MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmid 16314
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 oveq2 7283 . . 3 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
2 fveq2 6774 . . . 4 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
3 abs0 14997 . . . 4 (abs‘0) = 0
42, 3eqtrdi 2794 . . 3 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
51, 4eqeq12d 2754 . 2 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
6 lcmcl 16306 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12295 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
87anidms 567 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
98adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
10 zabscl 15025 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1110zcnd 12427 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
13 zcn 12324 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1413adantr 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15 simpr 485 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
1614, 15absne0d 15159 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17 lcmgcd 16312 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
1817anidms 567 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
19 gcdid 16234 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2019oveq2d 7291 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
2113, 13absmuld 15166 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
2218, 20, 213eqtr3d 2786 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
2322adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
249, 12, 12, 16, 23mulcan2ad 11611 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
25 lcm0val 16299 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
265, 24, 25pm2.61ne 3030 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876  cz 12319  abscabs 14945   gcd cgcd 16201   lcm clcm 16293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-lcm 16295
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  16317  lcmfsn  16340  lcm1un  40021
  Copyright terms: Public domain W3C validator