Theorem isacs5 17652

Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs3lem 17646	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2		acsdrscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	isacs4lem 17648	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
4	2	isacs5lem 17649	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7		elpwi 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	2	mrcidb2 16759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
9	7, 8	sylan2 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
10	9	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	2	mrcf 16750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
13		ffun 6352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶 → Fun 𝐹)
14		funiunfv 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
16	15	ad2antrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
17	11, 16	eqtr4d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡))
18	17	sseq1d 3890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
19		iunss 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)
20	18, 19	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
21	10, 20	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
22	21	ex 405	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
23	22	ralimdva 3129	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
24	23	imp 398	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
25	2	isacs2 16794	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
26	6, 24, 25	sylanbrc 575	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
27	5, 26	impbii 201	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3090   ∩ cin 3830   ⊆ wss 3831  𝒫 cpw 4425  ∪ cuni 4717  ∪ ciun 4797   “ cima 5414  Fun wfun 6187  ⟶wf 6189  ‘cfv 6193  Fincfn 8312  Moorecmre 16723  mrClscmrc 16724  ACScacs 16726  Dirsetcdrs 17407  toInccipo 17631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-fz 12715  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ocomp 16448  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-proset 17408  df-drs 17409  df-poset 17426  df-ipo 17632

This theorem is referenced by:  isacs4  17653