MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem9 10401
Description: Lemma for isfin3-2 10407. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
isf32lem.g 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
Assertion
Ref Expression
isf32lem9 (𝜑𝐿:𝐺onto→ω)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝐽,𝑠,𝑡,𝑤,𝑥,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑠)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐿(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem isf32lem9
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.g . . . 4 𝐿 = (𝑡𝐺 ↦ (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))))
2 ssab2 4079 . . . . . . 7 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))} ⊆ ω
3 iotacl 6547 . . . . . . 7 (∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))})
42, 3sselid 3981 . . . . . 6 (∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω)
5 iotanul 6539 . . . . . . 7 (¬ ∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) = ∅)
6 peano1 7910 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
75, 6eqeltrdi 2849 . . . . . 6 (¬ ∃!𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω)
84, 7pm2.61i 182 . . . . 5 (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω
98a1i 11 . . . 4 (𝑡𝐺 → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ ω)
101, 9fmpti 7132 . . 3 𝐿:𝐺⟶ω
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐿:𝐺⟶ω)
12 isf32lem.a . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
13 isf32lem.b . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
14 isf32lem.c . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
15 isf32lem.d . . . . . 6 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
16 isf32lem.e . . . . . 6 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
17 isf32lem.f . . . . . 6 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
1812, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem6 10398 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (𝐾𝑎) ≠ ∅)
19 n0 4353 . . . . 5 ((𝐾𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))
2018, 19sylib 218 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))
2112, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem8 10400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (𝐾𝑎) ⊆ 𝐺)
2221sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → 𝑏𝐺)
23 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ (𝐾𝑠) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
2423anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
2524iotabidv 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑏 → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
26 iotaex 6534 . . . . . . . . . . 11 (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ (𝐾𝑠))) ∈ V
2725, 1, 26fvmpt3i 7021 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐺 → (𝐿𝑏) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
2822, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (𝐿𝑏) = (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
29 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))
30 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝜑)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑠𝑎)
3231necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑎𝑠)
33 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑎 ∈ ω)
34 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → 𝑠 ∈ ω)
3512, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem7 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎𝑠) ∧ (𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω)) → ((𝐾𝑎) ∩ (𝐾𝑠)) = ∅)
3630, 32, 33, 34, 35syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → ((𝐾𝑎) ∩ (𝐾𝑠)) = ∅)
37 disj1 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾𝑎) ∩ (𝐾𝑠)) = ∅ ↔ ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
3836, 37sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) ∧ 𝑠𝑎) → ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠𝑎 → ∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
40 sp 2183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑏(𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
4139, 40syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → (𝑠𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
43423adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → (𝑠𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
4429, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑠𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)))
4544necon4ad 2959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω ∧ 𝑠 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑠) → 𝑠 = 𝑎))
46453expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 ∈ ω → (𝑏 ∈ (𝐾𝑠) → 𝑠 = 𝑎)))
4746impd 410 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) → 𝑠 = 𝑎))
48 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ↔ 𝑎 ∈ ω))
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑎 → (𝐾𝑠) = (𝐾𝑎))
5049eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐾𝑠) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)))
5148, 50anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑎 → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) ↔ (𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎))))
5251biimprcd 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
5352ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (𝐾𝑎) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
5453adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))))
5547, 54impbid 212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → ((𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠)) ↔ 𝑠 = 𝑎))
5655iota5 6544 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ ω) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))) = 𝑎)
5756an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (℩𝑠(𝑠 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑠))) = 𝑎)
5828, 57eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → 𝑎 = (𝐿𝑏))
5922, 58jca 511 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ω) ∧ 𝑏 ∈ (𝐾𝑎)) → (𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏)))
6059ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → (𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏))))
6160eximdv 1917 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ∃𝑏(𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏))))
62 df-rex 3071 . . . . 5 (∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏𝐺𝑎 = (𝐿𝑏)))
6361, 62imbitrrdi 252 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐾𝑎) → ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏)))
6420, 63mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏))
6564ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏))
66 dffo3 7122 . 2 (𝐿:𝐺onto→ω ↔ (𝐿:𝐺⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏𝐺 𝑎 = (𝐿𝑏)))
6711, 65, 66sylanbrc 583 1 (𝜑𝐿:𝐺onto→ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  ∃!weu 2568  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  wpss 3952  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cint 4946   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  ccom 5689  suc csuc 6386  cio 6512  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  crio 7387  ωcom 7887  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979
This theorem is referenced by:  isf32lem10  10402
  Copyright terms: Public domain W3C validator