Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem10 9773
 Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
Assertion
Ref Expression
isf32lem10 (𝜑 → (𝐺𝑉 → ω ≼* 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2 isf32lem.b . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
3 isf32lem.c . . 3 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
4 isf32lem.d . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
5 isf32lem.e . . 3 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
6 isf32lem.f . . 3 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
7 isf32lem.g . . 3 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 9772 . 2 (𝜑𝐿:𝐺onto→ω)
9 fof 6572 . . . . 5 (𝐿:𝐺onto→ω → 𝐿:𝐺⟶ω)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿:𝐺⟶ω)
11 fex 6971 . . . 4 ((𝐿:𝐺⟶ω ∧ 𝐺𝑉) → 𝐿 ∈ V)
1210, 11sylan 583 . . 3 ((𝜑𝐺𝑉) → 𝐿 ∈ V)
1312ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑉𝐿 ∈ V))
14 fowdom 9023 . . 3 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝐿:𝐺onto→ω) → ω ≼* 𝐺)
1514expcom 417 . 2 (𝐿:𝐺onto→ω → (𝐿 ∈ V → ω ≼* 𝐺))
168, 13, 15sylsyld 61 1 (𝜑 → (𝐺𝑉 → ω ≼* 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  {crab 3134  Vcvv 3469   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   ⊊ wpss 3909  𝒫 cpw 4511  ∩ cint 4851   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ran crn 5533   ∘ ccom 5536  suc csuc 6171  ℩cio 6291  ⟶wf 6330  –onto→wfo 6332  ‘cfv 6334  ℩crio 7097  ωcom 7565   ≈ cen 8493   ≼* cwdom 9016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-wdom 9017  df-card 9356 This theorem is referenced by:  isf32lem11  9774
 Copyright terms: Public domain W3C validator