![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lcmid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmid | โข (๐ โ โค โ (๐ lcm ๐) = (absโ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7366 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (๐ lcm ๐) = (๐ lcm 0)) | |
2 | fveq2 6843 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ (absโ๐) = (absโ0)) | |
3 | abs0 15176 | . . . 4 โข (absโ0) = 0 | |
4 | 2, 3 | eqtrdi 2789 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (absโ๐) = 0) |
5 | 1, 4 | eqeq12d 2749 | . 2 โข (๐ = 0 โ ((๐ lcm ๐) = (absโ๐) โ (๐ lcm 0) = 0)) |
6 | lcmcl 16482 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ lcm ๐) โ โ0) | |
7 | 6 | nn0cnd 12480 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ lcm ๐) โ โ) |
8 | 7 | anidms 568 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (๐ lcm ๐) โ โ) |
9 | 8 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ lcm ๐) โ โ) |
10 | zabscl 15204 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (absโ๐) โ โค) | |
11 | 10 | zcnd 12613 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (absโ๐) โ โ) |
12 | 11 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (absโ๐) โ โ) |
13 | zcn 12509 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
14 | 13 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ๐ โ โ) |
15 | simpr 486 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ๐ โ 0) | |
16 | 14, 15 | absne0d 15338 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (absโ๐) โ 0) |
17 | lcmgcd 16488 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ lcm ๐) ยท (๐ gcd ๐)) = (absโ(๐ ยท ๐))) | |
18 | 17 | anidms 568 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ ((๐ lcm ๐) ยท (๐ gcd ๐)) = (absโ(๐ ยท ๐))) |
19 | gcdid 16412 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐ gcd ๐) = (absโ๐)) | |
20 | 19 | oveq2d 7374 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ ((๐ lcm ๐) ยท (๐ gcd ๐)) = ((๐ lcm ๐) ยท (absโ๐))) |
21 | 13, 13 | absmuld 15345 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (absโ(๐ ยท ๐)) = ((absโ๐) ยท (absโ๐))) |
22 | 18, 20, 21 | 3eqtr3d 2781 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ ((๐ lcm ๐) ยท (absโ๐)) = ((absโ๐) ยท (absโ๐))) |
23 | 22 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ((๐ lcm ๐) ยท (absโ๐)) = ((absโ๐) ยท (absโ๐))) |
24 | 9, 12, 12, 16, 23 | mulcan2ad 11796 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ lcm ๐) = (absโ๐)) |
25 | lcm0val 16475 | . 2 โข (๐ โ โค โ (๐ lcm 0) = 0) | |
26 | 5, 24, 25 | pm2.61ne 3027 | 1 โข (๐ โ โค โ (๐ lcm ๐) = (absโ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11054 0cc0 11056 ยท cmul 11061 โคcz 12504 abscabs 15125 gcd cgcd 16379 lcm clcm 16469 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-sup 9383 df-inf 9384 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-rp 12921 df-fl 13703 df-mod 13781 df-seq 13913 df-exp 13974 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-dvds 16142 df-gcd 16380 df-lcm 16471 |
This theorem is referenced by: lcmgcdeq 16493 lcmfsn 16516 lcm1un 40516 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |