Theorem lcmcom 16326

Description: The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcom	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Proof of Theorem lcmcom

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 866	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0))
2		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛))
3	2	rabbii 3410	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}
4	3	infeq1i 9265	. . 3 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4487	. 2 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
6		lcmval 16325	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
7		lcmval 16325	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
9	5, 6, 8	3eqtr4a 2799	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  {crab 3221  ifcif 4462   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  infcinf 9228  ℝcr 10898  0cc0 10899   < clt 11037  ℕcn 12001  ℤcz 12347   ∥ cdvds 15991   lcm clcm 16321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-mulcl 10961  ax-i2m1 10967  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-ltxr 11042  df-lcm 16323

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16331  lcmeq0  16333  lcmcl  16334  lcmneg  16336  neglcm  16337  lcmgcd  16340  lcmdvds  16341  lcmftp  16369  lcmfunsnlem2  16373  lcmfunsnlem  16374  lcmf2a3a4e12  16380  lcm2un  40048  lcm3un  40049