MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem9 10358
Description: Lemma for isfin3-2 10364. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
isf32lem.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
isf32lem.c (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g 𝐿 = (𝑑 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
Assertion
Ref Expression
isf32lem9 (πœ‘ β†’ 𝐿:𝐺–ontoβ†’Ο‰)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   𝑑,𝐺   π‘₯,𝐿   𝑑,𝑠,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑠,𝑑,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝐽,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑀,𝑣,𝑒)   𝐿(𝑦,𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem9
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.g . . . 4 𝐿 = (𝑑 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
2 ssab2 4076 . . . . . . 7 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))} βŠ† Ο‰
3 iotacl 6529 . . . . . . 7 (βˆƒ!𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) ∈ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))})
42, 3sselid 3980 . . . . . 6 (βˆƒ!𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) ∈ Ο‰)
5 iotanul 6521 . . . . . . 7 (Β¬ βˆƒ!𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) = βˆ…)
6 peano1 7881 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Ο‰
75, 6eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒ!𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) ∈ Ο‰)
84, 7pm2.61i 182 . . . . 5 (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) ∈ Ο‰
98a1i 11 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝐺 β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) ∈ Ο‰)
101, 9fmpti 7113 . . 3 𝐿:πΊβŸΆΟ‰
1110a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐿:πΊβŸΆΟ‰)
12 isf32lem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ’« 𝐺)
13 isf32lem.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
14 isf32lem.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
15 isf32lem.d . . . . . 6 𝑆 = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ (πΉβ€˜suc 𝑦) ⊊ (πΉβ€˜π‘¦)}
16 isf32lem.e . . . . . 6 𝐽 = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) β‰ˆ 𝑒))
17 isf32lem.f . . . . . 6 𝐾 = ((𝑀 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘€) βˆ– (πΉβ€˜suc 𝑀))) ∘ 𝐽)
1812, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem6 10355 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  βˆ…)
19 n0 4346 . . . . 5 ((πΎβ€˜π‘Ž) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž))
2018, 19sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž))
2112, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem8 10357 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (πΎβ€˜π‘Ž) βŠ† 𝐺)
2221sselda 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐺)
23 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑏 β†’ (𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ) ↔ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 β†’ ((𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) ↔ (𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
2524iotabidv 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) = (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
26 iotaex 6516 . . . . . . . . . . 11 (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) ∈ V
2725, 1, 26fvmpt3i 7003 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 𝐺 β†’ (πΏβ€˜π‘) = (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
2822, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) β†’ (πΏβ€˜π‘) = (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
29 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž))
30 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ πœ‘)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑠 β‰  π‘Ž)
3231necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ π‘Ž β‰  𝑠)
33 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ Ο‰)
34 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ 𝑠 ∈ Ο‰)
3512, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem7 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ž β‰  𝑠) ∧ (π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰)) β†’ ((πΎβ€˜π‘Ž) ∩ (πΎβ€˜π‘ )) = βˆ…)
3630, 32, 33, 34, 35syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ ((πΎβ€˜π‘Ž) ∩ (πΎβ€˜π‘ )) = βˆ…)
37 disj1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΎβ€˜π‘Ž) ∩ (πΎβ€˜π‘ )) = βˆ… ↔ βˆ€π‘(𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )))
3836, 37sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) ∧ 𝑠 β‰  π‘Ž) β†’ βˆ€π‘(𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )))
3938ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ (𝑠 β‰  π‘Ž β†’ βˆ€π‘(𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
40 sp 2176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘(𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )))
4139, 40syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ (𝑠 β‰  π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ (𝑠 β‰  π‘Ž β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
43423adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ (𝑠 β‰  π‘Ž β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
4429, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ (𝑠 β‰  π‘Ž β†’ Β¬ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )))
4544necon4ad 2959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑠 ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ) β†’ 𝑠 = π‘Ž))
46453expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (𝑠 ∈ Ο‰ β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ) β†’ 𝑠 = π‘Ž)))
4746impd 411 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ ((𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) β†’ 𝑠 = π‘Ž))
48 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝑠 ∈ Ο‰ ↔ π‘Ž ∈ Ο‰))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = π‘Ž β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π‘Ž))
5049eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ) ↔ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)))
5148, 50anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = π‘Ž β†’ ((𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) ↔ (π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž))))
5251biimprcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) β†’ (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
5352ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
5453adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))))
5547, 54impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ ((𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ )) ↔ 𝑠 = π‘Ž))
5655iota5 6526 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) = π‘Ž)
5756an32s 650 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) β†’ (℩𝑠(𝑠 ∈ Ο‰ ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘ ))) = π‘Ž)
5828, 57eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) β†’ π‘Ž = (πΏβ€˜π‘))
5922, 58jca 512 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) ∧ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐺 ∧ π‘Ž = (πΏβ€˜π‘)))
6059ex 413 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ (𝑏 ∈ 𝐺 ∧ π‘Ž = (πΏβ€˜π‘))))
6160eximdv 1920 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘(𝑏 ∈ 𝐺 ∧ π‘Ž = (πΏβ€˜π‘))))
62 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐺 π‘Ž = (πΏβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘(𝑏 ∈ 𝐺 ∧ π‘Ž = (πΏβ€˜π‘)))
6361, 62imbitrrdi 251 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (πΎβ€˜π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐺 π‘Ž = (πΏβ€˜π‘)))
6420, 63mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Ο‰) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐺 π‘Ž = (πΏβ€˜π‘))
6564ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ 𝐺 π‘Ž = (πΏβ€˜π‘))
66 dffo3 7103 . 2 (𝐿:𝐺–ontoβ†’Ο‰ ↔ (𝐿:πΊβŸΆΟ‰ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘ ∈ 𝐺 π‘Ž = (πΏβ€˜π‘)))
6711, 65, 66sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐿:𝐺–ontoβ†’Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒ!weu 2562  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆ© cint 4950   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  suc csuc 6366  β„©cio 6493  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936
This theorem is referenced by:  isf32lem10  10359
  Copyright terms: Public domain W3C validator