MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmid 16490
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) = (absโ€˜๐‘€))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . 3 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) = (๐‘€ lcm 0))
2 fveq2 6843 . . . 4 (๐‘€ = 0 โ†’ (absโ€˜๐‘€) = (absโ€˜0))
3 abs0 15176 . . . 4 (absโ€˜0) = 0
42, 3eqtrdi 2789 . . 3 (๐‘€ = 0 โ†’ (absโ€˜๐‘€) = 0)
51, 4eqeq12d 2749 . 2 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘€) = (absโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ lcm 0) = 0))
6 lcmcl 16482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
76nn0cnd 12480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
87anidms 568 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
98adantr 482 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
10 zabscl 15204 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 12613 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1211adantr 482 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
13 zcn 12509 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1413adantr 482 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
15 simpr 486 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
1614, 15absne0d 15338 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โ‰  0)
17 lcmgcd 16488 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘€) ยท (๐‘€ gcd ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘€)))
1817anidms 568 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘€) ยท (๐‘€ gcd ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘€)))
19 gcdid 16412 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘€) = (absโ€˜๐‘€))
2019oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘€) ยท (๐‘€ gcd ๐‘€)) = ((๐‘€ lcm ๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘€)))
2113, 13absmuld 15345 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘€)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘€)))
2218, 20, 213eqtr3d 2781 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘€)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘€)))
2322adantr 482 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘€)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘€)))
249, 12, 12, 16, 23mulcan2ad 11796 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) = (absโ€˜๐‘€))
25 lcm0val 16475 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
265, 24, 25pm2.61ne 3027 1 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) = (absโ€˜๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   ยท cmul 11061  โ„คcz 12504  abscabs 15125   gcd cgcd 16379   lcm clcm 16469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-lcm 16471
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  16493  lcmfsn  16516  lcm1un  40516
  Copyright terms: Public domain W3C validator