Theorem kardeq0 35628

Description: Applying kard to a class yields the empty set iff the class is a proper class. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardeq0	⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem kardeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elissetv 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
2		eqeng 8989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴))
3	2	elv 3462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4	3	eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
6		abn0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ≈ 𝐴)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
8		scott0b 9873	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
9	8	necon3bii 3012	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
10	7, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
11		kardval 35624	. . . . 5 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
12	11	neeq1i 3024	. . . 4 ⊢ ((kard‘𝐴) ≠ ∅ ↔ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
13	10, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ ∅)
14	13	necon2bi 2990	. 2 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
15		fvprc 6877	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
16	14, 15	impbii 212	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≈ cen 8946  Scott cscott 9864  kardckard 35621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-en 8950  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-kard 35622

This theorem is used by:  karddom  35633  kardsdom  35634  kardcard2b  35637  rankkardu  35643