Theorem isf32lem9 10430

Description: Lemma for isfin3-2 10436. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g	⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))

Assertion

Ref	Expression
isf32lem9	⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺–onto→ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem9

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.g	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑡 ∈ 𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))))
2		ssab2 4102	. . . . . . 7 ⊢ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))} ⊆ ω
3		iotacl 6559	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) ∈ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))})
4	2, 3	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) ∈ ω)
5		iotanul 6551	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) = ∅)
6		peano1 7927	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
7	5, 6	eqeltrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) ∈ ω)
8	4, 7	pm2.61i 182	. . . . 5 ⊢ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) ∈ ω
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐺 → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) ∈ ω)
10	1, 9	fmpti 7146	. . 3 ⊢ 𝐿:𝐺⟶ω
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺⟶ω)
12		isf32lem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
13		isf32lem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
14		isf32lem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
15		isf32lem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
16		isf32lem.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
17		isf32lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	isf32lem6 10427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝐾‘𝑎) ≠ ∅)
19		n0 4376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾‘𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎))
20	18, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎))
21	12, 13, 14, 15, 16, 17	isf32lem8 10429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝐾‘𝑎) ⊆ 𝐺)
22	21	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐺)
23		eleq1w 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)))
24	23	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
25	24	iotabidv 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
26		iotaex 6546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾‘𝑠))) ∈ V
27	25, 1, 26	fvmpt3i 7034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐺 → (𝐿‘𝑏) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) → (𝐿‘𝑏) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
29		simp1r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎))
30		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → 𝜑)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → 𝑠 ≠ 𝑎)
32	31	necomd 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → 𝑎 ≠ 𝑠)
33		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → 𝑎 ∈ ω)
34		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → 𝑠 ∈ ω)
35	12, 13, 14, 15, 16, 17	isf32lem7 10428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑠) ∧ (𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝑎) ∩ (𝐾‘𝑠)) = ∅)
36	30, 32, 33, 34, 35	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → ((𝐾‘𝑎) ∩ (𝐾‘𝑠)) = ∅)
37		disj1 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾‘𝑎) ∩ (𝐾‘𝑠)) = ∅ ↔ ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠 ≠ 𝑎) → ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠 ≠ 𝑎 → ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
40		sp 2184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)))
41	39, 40	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠 ≠ 𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → (𝑠 ≠ 𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
43	42	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → (𝑠 ≠ 𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
44	29, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠 ≠ 𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)))
45	44	necon4ad 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠) → 𝑠 = 𝑎))
46	45	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 ∈ ω → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠) → 𝑠 = 𝑎)))
47	46	impd 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)) → 𝑠 = 𝑎))
48		eleq1w 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ↔ 𝑎 ∈ ω))
49		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐾‘𝑠) = (𝐾‘𝑎))
50	49	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)))
51	48, 50	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)) ↔ (𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎))))
52	51	biimprcd 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
53	52	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
54	53	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))))
55	47, 54	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠)) ↔ 𝑠 = 𝑎))
56	55	iota5 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))) = 𝑎)
57	56	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑠))) = 𝑎)
58	28, 57	eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) → 𝑎 = (𝐿‘𝑏))
59	22, 58	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎)) → (𝑏 ∈ 𝐺 ∧ 𝑎 = (𝐿‘𝑏)))
60	59	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → (𝑏 ∈ 𝐺 ∧ 𝑎 = (𝐿‘𝑏))))
61	60	eximdv 1916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐺 ∧ 𝑎 = (𝐿‘𝑏))))
62		df-rex 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 = (𝐿‘𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐺 ∧ 𝑎 = (𝐿‘𝑏)))
63	61, 62	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾‘𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 = (𝐿‘𝑏)))
64	20, 63	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 = (𝐿‘𝑏))
65	64	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 = (𝐿‘𝑏))
66		dffo3 7136	. 2 ⊢ (𝐿:𝐺–onto→ω ↔ (𝐿:𝐺⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 = (𝐿‘𝑏)))
67	11, 65, 66	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐺–onto→ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2571  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∩ cint 4970   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ∘ ccom 5704  suc csuc 6397  ℩cio 6523  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  ωcom 7903   ≈ cen 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008

This theorem is referenced by:  isf32lem10  10431