Theorem kardeq0 35569

Description: Applying kard to a class yields the empty set iff the class is a proper class. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardeq0	⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem kardeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elissetv 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
2		eqeng 8979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴))
3	2	elv 3460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4	3	eximi 1865	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
6		abn0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
8		scott0b 35521	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
9	8	necon3bii 3010	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
10	7, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
11		kardval 35565	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
12	11	neeq1i 3022	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
13	10, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
14	13	necon2bi 2988	. 2 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
15		fvprc 6873	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
16	14, 15	impbii 212	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936  Scott cscott 9853  kardckard 35562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-en 8940  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-kard 35563

This theorem is referenced by:  karddom  35574  kardsdom  35575  kardcard2b  35578  rankkardu  35584