Theorem isf32lem10 10361

Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g	⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))

Assertion

Ref	Expression
isf32lem10	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑠)   𝐽(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐿(𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem isf32lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2		isf32lem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
3		isf32lem.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
4		isf32lem.d	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
5		isf32lem.e	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
6		isf32lem.f	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
7		isf32lem.g	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isf32lem9 10360	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺–onto→ω)
9		fof 6796	. . . . 5 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → 𝐿:𝐺⟶ω)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺⟶ω)
11		fex 7231	. . . 4 ⊢ ((𝐿:𝐺⟶ω ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
12	10, 11	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐿 ∈ V)
13	12	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐿 ∈ V))
14		fowdom 9540	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝐿:𝐺–onto→ω) → ω ≼* 𝐺)
15	14	expcom 419	. 2 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω → (𝐿 ∈ V → ω ≼* 𝐺))
16	8, 13, 15	sylsyld 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑉 → ω ≼* 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  𝒫 cpw 4564  ∩ cint 4914   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664   ∘ ccom 5667  suc csuc 6366  ℩cio 6494  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  ωcom 7868   ≈ cen 8946   ≼^* cwdom 9533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-wdom 9534  df-card 9941

This theorem is used by:  isf32lem11  10362