MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem10 9472
Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
Assertion
Ref Expression
isf32lem10 (𝜑 → (𝐺𝑉 → ω ≼* 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2 isf32lem.b . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
3 isf32lem.c . . 3 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
4 isf32lem.d . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
5 isf32lem.e . . 3 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
6 isf32lem.f . . 3 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
7 isf32lem.g . . 3 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 9471 . 2 (𝜑𝐿:𝐺onto→ω)
9 fof 6331 . . . . 5 (𝐿:𝐺onto→ω → 𝐿:𝐺⟶ω)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿:𝐺⟶ω)
11 fex 6718 . . . 4 ((𝐿:𝐺⟶ω ∧ 𝐺𝑉) → 𝐿 ∈ V)
1210, 11sylan 576 . . 3 ((𝜑𝐺𝑉) → 𝐿 ∈ V)
1312ex 402 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑉𝐿 ∈ V))
14 fowdom 8718 . . 3 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝐿:𝐺onto→ω) → ω ≼* 𝐺)
1514expcom 403 . 2 (𝐿:𝐺onto→ω → (𝐿 ∈ V → ω ≼* 𝐺))
168, 13, 15sylsyld 61 1 (𝜑 → (𝐺𝑉 → ω ≼* 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  wpss 3770  𝒫 cpw 4349   cint 4667   class class class wbr 4843  cmpt 4922  ran crn 5313  ccom 5316  suc csuc 5943  cio 6062  wf 6097  ontowfo 6099  cfv 6101  crio 6838  ωcom 7299  cen 8192  * cwdom 8704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-wdom 8706  df-card 9051
This theorem is referenced by:  isf32lem11  9473
  Copyright terms: Public domain W3C validator