MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmcom 16535
Description: The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmcom ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Proof of Theorem lcmcom
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orcom 867 . . 3 ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0))
2 ancom 460 . . . . 5 ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑁𝑛𝑀𝑛))
32rabbii 3432 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}
43infeq1i 9472 . . 3 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < )
51, 4ifbieq2i 4548 . 2 if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < ))
6 lcmval 16534 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < )))
7 lcmval 16534 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < )))
87ancoms 458 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < )))
95, 6, 83eqtr4a 2792 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  ifcif 4523   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  infcinf 9435  cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  cn 12213  cz 12559  cdvds 16202   lcm clcm 16530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-mulcl 11171  ax-i2m1 11177  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-lcm 16532
This theorem is referenced by:  dvdslcm  16540  lcmeq0  16542  lcmcl  16543  lcmneg  16545  neglcm  16546  lcmgcd  16549  lcmdvds  16550  lcmftp  16578  lcmfunsnlem2  16582  lcmfunsnlem  16583  lcmf2a3a4e12  16589  lcm2un  41393  lcm3un  41394
  Copyright terms: Public domain W3C validator