MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmgcd 16578
Description: The product of two numbers' least common multiple and greatest common divisor is the absolute value of the product of the two numbers. In particular, that absolute value is the least common multiple of two coprime numbers, for which (๐‘€ gcd ๐‘) = 1.

Multiple methods exist for proving this, and it is often proven either as a consequence of the fundamental theorem of arithmetic 1arith 16896 or of Bรฉzout's identity bezout 16519; see e.g., https://proofwiki.org/wiki/Product_of_GCD_and_LCM 16519 and https://math.stackexchange.com/a/470827 16519. This proof uses the latter to first confirm it for positive integers ๐‘€ and ๐‘ (the "Second Proof" in the above Stack Exchange page), then shows that implies it for all nonzero integer inputs, then finally uses lcm0val 16565 to show it applies when either or both inputs are zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion
Ref Expression
lcmgcd ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem lcmgcd
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16481 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
21nn0cnd 12565 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
32mul02d 11443 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = 0)
4 0z 12600 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
5 lcmcom 16564 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ lcm 0) = (0 lcm ๐‘))
64, 5mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = (0 lcm ๐‘))
7 lcm0val 16565 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
86, 7eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
109oveq1d 7435 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
11 zcn 12594 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1312mul02d 11443 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
1413abs00bd 15271 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(0 ยท ๐‘)) = 0)
153, 10, 143eqtr4d 2778 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
1615adantr 480 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
17 simpr 484 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
1817oveq1d 7435 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
1918oveq1d 7435 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
2017oveq1d 7435 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2120fveq2d 6901 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
2216, 19, 213eqtr4d 2778 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
23 lcm0val 16565 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2524oveq1d 7435 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
26 zcn 12594 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2827mul01d 11444 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
2928abs00bd 15271 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)) = 0)
303, 25, 293eqtr4d 2778 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
3130adantr 480 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
32 simpr 484 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
3332oveq2d 7436 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
3433oveq1d 7435 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
3532oveq2d 7436 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
3635fveq2d 6901 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
3731, 34, 363eqtr4d 2778 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
3822, 37jaodan 956 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
39 neanior 3032 . . . . 5 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
40 nnabscl 15305 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
41 nnabscl 15305 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
4240, 41anim12i 612 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
4342an4s 659 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
4439, 43sylan2br 594 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
45 lcmgcdlem 16577 . . . . 5 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง ((0 โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ 0 โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ 0)))
4645simpld 494 . . . 4 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))))
4744, 46syl 17 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))))
48 lcmabs 16576 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
49 gcdabs 16506 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ gcd ๐‘))
5048, 49oveq12d 7438 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
5150adantr 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
52 absidm 15303 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) = (absโ€˜๐‘€))
53 absidm 15303 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐‘)) = (absโ€˜๐‘))
5452, 53oveqan12d 7439 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
5526, 11, 54syl2an 595 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
56 nn0abscl 15292 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
5756nn0cnd 12565 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5857adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
59 nn0abscl 15292 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12565 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6160adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6258, 61absmuld 15434 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))))
6327, 12absmuld 15434 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
6455, 62, 633eqtr4d 2778 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6564adantr 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6647, 51, 653eqtr3d 2776 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6738, 66pm2.61dan 812 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139   ยท cmul 11144  โ„•cn 12243  โ„คcz 12589  abscabs 15214   โˆฅ cdvds 16231   gcd cgcd 16469   lcm clcm 16559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-lcm 16561
This theorem is referenced by:  lcmid  16580  lcm1  16581  lcmgcdnn  16582  nzprmdif  43756
  Copyright terms: Public domain W3C validator