Theorem ressply1mon1p 33653

Description: The monic polynomials of a restricted polynomial algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1mon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ressply1mon1p.n	⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mon1p	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Proof of Theorem ressply1mon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		ressply1mon1p.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26109	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
9		ressply.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
10		ressply.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
11		ressply.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12		ressply.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	1, 9, 10, 11, 12, 13	ressply1bas 22174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
15	13, 2	ressbasss 17171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
16	14, 15	eqsstrdi 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17	16	sseld 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)))
18	17	pm4.71d 561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆))))
19	18	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
20		13an22anass 32542	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
22	1, 9, 10, 11, 12, 3	ressply10g 33652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	22	neeq2d 2993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
26	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
27	9, 4, 10, 11, 25, 26	ressdeg1 33651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((deg1‘𝑅)‘𝑝) = ((deg1‘𝐻)‘𝑝))
28	27	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)))
29	9, 6	subrg1 20520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
30	12, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
32	28, 31	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
33	24, 32	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
34	33	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))))
35		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
36	34, 35	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
37	21, 36	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
38	8, 37	bitr2id 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀)))
39		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝐻) = (deg1‘𝐻)
41		ressply1mon1p.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)
42		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
43	10, 11, 39, 40, 41, 42	ismon1p 26109	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
44		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀))
45	38, 43, 44	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ 𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀)))
46	45	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3901  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141   ↾_s cress 17162  0_gc0g 17364  1_rcur 20121  SubRingcsubrg 20507  Poly₁cpl1 22122  coe₁cco1 22123  deg₁cdg1 26020  Monic_1pcmn1 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-cnfld 21315  df-ascl 21815  df-psr 21870  df-mpl 21872  df-opsr 21874  df-psr1 22125  df-ply1 22127  df-coe1 22128  df-mdeg 26021  df-deg1 26022  df-mon1 26097

This theorem is referenced by:  irngss  33857