Theorem hgt750lemd 35156

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 9169	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 27355	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 13610	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 15820	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 13047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 26860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 12355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 33325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 33325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 33325	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 33336	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 13084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 13090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 15505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 11263	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 11234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 33325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 33325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 33325	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 33336	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 11263	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 35136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 35137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 4183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 27353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 15789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66		infi 9240	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
67	1, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
68	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69		inss1 4182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
70	69, 6	sstri 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
72	71	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
75	67, 74	fsumcl 15819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
76	10	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	3, 76	fsumcl 15819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 4324	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 15827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	75, 77, 87	mvrladdd 11651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
89	65, 88	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
92	90, 91	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
94	93	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
95	92, 94	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
96		ax-ros336 35154	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
98	95, 97, 33	rspcdva 3577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
99	89, 98	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101		log2le1 27187	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
102	101	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
103		10nn0 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
104		7nn0 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
105	103, 104	nn0expcli 14152	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 12539	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
108	51, 107	remulcld 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
109	103	nn0rei 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
110		0z 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
111		3z 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
112	109, 110, 111	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113		1lt10 12881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
114		3pos 12373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
115	113, 114	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
116		ltexp2a 14230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
117	112, 115, 116	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
118	103	numexp0 17167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
119	118	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
120	109	recni 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
121		10pos 12757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
122	38, 121	gtneii 11346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
123		4z 12652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
124		expm1 14176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
125	120, 122, 123, 124	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
126		4m1e3 12393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
127	126	oveq2i 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
128		4nn0 12547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
129	103, 128	nn0expcli 14152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
130	129	nn0cni 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
131		divrec2 11913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
132	130, 120, 122, 131	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
133	125, 127, 132	3eqtr3ri 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
134	117, 119, 133	3brtr4i 5135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
135		1rp 13046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
136	135	dp0h 33347	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
137	136	oveq1i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
138	134, 137	breqtrri 5132	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
139	138	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
140		4p1e5 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
141		5nn0 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
142	141	nn0zi 12643	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
143	37, 135, 140, 123, 142	dpexpp1 33353	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
144	37, 135	rpdp2cl 33327	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
145		5p1e6 12411	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
146		6nn0 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
147	146	nn0zi 12643	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
148	37, 144, 145, 142, 147	dpexpp1 33353	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
149	37, 144	rpdp2cl 33327	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
150		6p1e7 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
151	104	nn0zi 12643	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
152	37, 149, 150, 147, 151	dpexpp1 33353	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
153	143, 148, 152	3eqtrri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
154	139, 153	breqtrrdi 5147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
155	37, 149	rpdp2cl 33327	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
156	37, 155	rpdpcl 33348	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
157	156	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
158		2nn0 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
159	158, 104	deccl 12751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
160	103, 159	nn0expcli 14152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
161	160	nn0rei 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
163	160	nn0ge0i 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
165	162, 164	resqrtcld 15505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
166		expmul 14171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
167	120, 104, 158, 166	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
168		7t2e14 12850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
169	168	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
170	167, 169	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
171	170	fveq2i 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
172		expgt0 14159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
173	109, 151, 121, 172	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
174	38, 106, 173	ltleii 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
175		sqrtsq 15356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
176	106, 174, 175	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
177	171, 176	eqtr3i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
178	15, 128	deccl 12751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
179	178	nn0zi 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
180	159	nn0zi 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
181	109, 179, 180	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
182		4lt10 12878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
183		1lt2 12437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
184	15, 158, 128, 104, 182, 183	decltc 12770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
185	113, 184	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
186		ltexp2a 14230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
187	181, 185, 186	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
188	103, 178	nn0expcli 14152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
189	188	nn0rei 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
190		expgt0 14159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
191	109, 179, 121, 190	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
192	38, 189, 191	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
193	189, 192	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
194	161, 163	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
195		sqrtlt 15348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
196	193, 194, 195	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
197	187, 196	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
198	177, 197	eqbrtrri 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
200		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
201	162, 164, 32, 34	sqrtled 15514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
202	200, 201	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
203	107, 165, 35, 199, 202	ltletrd 11394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
204	107, 35, 157, 203	ltmul2dd 13142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
205	100, 108, 52, 154, 204	lttrd 11395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	14, 100, 52, 102, 205	lttrd 11395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	11, 14, 36, 52, 99, 206	lt2addd 11861	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
208		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
209		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
210		2prm 16782	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
211	210	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212		elndif 4080	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213	211, 212	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215		vmaprm 27353	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216	210, 215	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
217	214, 216	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218		2cnd 12343	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219		2ne0 12371	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
220	219	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
221	218, 220	logcld 26807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222	208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221	fsumsplitsn 15830	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223	146, 12	rpdp2cl 33327	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
224	158, 223	rpdp2cl 33327	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
225		3rp 13048	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
226	146, 225	rpdp2cl 33327	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
227	158, 226	rpdp2cl 33327	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
228		1p0e1 12387	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
229		4cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
230	229	addridi 11421	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
231		2cn 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
232	231	addridi 11421	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
233		3nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
234		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
235		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
236		6cn 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
237	236	addridi 11421	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
238		2p1e3 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
239	146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238	decadd 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
240	146, 158, 37, 15, 146, 233, 239	dpadd 33356	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241	146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240	dpadd2 33355	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
242	158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241	dpadd2 33355	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
243	128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242	dpadd2 33355	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
244	243	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
245	30	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
246	51	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
247	35	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248	245, 246, 247	adddird 11258	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
249	244, 248	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	207, 222, 249	3brtr4d 5137	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ;cdc 12736  ℝ⁺crp 13042  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  √csqrt 15320  Σcsu 15773  ℙcprime 16761  logclog 26791  θccht 27327  Λcvma 27328  ψcchp 27329  _cdp2 33316  .cdp 33333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-ros336 35154

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-tan 16157  df-pi 16158  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-pc 16929  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-ulm 26613  df-log 26793  df-atan 27104  df-cht 27333  df-vma 27334  df-chp 27335  df-dp2 33317  df-dp 33334

This theorem is used by:  hgt750leme  35166