Theorem isf32lem10 10360

Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g	⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))

Assertion

Ref	Expression
isf32lem10	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2		isf32lem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
3		isf32lem.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
4		isf32lem.d	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
5		isf32lem.e	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
6		isf32lem.f	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
7		isf32lem.g	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isf32lem9 10359	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺–onto→ω)
9		fof 6806	. . . . 5 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → 𝐿:𝐺⟶ω)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺⟶ω)
11		fex 7231	. . . 4 ⊢ ((𝐿:𝐺⟶ω ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
12	10, 11	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
13	12	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐿 ∈ V))
14		fowdom 9569	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝐿:𝐺–onto→ω) → ω ≼* 𝐺)
15	14	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → (𝐿 ∈ V → ω ≼* 𝐺))
16	8, 13, 15	sylsyld 61	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950  𝒫 cpw 4603  ∩ cint 4951   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  suc csuc 6367  ℩cio 6494  ⟶wf 6540  –onto→wfo 6542  ‘cfv 6544  ℩crio 7367  ωcom 7858   ≈ cen 8939   ≼^* cwdom 9562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-wdom 9563  df-card 9937

This theorem is referenced by:  isf32lem11  10361