Theorem isacs5 18754

Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs3lem 18748	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2		acsdrscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	isacs4lem 18750	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
4	2	isacs5lem 18751	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7		elpwi 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	2	mrcidb2 17824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
9	7, 8	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	2	mrcf 17815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
13		ffun 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶 → Fun 𝐹)
14		funiunfv 7278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
17	11, 16	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡))
18	17	sseq1d 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
19		iunss 5006	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)
20	18, 19	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
21	10, 20	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
22	21	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
23	22	ralimdva 3178	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
24	23	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
25	2	isacs2 17859	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
26	6, 24, 25	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
27	5, 26	impbii 212	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   “ cima 5659  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  Fincfn 9004  Moorecmre 17784  mrClscmrc 17785  ACScacs 17787  Dirsetcdrs 18499  toInccipo 18733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ocomp 17481  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-proset 18500  df-drs 18501  df-poset 18519  df-ipo 18734

This theorem is used by:  isacs4  18755