Theorem ressply1mon1p 33594

Description: The monic polynomials of a restricted polynomial algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1mon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ressply1mon1p.n	⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mon1p	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Proof of Theorem ressply1mon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		ressply1mon1p.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26183	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
9		ressply.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
10		ressply.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
11		ressply.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12		ressply.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	1, 9, 10, 11, 12, 13	ressply1bas 22231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
15	13, 2	ressbasss 17285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
16	14, 15	eqsstrdi 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17	16	sseld 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)))
18	17	pm4.71d 561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆))))
19	18	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
20		13an22anass 32484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
22	1, 9, 10, 11, 12, 3	ressply10g 33593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	22	neeq2d 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
26	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
27	9, 4, 10, 11, 25, 26	ressdeg1 33592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((deg1‘𝑅)‘𝑝) = ((deg1‘𝐻)‘𝑝))
28	27	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)))
29	9, 6	subrg1 20583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
30	12, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
32	28, 31	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
33	24, 32	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
34	33	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))))
35		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
36	34, 35	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
37	21, 36	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
38	8, 37	bitr2id 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀)))
39		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
40		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝐻) = (deg1‘𝐻)
41		ressply1mon1p.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)
42		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
43	10, 11, 39, 40, 41, 42	ismon1p 26183	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
44		elin 3966	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀))
45	38, 43, 44	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ 𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀)))
46	45	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∩ cin 3949  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  0_gc0g 17485  1_rcur 20179  SubRingcsubrg 20570  Poly₁cpl1 22179  coe₁cco1 22180  deg₁cdg1 26094  Monic_1pcmn1 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-cnfld 21366  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171

This theorem is referenced by:  irngss  33738