Theorem lcmeq0 16737

Description: The lcm of two integers is zero iff either is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmeq0	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))

Proof of Theorem lcmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmn0cl 16734	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnne0d 12357	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≠ 0)
3	2	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ≠ 0))
4	3	necon4bd 2975	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = 0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
5		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
6		0z 12673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		lcmcom 16730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 0) = (0 lcm 𝑁))
8	6, 7	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = (0 lcm 𝑁))
9		lcm0val 16731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
11	5, 10	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
12	11	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
13		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
14		lcm0val 16731	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
15	13, 14	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
16	15	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
17	12, 16	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
18	17	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0))
19	4, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7408  0cc0 11171  ℤcz 12662   lcm clcm 16725

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-dvds 16390  df-lcm 16727

This theorem is used by:  lcmass  16751