Theorem isf32lem10 10346

Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g	⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))

Assertion

Ref	Expression
isf32lem10	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2		isf32lem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
3		isf32lem.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
4		isf32lem.d	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
5		isf32lem.e	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
6		isf32lem.f	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
7		isf32lem.g	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isf32lem9 10345	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺–onto→ω)
9		fof 6793	. . . . 5 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → 𝐿:𝐺⟶ω)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺⟶ω)
11		fex 7225	. . . 4 ⊢ ((𝐿:𝐺⟶ω ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
12	10, 11	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
13	12	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐿 ∈ V))
14		fowdom 9533	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝐿:𝐺–onto→ω) → ω ≼* 𝐺)
15	14	expcom 418	. 2 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → (𝐿 ∈ V → ω ≼* 𝐺))
16	8, 13, 15	sylsyld 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  𝒫 cpw 4567  ∩ cint 4916   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663   ∘ ccom 5666  suc csuc 6363  ℩cio 6491  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  ωcom 7862   ≈ cen 8940   ≼^* cwdom 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-wdom 9527  df-card 9925

This theorem is referenced by:  isf32lem11  10347