Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemd 34285
Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemd (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13976 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 diffi 9208 . . . . 5 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4 vmaf 27069 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6 fz1ssnn 13570 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℕ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
87ssdifssd 4141 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
98sselda 3980 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
105, 9ffvelcdmd 7098 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
113, 10fsumrecl 15718 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12 2rp 13017 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1413relogcld 26575 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15 1nn0 12524 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 4re 12332 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
17 2re 12322 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
18 6re 12338 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
1918, 17pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20 dp2cl 32621 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → 62 ∈ ℝ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 62 ∈ ℝ
2217, 21pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ)
23 dp2cl 32621 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ) → 262 ∈ ℝ)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 262 ∈ ℝ
2516, 24pm3.2i 469 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ)
26 dp2cl 32621 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ) → 4262 ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 4262 ∈ ℝ
28 dpcl 32632 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ04262 ∈ ℝ) → (1.4262) ∈ ℝ)
2915, 27, 28mp2an 690 . . . . 5 (1.4262) ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℝ)
31 hgt750lemc.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3231nnred 12263 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3331nnrpd 13052 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3433rpge0d 13058 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
3532, 34resqrtcld 15402 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
3630, 35remulcld 11280 . . 3 (𝜑 → ((1.4262) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37 0nn0 12523 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
38 0re 11252 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
39 1re 11250 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4038, 39pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41 dp2cl 32621 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 01 ∈ ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 01 ∈ ℝ
4338, 42pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ)
44 dp2cl 32621 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ) → 001 ∈ ℝ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ
4638, 45pm3.2i 469 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ)
47 dp2cl 32621 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ) → 0001 ∈ ℝ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 0001 ∈ ℝ
49 dpcl 32632 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ00001 ∈ ℝ) → (0.0001) ∈ ℝ)
5037, 48, 49mp2an 690 . . . . 5 (0.0001) ∈ ℝ
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ)
5251, 35remulcld 11280 . . 3 (𝜑 → ((0.0001) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
5331nnzd 12621 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54 chpvalz 34265 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56 chtvalz 34266 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
5753, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58 inss2 4230 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
6059sselda 3980 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61 vmaprm 27067 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6362sumeq2dv 15687 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
6457, 63eqtr4d 2770 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
6555, 64oveq12d 7442 . . . . 5 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66 infi 9297 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
671, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
684a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
7069, 6sstri 3989 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
7271sselda 3980 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
7368, 72ffvelcdmd 7098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7473recnd 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7567, 74fsumcl 15717 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7610recnd 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
773, 76fsumcl 15717 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78 inindif 32330 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
7978a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80 inundif 4480 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
8180eqcomi 2736 . . . . . . . 8 (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
834a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
847sselda 3980 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelcdmd 7098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
8685recnd 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
8779, 82, 1, 86fsumsplit 15725 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
8875, 77, 87mvrladdd 11663 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
8965, 88eqtr2d 2768 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
9290, 91oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
9493oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((1.4262) · (√‘𝑥)) = ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9592, 94breq12d 5163 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁))))
96 ax-ros336 34283 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥))
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)))
9895, 97, 33rspcdva 3610 . . . 4 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9989, 98eqbrtrd 5172 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
10039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101 log2le1 26900 . . . . 5 (log‘2) < 1
102101a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) < 1)
103 10nn0 12731 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
104 7nn0 12530 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
105103, 104nn0expcli 14091 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℕ0
106105nn0rei 12519 . . . . . . 7 (10↑7) ∈ ℝ
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) ∈ ℝ)
10851, 107remulcld 11280 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) ∈ ℝ)
109103nn0rei 12519 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
110 0z 12605 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
111 3z 12631 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
112109, 110, 1113pm3.2i 1336 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113 1lt10 12852 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
114 3pos 12353 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
115113, 114pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 3)
116 ltexp2a 14168 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 3)) → (10↑0) < (10↑3))
117112, 115, 116mp2an 690 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑3)
118103numexp0 17050 . . . . . . . . . 10 (10↑0) = 1
119118eqcomi 2736 . . . . . . . . 9 1 = (10↑0)
120109recni 11264 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
121 10pos 12730 . . . . . . . . . . . 12 0 < 10
12238, 121gtneii 11362 . . . . . . . . . . 11 10 ≠ 0
123 4z 12632 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
124 expm1 14115 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10))
125120, 122, 123, 124mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10)
126 4m1e3 12377 . . . . . . . . . . 11 (4 − 1) = 3
127126oveq2i 7435 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = (10↑3)
128 4nn0 12527 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
129103, 128nn0expcli 14091 . . . . . . . . . . . 12 (10↑4) ∈ ℕ0
130129nn0cni 12520 . . . . . . . . . . 11 (10↑4) ∈ ℂ
131 divrec2 11925 . . . . . . . . . . 11 (((10↑4) ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4)))
132130, 120, 122, 131mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4))
133125, 127, 1323eqtr3ri 2764 . . . . . . . . 9 ((1 / 10) · (10↑4)) = (10↑3)
134117, 119, 1333brtr4i 5180 . . . . . . . 8 1 < ((1 / 10) · (10↑4))
135 1rp 13016 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
136135dp0h 32643 . . . . . . . . 9 (0.1) = (1 / 10)
137136oveq1i 7434 . . . . . . . 8 ((0.1) · (10↑4)) = ((1 / 10) · (10↑4))
138134, 137breqtrri 5177 . . . . . . 7 1 < ((0.1) · (10↑4))
139138a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < ((0.1) · (10↑4)))
140 4p1e5 12394 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
141 5nn0 12528 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
142141nn0zi 12623 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
14337, 135, 140, 123, 142dpexpp1 32649 . . . . . . 7 ((0.1) · (10↑4)) = ((0.01) · (10↑5))
14437, 135rpdp2cl 32623 . . . . . . . 8 01 ∈ ℝ+
145 5p1e6 12395 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
146 6nn0 12529 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
147146nn0zi 12623 . . . . . . . 8 6 ∈ ℤ
14837, 144, 145, 142, 147dpexpp1 32649 . . . . . . 7 ((0.01) · (10↑5)) = ((0.001) · (10↑6))
14937, 144rpdp2cl 32623 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ+
150 6p1e7 12396 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
151104nn0zi 12623 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
15237, 149, 150, 147, 151dpexpp1 32649 . . . . . . 7 ((0.001) · (10↑6)) = ((0.0001) · (10↑7))
153143, 148, 1523eqtrri 2760 . . . . . 6 ((0.0001) · (10↑7)) = ((0.1) · (10↑4))
154139, 153breqtrrdi 5192 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (10↑7)))
15537, 149rpdp2cl 32623 . . . . . . . 8 0001 ∈ ℝ+
15637, 155rpdpcl 32644 . . . . . . 7 (0.0001) ∈ ℝ+
157156a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ+)
158 2nn0 12525 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
159158, 104deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ0
160103, 159nn0expcli 14091 . . . . . . . . . 10 (10↑27) ∈ ℕ0
161160nn0rei 12519 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
163160nn0ge0i 12535 . . . . . . . . 9 0 ≤ (10↑27)
164163a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (10↑27))
165162, 164resqrtcld 15402 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ∈ ℝ)
166 expmul 14110 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
167120, 104, 158, 166mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
168 7t2e14 12822 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
169168oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
170167, 169eqtr3i 2757 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
171170fveq2i 6903 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
172 expgt0 14098 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
173109, 151, 121, 172mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
17438, 106, 173ltleii 11373 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
175 sqrtsq 15254 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
176106, 174, 175mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
177171, 176eqtr3i 2757 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
17815, 128deccl 12728 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
179178nn0zi 12623 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
180159nn0zi 12623 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℤ
181109, 179, 1803pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
182 4lt10 12849 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 10
183 1lt2 12419 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
18415, 158, 128, 104, 182, 183decltc 12742 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
185113, 184pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
186 ltexp2a 14168 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
187181, 185, 186mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
188103, 178nn0expcli 14091 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑14) ∈ ℕ0
189188nn0rei 12519 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
190 expgt0 14098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
191109, 179, 121, 190mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
19238, 189, 191ltleii 11373 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
193189, 192pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
194161, 163pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
195 sqrtlt 15246 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
196193, 194, 195mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
197187, 196mpbi 229 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
198177, 197eqbrtrri 5173 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
199198a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑7) < (√‘(10↑27)))
200 hgt750lemd.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
201162, 164, 32, 34sqrtled 15411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((10↑27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁)))
202200, 201mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁))
203107, 165, 35, 199, 202ltletrd 11410 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) < (√‘𝑁))
204107, 35, 157, 203ltmul2dd 13110 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
205100, 108, 52, 154, 204lttrd 11411 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20614, 100, 52, 102, 205lttrd 11411 . . 3 (𝜑 → (log‘2) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20711, 14, 36, 52, 99, 206lt2addd 11873 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
208 nfv 1909 . . 3 𝑖𝜑
209 nfcv 2898 . . 3 𝑖(log‘2)
210 2prm 16668 . . . 4 2 ∈ ℙ
211210a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212 elndif 4127 . . . 4 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213211, 212syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214 fveq2 6900 . . . 4 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215 vmaprm 27067 . . . . 5 (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216210, 215ax-mp 5 . . . 4 (Λ‘2) = (log‘2)
217214, 216eqtrdi 2783 . . 3 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218 2cnd 12326 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219 2ne0 12352 . . . . 5 2 ≠ 0
220219a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
221218, 220logcld 26522 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221fsumsplitsn 15728 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223146, 12rpdp2cl 32623 . . . . . 6 62 ∈ ℝ+
224158, 223rpdp2cl 32623 . . . . 5 262 ∈ ℝ+
225 3rp 13018 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
226146, 225rpdp2cl 32623 . . . . . 6 63 ∈ ℝ+
227158, 226rpdp2cl 32623 . . . . 5 263 ∈ ℝ+
228 1p0e1 12372 . . . . 5 (1 + 0) = 1
229 4cn 12333 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
230229addridi 11437 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
231 2cn 12323 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
232231addridi 11437 . . . . . . 7 (2 + 0) = 2
233 3nn0 12526 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
234 eqid 2727 . . . . . . . . 9 62 = 62
235 eqid 2727 . . . . . . . . 9 01 = 01
236 6cn 12339 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
237236addridi 11437 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
238 2p1e3 12390 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
239146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238decadd 12767 . . . . . . . 8 (62 + 01) = 63
240146, 158, 37, 15, 146, 233, 239dpadd 32652 . . . . . . 7 ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240dpadd2 32651 . . . . . 6 ((2.62) + (0.01)) = (2.63)
242158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241dpadd2 32651 . . . . 5 ((4.262) + (0.001)) = (4.263)
243128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242dpadd2 32651 . . . 4 ((1.4262) + (0.0001)) = (1.4263)
244243oveq1i 7434 . . 3 (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = ((1.4263) · (√‘𝑁))
24530recnd 11278 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℂ)
24651recnd 11278 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℂ)
24735recnd 11278 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248245, 246, 247adddird 11275 . . 3 (𝜑 → (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
249244, 248eqtr3id 2781 . 2 (𝜑 → ((1.4263) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
250207, 222, 2493brtr4d 5182 1 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4324  {csn 4630   class class class wbr 5150  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  cc 11142  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   < clt 11284  cle 11285  cmin 11480   / cdiv 11907  cn 12248  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  6c6 12307  7c7 12308  0cn0 12508  cz 12594  cdc 12713  +crp 13012  ...cfz 13522  cexp 14064  csqrt 15218  Σcsu 15670  cprime 16647  logclog 26506  θccht 27041  Λcvma 27042  ψcchp 27043  cdp2 32612  .cdp 32629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-ros336 34283
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-tan 16053  df-pi 16054  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-prm 16648  df-pc 16811  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ulm 26331  df-log 26508  df-atan 26817  df-cht 27047  df-vma 27048  df-chp 27049  df-dp2 32613  df-dp 32630
This theorem is referenced by:  hgt750leme  34295
  Copyright terms: Public domain W3C validator