Theorem kardeq0 35685

Description: Applying kard to a class yields the empty set iff the class is a proper class. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardeq0	⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem kardeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elissetv 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
2		eqeng 8995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴))
3	2	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4	3	eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
6		abn0 4334	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
8		scott0b 9879	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
9	8	necon3bii 3007	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
10	7, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
11		kardval 35681	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
12	11	neeq1i 3019	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
13	10, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
14	13	necon2bi 2985	. 2 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
15		fvprc 6871	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
16	14, 15	impbii 212	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533   ≈ cen 8952  Scott cscott 9870  kardckard 35678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-en 8956  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35679

This theorem is used by:  karddom  35690  kardsdom  35691  kardcard2b  35694  rankkardu  35700