Theorem ressply1mon1p 33633

Description: The monic polynomials of a restricted polynomial algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1mon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ressply1mon1p.n	⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mon1p	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Proof of Theorem ressply1mon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		ressply1mon1p.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26089	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
9		ressply.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
10		ressply.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
11		ressply.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12		ressply.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	1, 9, 10, 11, 12, 13	ressply1bas 22170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
15	13, 2	ressbasss 17167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
16	14, 15	eqsstrdi 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17	16	sseld 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)))
18	17	pm4.71d 561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆))))
19	18	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
20		13an22anass 32522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
22	1, 9, 10, 11, 12, 3	ressply10g 33632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	22	neeq2d 2993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
26	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
27	9, 4, 10, 11, 25, 26	ressdeg1 33631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((deg1‘𝑅)‘𝑝) = ((deg1‘𝐻)‘𝑝))
28	27	fveq2d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)))
29	9, 6	subrg1 20517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
30	12, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
32	28, 31	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
33	24, 32	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
34	33	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))))
35		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
36	34, 35	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
37	21, 36	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
38	8, 37	bitr2id 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀)))
39		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝐻) = (deg1‘𝐻)
41		ressply1mon1p.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)
42		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
43	10, 11, 39, 40, 41, 42	ismon1p 26089	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
44		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀))
45	38, 43, 44	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ 𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀)))
46	45	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  0_gc0g 17360  1_rcur 20120  SubRingcsubrg 20504  Poly₁cpl1 22118  coe₁cco1 22119  deg₁cdg1 26000  Monic_1pcmn1 26072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-cnfld 21312  df-ascl 21812  df-psr 21866  df-mpl 21868  df-opsr 21870  df-psr1 22121  df-ply1 22123  df-coe1 22124  df-mdeg 26001  df-deg1 26002  df-mon1 26077

This theorem is referenced by:  irngss  33837