MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmcom 16474
Description: The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmcom ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))

Proof of Theorem lcmcom
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orcom 869 . . 3 ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0))
2 ancom 462 . . . . 5 ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑁𝑛𝑀𝑛))
32rabbii 3412 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}
43infeq1i 9419 . . 3 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < )
51, 4ifbieq2i 4512 . 2 if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < ))
6 lcmval 16473 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < )))
7 lcmval 16473 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < )))
87ancoms 460 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑁𝑛𝑀𝑛)}, ℝ, < )))
95, 6, 83eqtr4a 2799 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  ifcif 4487   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  infcinf 9382  cr 11055  0cc0 11056   < clt 11194  cn 12158  cz 12504  cdvds 16141   lcm clcm 16469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-mulcl 11118  ax-i2m1 11124  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-lcm 16471
This theorem is referenced by:  dvdslcm  16479  lcmeq0  16481  lcmcl  16482  lcmneg  16484  neglcm  16485  lcmgcd  16488  lcmdvds  16489  lcmftp  16517  lcmfunsnlem2  16521  lcmfunsnlem  16522  lcmf2a3a4e12  16528  lcm2un  40517  lcm3un  40518
  Copyright terms: Public domain W3C validator