MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmid 15523
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 oveq2 6799 . . 3 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
2 fveq2 6330 . . . 4 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
3 abs0 14226 . . . 4 (abs‘0) = 0
42, 3syl6eq 2821 . . 3 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
51, 4eqeq12d 2786 . 2 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
6 lcmcl 15515 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11553 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
87anidms 556 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
98adantr 466 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
10 zabscl 14254 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1110zcnd 11683 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1211adantr 466 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
13 zcn 11582 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1413adantr 466 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15 simpr 471 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
1614, 15absne0d 14387 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17 lcmgcd 15521 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
1817anidms 556 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
19 gcdid 15449 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2019oveq2d 6807 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
2113, 13absmuld 14394 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
2218, 20, 213eqtr3d 2813 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
2322adantr 466 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
249, 12, 12, 16, 23mulcan2ad 10863 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
25 lcm0val 15508 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
265, 24, 25pm2.61ne 3028 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136   · cmul 10141  cz 11577  abscabs 14175   gcd cgcd 15417   lcm clcm 15502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-lcm 15504
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  15526  lcmfsn  15549
  Copyright terms: Public domain W3C validator