Theorem kardeq0 35502

Description: Applying kard to a class yields the empty set iff the class is a proper class. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardeq0	⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem kardeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elissetv 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
2		eqeng 8983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴))
3	2	elv 3468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4	3	eximi 1862	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
6		abn0 4348	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
8		scott0b 35455	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
9	8	necon3bii 3016	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
10	7, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
11		kardval 35498	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
12	11	neeq1i 3028	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
13	10, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
14	13	necon2bi 2994	. 2 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
15		fvprc 6874	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
16	14, 15	impbii 212	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537   ≈ cen 8940  Scott cscott 9857  kardckard 35495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-en 8944  df-r1 9736  df-rank 9737  df-scott 9858  df-kard 35496

This theorem is referenced by:  karddom  35507  kardsdom  35508  kardcard2b  35511  rankkardu  35517