Theorem isf32lem10 10367

Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g	⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))

Assertion

Ref	Expression
isf32lem10	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑠)   𝐽(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐿(𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem isf32lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2		isf32lem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
3		isf32lem.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
4		isf32lem.d	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
5		isf32lem.e	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
6		isf32lem.f	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
7		isf32lem.g	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isf32lem9 10366	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺–onto→ω)
9		fof 6790	. . . . 5 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → 𝐿:𝐺⟶ω)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺⟶ω)
11		fex 7226	. . . 4 ⊢ ((𝐿:𝐺⟶ω ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
12	10, 11	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
13	12	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐿 ∈ V))
14		fowdom 9546	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝐿:𝐺–onto→ω) → ω ≼* 𝐺)
15	14	expcom 419	. 2 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → (𝐿 ∈ V → ω ≼* 𝐺))
16	8, 13, 15	sylsyld 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  𝒫 cpw 4557  ∩ cint 4907   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656   ∘ ccom 5659  suc csuc 6359  ℩cio 6487  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  ℩crio 7370  ωcom 7863   ≈ cen 8952   ≼^* cwdom 9539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wdom 9540  df-card 9947

This theorem is used by:  isf32lem11  10368