Theorem lcmid 16063

Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7191	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
2		fveq2 6687	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
3		abs0 14748	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
5	1, 4	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
6		lcmcl 16055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12051	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
8	7	anidms 570	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
10		zabscl 14776	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12182	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
13		zcn 12080	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
16	14, 15	absne0d 14910	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17		lcmgcd 16061	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
18	17	anidms 570	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
19		gcdid 15983	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
20	19	oveq2d 7199	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
21	13, 13	absmuld 14917	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
22	18, 20, 21	3eqtr3d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
23	22	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
24	9, 12, 12, 16, 23	mulcan2ad 11367	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
25		lcm0val 16048	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
26	5, 24, 25	pm2.61ne 3020	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ℂcc 10626  0cc0 10628   · cmul 10633  ℤcz 12075  abscabs 14696   gcd cgcd 15950   lcm clcm 16042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-rp 12486  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-dvds 15713  df-gcd 15951  df-lcm 16044

This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  16066  lcmfsn  16089  lcm1un  39674