Theorem ressply1mon1p 34142

Description: The monic polynomials of a restricted polynomial algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1mon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
ressply1mon1p.n	⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mon1p	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

Proof of Theorem ressply1mon1p

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		ressply1mon1p.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26461	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑀 ↔ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))
8	7	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
9		ressply.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
10		ressply.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
11		ressply.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12		ressply.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	1, 9, 10, 11, 12, 13	ressply1bas 22546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
15	13, 2	ressbasss 17417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
16	14, 15	eqsstrdi 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
17	16	sseld 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)))
18	17	pm4.71d 571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆))))
19	18	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
20		13an22anass 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))))
21	19, 20	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)))))
22	1, 9, 10, 11, 12, 3	ressply10g 34141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	22	neeq2d 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ↔ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈)))
25		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
26	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
27	9, 4, 10, 11, 25, 26	ressdeg1 34140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((deg1‘𝑅)‘𝑝) = ((deg1‘𝐻)‘𝑝))
28	27	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)))
29	9, 6	subrg1 20834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
30	12, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
32	28, 31	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
33	24, 32	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
34	33	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))))
35		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
36	34, 35	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
37	21, 36	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑆) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝑅)‘𝑝)) = (1r‘𝑅))) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻))))
38	8, 37	bitr2id 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀)))
39		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
40		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝐻) = (deg1‘𝐻)
41		ressply1mon1p.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Monic1p‘𝐻)
42		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
43	10, 11, 39, 40, 41, 42	ismon1p 26461	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ≠ (0g‘𝑈) ∧ ((coe1‘𝑝)‘((deg1‘𝐻)‘𝑝)) = (1r‘𝐻)))
44		elin 4093	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀) ↔ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝑀))
45	38, 43, 44	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑁 ↔ 𝑝 ∈ (𝐵 ∩ 𝑀)))
46	45	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐵 ∩ 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  SubRingcsubrg 20821  Poly₁cpl1 22495  coe₁cco1 22496  deg₁cdg1 26372  Monic_1pcmn1 26444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-cnfld 21679  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-mon1 26449

This theorem is used by:  irngss  34361