Theorem lcmcom 16036

Description: The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcom	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Proof of Theorem lcmcom

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 869	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0))
2		ancom 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛))
3	2	rabbii 3374	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}
4	3	infeq1i 9017	. . 3 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4439	. 2 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
6		lcmval 16035	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
7		lcmval 16035	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
8	7	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
9	5, 6, 8	3eqtr4a 2799	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3057  ifcif 4414   class class class wbr 5030  (class class class)co 7172  infcinf 8980  ℝcr 10616  0cc0 10617   < clt 10755  ℕcn 11718  ℤcz 12064   ∥ cdvds 15701   lcm clcm 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-mulcl 10679  ax-i2m1 10685  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-sup 8981  df-inf 8982  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-ltxr 10760  df-lcm 16033

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16041  lcmeq0  16043  lcmcl  16044  lcmneg  16046  neglcm  16047  lcmgcd  16050  lcmdvds  16051  lcmftp  16079  lcmfunsnlem2  16083  lcmfunsnlem  16084  lcmf2a3a4e12  16090  lcm2un  39664  lcm3un  39665