MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem9 10297
Description: Lemma for isfin3-2 10303. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
Assertion
Ref Expression
isf32lem9 (𝜑𝐿:𝐺onto→ω)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem9
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.g . . . 4 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
2 ssab2 4036 . . . . . . 7 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))} ⊆ ω
3 iotacl 6482 . . . . . . 7 (∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))})
42, 3sselid 3942 . . . . . 6 (∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω)
5 iotanul 6474 . . . . . . 7 (¬ ∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) = ∅)
6 peano1 7825 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
75, 6eqeltrdi 2846 . . . . . 6 (¬ ∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω)
84, 7pm2.61i 182 . . . . 5 (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω
98a1i 11 . . . 4 (𝑡𝐺 → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω)
101, 9fmpti 7060 . . 3 𝐿:𝐺⟶ω
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐿:𝐺⟶ω)
12 isf32lem.a . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
13 isf32lem.b . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
14 isf32lem.c . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
15 isf32lem.d . . . . . 6 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
16 isf32lem.e . . . . . 6 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
17 isf32lem.f . . . . . 6 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
1812, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem6 10294 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (𝐾𝑎) ≠ ∅)
19 n0 4306 . . . . 5 ((𝐾𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))
2018, 19sylib 217 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))
2112, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem8 10296 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (𝐾𝑎) ⊆ 𝐺)
2221sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → 𝑏𝐺)
23 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ (𝐾𝑠) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
2524iotabidv 6480 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑏 → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
26 iotaex 6469 . . . . . . . . . . 11 (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ V
2725, 1, 26fvmpt3i 6953 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐺 → (𝐿𝑏) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
2822, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (𝐿𝑏) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
29 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))
30 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝜑)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑠𝑎)
3231necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑎𝑠)
33 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑎 ∈ ω)
34 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑠 ∈ ω)
3512, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem7 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎𝑠) ∧ (𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω)) → ((𝐾𝑎) ∩ (𝐾𝑠)) = ∅)
3630, 32, 33, 34, 35syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → ((𝐾𝑎) ∩ (𝐾𝑠)) = ∅)
37 disj1 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾𝑎) ∩ (𝐾𝑠)) = ∅ ↔ ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
3836, 37sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
3938ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠𝑎 → ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
40 sp 2176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
4139, 40syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → (𝑠𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
43423adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → (𝑠𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
4429, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
4544necon4ad 2962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑠) → 𝑠 = 𝑎))
46453expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 ∈ ω → (𝑏 ∈ (𝐾𝑠) → 𝑠 = 𝑎)))
4746impd 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) → 𝑠 = 𝑎))
48 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ↔ 𝑎 ∈ ω))
49 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑎 → (𝐾𝑠) = (𝐾𝑎))
5049eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐾𝑠) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)))
5148, 50anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑎 → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) ↔ (𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))))
5251biimprcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
5352ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (𝐾𝑎) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
5453adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
5547, 54impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) ↔ 𝑠 = 𝑎))
5655iota5 6479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))) = 𝑎)
5756an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))) = 𝑎)
5828, 57eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → 𝑎 = (𝐿𝑏))
5922, 58jca 512 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏)))
6059ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → (𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏))))
6160eximdv 1920 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ∃𝑏(𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏))))
62 df-rex 3074 . . . . 5 (∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏)))
6361, 62syl6ibr 251 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏)))
6420, 63mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏))
6564ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏))
66 dffo3 7052 . 2 (𝐿:𝐺onto→ω ↔ (𝐿:𝐺⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏)))
6711, 65, 66sylanbrc 583 1 (𝜑𝐿:𝐺onto→ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  ∃!weu 2566  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  wpss 3911  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cint 4907   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  ccom 5637  suc csuc 6319  cio 6446  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  crio 7312  ωcom 7802  cen 8880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875
This theorem is referenced by:  isf32lem10  10298
  Copyright terms: Public domain W3C validator