Theorem isacs5 18558

Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs3lem 18552	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2		acsdrscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	isacs4lem 18554	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
4	2	isacs5lem 18555	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7		elpwi 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	2	mrcidb2 17630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠))
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	2	mrcf 17621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
13		ffun 6709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶 → Fun 𝐹)
14		funiunfv 7240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
17	11, 16	eqtr4d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹‘𝑠) = ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡))
18	17	sseq1d 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
19		iunss 5021	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)
20	18, 19	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹‘𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
21	10, 20	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
23	22	ralimdva 3152	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
24	23	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠))
25	2	isacs2 17665	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹‘𝑡) ⊆ 𝑠)))
26	6, 24, 25	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
27	5, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883  ∪ ciun 4967   “ cima 5657  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  Fincfn 8959  Moorecmre 17594  mrClscmrc 17595  ACScacs 17597  Dirsetcdrs 18305  toInccipo 18537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ocomp 17292  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-proset 18306  df-drs 18307  df-poset 18325  df-ipo 18538

This theorem is referenced by:  isacs4  18559