 12453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
190		expgt0 14060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
191	109, 179, 121, 190	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
192	38, 189, 191	ltleii 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
193	189, 192	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
194	161, 163	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
195		sqrtlt 15227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
196	193, 194, 195	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
197	187, 196	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
198	177, 197	eqbrtrri 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
200		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
201	162, 164, 32, 34	sqrtled 15393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
202	200, 201	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
203	107, 165, 35, 199, 202	ltletrd 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
204	107, 35, 157, 203	ltmul2dd 13051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
205	100, 108, 52, 154, 204	lttrd 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	14, 100, 52, 102, 205	lttrd 11335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	11, 14, 36, 52, 99, 206	lt2addd 11801	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
208		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
209		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
210		2prm 16662	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
211	210	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212		elndif 4096	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213	211, 212	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215		vmaprm 27027	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216	210, 215	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
217	214, 216	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218		2cnd 12264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219		2ne0 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
220	219	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
221	218, 220	logcld 26479	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222	208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221	fsumsplitsn 15710	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223	146, 12	rpdp2cl 32802	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
224	158, 223	rpdp2cl 32802	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
225		3rp 12957	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
226	146, 225	rpdp2cl 32802	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
227	158, 226	rpdp2cl 32802	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
228		1p0e1 12305	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
229		4cn 12271	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
230	229	addridi 11361	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
231		2cn 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
232	231	addridi 11361	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
233		3nn0 12460	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
234		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
235		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
236		6cn 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
237	236	addridi 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
238		2p1e3 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
239	146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238	decadd 12703	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
240	146, 158, 37, 15, 146, 233, 239	dpadd 32831	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241	146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240	dpadd2 32830	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
242	158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241	dpadd2 32830	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
243	128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242	dpadd2 32830	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
244	243	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
245	30	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
246	51	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
247	35	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248	245, 246, 247	adddird 11199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
249	244, 248	eqtr3id 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	207, 222, 249	3brtr4d 5139	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ;cdc 12649  ℝ⁺crp 12951  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  √csqrt 15199  Σcsu 15652  ℙcprime 16641  logclog 26463  θccht 27001  Λcvma 27002  ψcchp 27003  _cdp2 32791  .cdp 32808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-ros336 34637

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-tan 16037  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-ulm 26286  df-log 26465  df-atan 26777  df-cht 27007  df-vma 27008  df-chp 27009  df-dp2 32792  df-dp 32809

This theorem is referenced by:  hgt750leme  34649