Theorem kardeq0 35669

Description: Applying kard to a class yields the empty set iff the class is a proper class. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardeq0	⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem kardeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elissetv 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
2		eqeng 8995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴))
3	2	elv 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4	3	eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
6		abn0 4337	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
8		scott0b 9879	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
9	8	necon3bii 3009	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
10	7, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
11		kardval 35665	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
12	11	neeq1i 3021	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
13	10, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
14	13	necon2bi 2987	. 2 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
15		fvprc 6874	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
16	14, 15	impbii 212	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537   ≈ cen 8952  Scott cscott 9870  kardckard 35662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-en 8956  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35663

This theorem is used by:  karddom  35674  kardsdom  35675  kardcard2b  35678  rankkardu  35684