Theorem lcmcom 16564

Description: The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcom	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Proof of Theorem lcmcom

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 869	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0))
2		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛))
3	2	rabbii 3435	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}
4	3	infeq1i 9502	. . 3 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4554	. 2 ⊢ if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
6		lcmval 16563	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
7		lcmval 16563	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑛 ∧ 𝑀 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
9	5, 6, 8	3eqtr4a 2794	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  ifcif 4529   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  infcinf 9465  ℝcr 11138  0cc0 11139   < clt 11279  ℕcn 12243  ℤcz 12589   ∥ cdvds 16231   lcm clcm 16559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-mulcl 11201  ax-i2m1 11207  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-lcm 16561

This theorem is referenced by:  dvdslcm  16569  lcmeq0  16571  lcmcl  16572  lcmneg  16574  neglcm  16575  lcmgcd  16578  lcmdvds  16579  lcmftp  16607  lcmfunsnlem2  16611  lcmfunsnlem  16612  lcmf2a3a4e12  16618  lcm2un  41485  lcm3un  41486