Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemd 34664
Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemd (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 14015 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 diffi 9216 . . . . 5 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4 vmaf 27163 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6 fz1ssnn 13596 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℕ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
87ssdifssd 4146 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
98sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
105, 9ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
113, 10fsumrecl 15771 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12 2rp 13040 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1413relogcld 26666 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15 1nn0 12544 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 4re 12351 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
17 2re 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
18 6re 12357 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
1918, 17pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20 dp2cl 32863 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → 62 ∈ ℝ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 62 ∈ ℝ
2217, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ)
23 dp2cl 32863 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ) → 262 ∈ ℝ)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 262 ∈ ℝ
2516, 24pm3.2i 470 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ)
26 dp2cl 32863 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ) → 4262 ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 4262 ∈ ℝ
28 dpcl 32874 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ04262 ∈ ℝ) → (1.4262) ∈ ℝ)
2915, 27, 28mp2an 692 . . . . 5 (1.4262) ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℝ)
31 hgt750lemc.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3231nnred 12282 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3331nnrpd 13076 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3433rpge0d 13082 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
3532, 34resqrtcld 15457 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
3630, 35remulcld 11292 . . 3 (𝜑 → ((1.4262) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37 0nn0 12543 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
38 0re 11264 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
39 1re 11262 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4038, 39pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41 dp2cl 32863 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 01 ∈ ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 01 ∈ ℝ
4338, 42pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ)
44 dp2cl 32863 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ) → 001 ∈ ℝ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ
4638, 45pm3.2i 470 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ)
47 dp2cl 32863 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ) → 0001 ∈ ℝ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 0001 ∈ ℝ
49 dpcl 32874 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ00001 ∈ ℝ) → (0.0001) ∈ ℝ)
5037, 48, 49mp2an 692 . . . . 5 (0.0001) ∈ ℝ
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ)
5251, 35remulcld 11292 . . 3 (𝜑 → ((0.0001) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
5331nnzd 12642 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54 chpvalz 34644 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56 chtvalz 34645 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
5753, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58 inss2 4237 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
6059sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61 vmaprm 27161 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6362sumeq2dv 15739 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
6457, 63eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
6555, 64oveq12d 7450 . . . . 5 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66 infi 9303 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
671, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
684a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
69 inss1 4236 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
7069, 6sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
7271sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
7368, 72ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7473recnd 11290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7567, 74fsumcl 15770 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7610recnd 11290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
773, 76fsumcl 15770 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78 inindif 4374 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
7978a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80 inundif 4478 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
8180eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
834a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
847sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
8685recnd 11290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
8779, 82, 1, 86fsumsplit 15778 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
8875, 77, 87mvrladdd 11677 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
8965, 88eqtr2d 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
90 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
91 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
9290, 91oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
93 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
9493oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((1.4262) · (√‘𝑥)) = ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9592, 94breq12d 5155 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁))))
96 ax-ros336 34662 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥))
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)))
9895, 97, 33rspcdva 3622 . . . 4 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9989, 98eqbrtrd 5164 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
10039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
101 log2le1 26994 . . . . 5 (log‘2) < 1
102101a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) < 1)
103 10nn0 12753 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
104 7nn0 12550 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
105103, 104nn0expcli 14130 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℕ0
106105nn0rei 12539 . . . . . . 7 (10↑7) ∈ ℝ
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) ∈ ℝ)
10851, 107remulcld 11292 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) ∈ ℝ)
109103nn0rei 12539 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
110 0z 12626 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
111 3z 12652 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
112109, 110, 1113pm3.2i 1339 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
113 1lt10 12874 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
114 3pos 12372 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
115113, 114pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 3)
116 ltexp2a 14207 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 3)) → (10↑0) < (10↑3))
117112, 115, 116mp2an 692 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑3)
118103numexp0 17114 . . . . . . . . . 10 (10↑0) = 1
119118eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 1 = (10↑0)
120109recni 11276 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
121 10pos 12752 . . . . . . . . . . . 12 0 < 10
12238, 121gtneii 11374 . . . . . . . . . . 11 10 ≠ 0
123 4z 12653 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
124 expm1 14154 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10))
125120, 122, 123, 124mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10)
126 4m1e3 12396 . . . . . . . . . . 11 (4 − 1) = 3
127126oveq2i 7443 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = (10↑3)
128 4nn0 12547 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
129103, 128nn0expcli 14130 . . . . . . . . . . . 12 (10↑4) ∈ ℕ0
130129nn0cni 12540 . . . . . . . . . . 11 (10↑4) ∈ ℂ
131 divrec2 11940 . . . . . . . . . . 11 (((10↑4) ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4)))
132130, 120, 122, 131mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4))
133125, 127, 1323eqtr3ri 2773 . . . . . . . . 9 ((1 / 10) · (10↑4)) = (10↑3)
134117, 119, 1333brtr4i 5172 . . . . . . . 8 1 < ((1 / 10) · (10↑4))
135 1rp 13039 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
136135dp0h 32885 . . . . . . . . 9 (0.1) = (1 / 10)
137136oveq1i 7442 . . . . . . . 8 ((0.1) · (10↑4)) = ((1 / 10) · (10↑4))
138134, 137breqtrri 5169 . . . . . . 7 1 < ((0.1) · (10↑4))
139138a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < ((0.1) · (10↑4)))
140 4p1e5 12413 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
141 5nn0 12548 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
142141nn0zi 12644 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
14337, 135, 140, 123, 142dpexpp1 32891 . . . . . . 7 ((0.1) · (10↑4)) = ((0.01) · (10↑5))
14437, 135rpdp2cl 32865 . . . . . . . 8 01 ∈ ℝ+
145 5p1e6 12414 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
146 6nn0 12549 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
147146nn0zi 12644 . . . . . . . 8 6 ∈ ℤ
14837, 144, 145, 142, 147dpexpp1 32891 . . . . . . 7 ((0.01) · (10↑5)) = ((0.001) · (10↑6))
14937, 144rpdp2cl 32865 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ+
150 6p1e7 12415 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
151104nn0zi 12644 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
15237, 149, 150, 147, 151dpexpp1 32891 . . . . . . 7 ((0.001) · (10↑6)) = ((0.0001) · (10↑7))
153143, 148, 1523eqtrri 2769 . . . . . 6 ((0.0001) · (10↑7)) = ((0.1) · (10↑4))
154139, 153breqtrrdi 5184 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (10↑7)))
15537, 149rpdp2cl 32865 . . . . . . . 8 0001 ∈ ℝ+
15637, 155rpdpcl 32886 . . . . . . 7 (0.0001) ∈ ℝ+
157156a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ+)
158 2nn0 12545 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
159158, 104deccl 12750 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ0
160103, 159nn0expcli 14130 . . . . . . . . . 10 (10↑27) ∈ ℕ0
161160nn0rei 12539 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
163160nn0ge0i 12555 . . . . . . . . 9 0 ≤ (10↑27)
164163a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (10↑27))
165162, 164resqrtcld 15457 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ∈ ℝ)
166 expmul 14149 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
167120, 104, 158, 166mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
168 7t2e14 12844 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
169168oveq2i 7443 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
170167, 169eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
171170fveq2i 6908 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
172 expgt0 14137 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
173109, 151, 121, 172mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
17438, 106, 173ltleii 11385 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
175 sqrtsq 15309 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
176106, 174, 175mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
177171, 176eqtr3i 2766 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
17815, 128deccl 12750 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
179178nn0zi 12644 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
180159nn0zi 12644 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℤ
181109, 179, 1803pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
182 4lt10 12871 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 10
183 1lt2 12438 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
18415, 158, 128, 104, 182, 183decltc 12764 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
185113, 184pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
186 ltexp2a 14207 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
187181, 185, 186mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
188103, 178nn0expcli 14130 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑14) ∈ ℕ0
189188nn0rei 12539 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
190 expgt0 14137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
191109, 179, 121, 190mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
19238, 189, 191ltleii 11385 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
193189, 192pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
194161, 163pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
195 sqrtlt 15301 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
196193, 194, 195mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
197187, 196mpbi 230 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
198177, 197eqbrtrri 5165 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
199198a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑7) < (√‘(10↑27)))
200 hgt750lemd.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
201162, 164, 32, 34sqrtled 15466 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((10↑27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁)))
202200, 201mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁))
203107, 165, 35, 199, 202ltletrd 11422 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) < (√‘𝑁))
204107, 35, 157, 203ltmul2dd 13134 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
205100, 108, 52, 154, 204lttrd 11423 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20614, 100, 52, 102, 205lttrd 11423 . . 3 (𝜑 → (log‘2) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20711, 14, 36, 52, 99, 206lt2addd 11887 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
208 nfv 1913 . . 3 𝑖𝜑
209 nfcv 2904 . . 3 𝑖(log‘2)
210 2prm 16730 . . . 4 2 ∈ ℙ
211210a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
212 elndif 4132 . . . 4 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
213211, 212syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214 fveq2 6905 . . . 4 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
215 vmaprm 27161 . . . . 5 (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
216210, 215ax-mp 5 . . . 4 (Λ‘2) = (log‘2)
217214, 216eqtrdi 2792 . . 3 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
218 2cnd 12345 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
219 2ne0 12371 . . . . 5 2 ≠ 0
220219a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
221218, 220logcld 26613 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
222208, 209, 3, 211, 213, 76, 217, 221fsumsplitsn 15781 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
223146, 12rpdp2cl 32865 . . . . . 6 62 ∈ ℝ+
224158, 223rpdp2cl 32865 . . . . 5 262 ∈ ℝ+
225 3rp 13041 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
226146, 225rpdp2cl 32865 . . . . . 6 63 ∈ ℝ+
227158, 226rpdp2cl 32865 . . . . 5 263 ∈ ℝ+
228 1p0e1 12391 . . . . 5 (1 + 0) = 1
229 4cn 12352 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
230229addridi 11449 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
231 2cn 12342 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
232231addridi 11449 . . . . . . 7 (2 + 0) = 2
233 3nn0 12546 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
234 eqid 2736 . . . . . . . . 9 62 = 62
235 eqid 2736 . . . . . . . . 9 01 = 01
236 6cn 12358 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
237236addridi 11449 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
238 2p1e3 12409 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
239146, 158, 37, 15, 234, 235, 237, 238decadd 12789 . . . . . . . 8 (62 + 01) = 63
240146, 158, 37, 15, 146, 233, 239dpadd 32894 . . . . . . 7 ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
241146, 12, 37, 135, 146, 225, 158, 37, 232, 240dpadd2 32893 . . . . . 6 ((2.62) + (0.01)) = (2.63)
242158, 223, 37, 144, 158, 226, 128, 37, 230, 241dpadd2 32893 . . . . 5 ((4.262) + (0.001)) = (4.263)
243128, 224, 37, 149, 128, 227, 15, 37, 228, 242dpadd2 32893 . . . 4 ((1.4262) + (0.0001)) = (1.4263)
244243oveq1i 7442 . . 3 (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = ((1.4263) · (√‘𝑁))
24530recnd 11290 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℂ)
24651recnd 11290 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℂ)
24735recnd 11290 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
248245, 246, 247adddird 11287 . . 3 (𝜑 → (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
249244, 248eqtr3id 2790 . 2 (𝜑 → ((1.4263) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
250207, 222, 2493brtr4d 5174 1 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  0cn0 12528  cz 12615  cdc 12735  +crp 13035  ...cfz 13548  cexp 14103  csqrt 15273  Σcsu 15723  cprime 16709  logclog 26597  θccht 27135  Λcvma 27136  ψcchp 27137  cdp2 32854  .cdp 32871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-ros336 34662
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-ulm 26421  df-log 26599  df-atan 26911  df-cht 27141  df-vma 27142  df-chp 27143  df-dp2 32855  df-dp 32872
This theorem is referenced by:  hgt750leme  34674
  Copyright terms: Public domain W3C validator