Theorem isacs5 18593

Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs3lem 18587	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2		acsdrscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	isacs4lem 18589	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
4	2	isacs5lem 18590	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7		elpwi 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	2	mrcidb2 17661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	2	mrcf 17652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
13		ffun 6739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶 → Fun 𝐹)
14		funiunfv 7268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
17	11, 16	eqtr4d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡))
18	17	sseq1d 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
19		iunss 5045	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)
20	18, 19	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
21	10, 20	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
23	22	ralimdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
24	23	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
25	2	isacs2 17696	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
26	6, 24, 25	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
27	5, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991   “ cima 5688  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  ACScacs 17628  Dirsetcdrs 18339  toInccipo 18572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573

This theorem is referenced by:  isacs4  18594