Theorem lcmcl 16662

Description: Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lcmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmcom 16654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
3		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 lcm 𝑀) = (𝑁 lcm 0))
4		lcm0val 16655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
5	3, 4	sylan9eqr 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 lcm 𝑀) = 0)
6	5	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 lcm 𝑀) = 0)
7	2, 6	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
8		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
9		lcm0val 16655	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
10	8, 9	sylan9eqr 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11	10	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
12	7, 11	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
13		0nn0 12522	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14	12, 13	eqeltrdi 2878	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
15		lcmn0cl 16658	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	nnnn0d 12568	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
17	14, 16	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  (class class class)co 7414  0cc0 11103  ℕ₀cn0 12507  ℤcz 12594   lcm clcm 16649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-seq 14041  df-exp 14101  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-dvds 16314  df-lcm 16651

This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  16663  lcmneg  16664  lcmdvds  16669  lcmid  16670  lcm1  16671  lcmgcdeq  16673  lcmdvdsb  16674  lcmass  16675  3lcm2e6woprm  16676  6lcm4e12  16677  lcmftp  16697  lcmfunsnlem2lem2  16700  3lcm2e6  16794  ex-lcm  30779  lcmeprodgcdi  42724  nzin  44980  nzprmdif  44981