Theorem lcmcl 16697

Description: Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lcmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmcom 16689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
3		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 lcm 𝑀) = (𝑁 lcm 0))
4		lcm0val 16690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
5	3, 4	sylan9eqr 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 lcm 𝑀) = 0)
6	5	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 lcm 𝑀) = 0)
7	2, 6	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
8		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
9		lcm0val 16690	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
10	8, 9	sylan9eqr 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11	10	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
12	7, 11	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
13		0nn0 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14	12, 13	eqeltrdi 2870	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
15		lcmn0cl 16693	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	nnnn0d 12593	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
17	14, 16	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  0cc0 11128  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619   lcm clcm 16684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-lcm 16686

This theorem is used by:  gcddvdslcm  16698  lcmneg  16699  lcmdvds  16704  lcmid  16705  lcm1  16706  lcmgcdeq  16708  lcmdvdsb  16709  lcmass  16710  3lcm2e6woprm  16711  6lcm4e12  16712  lcmftp  16732  lcmfunsnlem2lem2  16735  3lcm2e6  16829  ex-lcm  30946  lcmeprodgcdi  42881  nzin  45150  nzprmdif  45151