Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5 17776
 Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs3lem 17770 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
2 acsdrscl.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
32isacs4lem 17772 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
42isacs5lem 17773 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
51, 3, 43syl 18 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6 simpl 486 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7 elpwi 4506 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑠𝑋)
82mrcidb2 16883 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
97, 8sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
109adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
11 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
122mrcf 16874 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
13 ffun 6490 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝒫 𝑋𝐶 → Fun 𝐹)
14 funiunfv 6985 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1711, 16eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡))
1817sseq1d 3946 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
19 iunss 4932 . . . . . . . 8 ( 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)
2018, 19syl6bb 290 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2110, 20bitrd 282 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2221ex 416 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2322ralimdva 3144 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2423imp 410 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
252isacs2 16918 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
266, 24, 25sylanbrc 586 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
275, 26impbii 212 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Fincfn 8494  Moorecmre 16847  mrClscmrc 16848  ACScacs 16850  Dirsetcdrs 17531  toInccipo 17755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ocomp 16580  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-drs 17533  df-poset 17550  df-ipo 17756 This theorem is referenced by:  isacs4  17777
 Copyright terms: Public domain W3C validator