Theorem isacs5 18592

Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs3lem 18586	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2		acsdrscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	isacs4lem 18588	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
4	2	isacs5lem 18589	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7		elpwi 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	2	mrcidb2 17662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
9	7, 8	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
11		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	2	mrcf 17653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
13		ffun 6698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶 → Fun 𝐹)
14		funiunfv 7236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
16	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
17	11, 16	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡))
18	17	sseq1d 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
19		iunss 5004	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)
20	18, 19	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
21	10, 20	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
22	21	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
23	22	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
24	23	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
25	2	isacs2 17697	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
26	6, 24, 25	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
27	5, 26	impbii 212	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   “ cima 5654  Fun wfun 6519  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  Fincfn 8931  Moorecmre 17622  mrClscmrc 17623  ACScacs 17625  Dirsetcdrs 18337  toInccipo 18571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-proset 18338  df-drs 18339  df-poset 18357  df-ipo 18572

This theorem is referenced by:  isacs4  18593