MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5 18593
Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs3lem 18587 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
2 acsdrscl.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
32isacs4lem 18589 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
42isacs5lem 18590 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
51, 3, 43syl 18 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6 simpl 482 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7 elpwi 4607 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑠𝑋)
82mrcidb2 17661 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
97, 8sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
109adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
122mrcf 17652 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
13 ffun 6739 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝒫 𝑋𝐶 → Fun 𝐹)
14 funiunfv 7268 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1711, 16eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡))
1817sseq1d 4015 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
19 iunss 5045 . . . . . . . 8 ( 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)
2018, 19bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2110, 20bitrd 279 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2221ex 412 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2322ralimdva 3167 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2423imp 406 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
252isacs2 17696 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
266, 24, 25sylanbrc 583 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
275, 26impbii 209 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  Fincfn 8985  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  ACScacs 17628  Dirsetcdrs 18339  toInccipo 18572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573
This theorem is referenced by:  isacs4  18594
  Copyright terms: Public domain W3C validator