MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmgcd 16488
Description: The product of two numbers' least common multiple and greatest common divisor is the absolute value of the product of the two numbers. In particular, that absolute value is the least common multiple of two coprime numbers, for which (๐‘€ gcd ๐‘) = 1.

Multiple methods exist for proving this, and it is often proven either as a consequence of the fundamental theorem of arithmetic 1arith 16804 or of Bรฉzout's identity bezout 16429; see e.g., https://proofwiki.org/wiki/Product_of_GCD_and_LCM 16429 and https://math.stackexchange.com/a/470827 16429. This proof uses the latter to first confirm it for positive integers ๐‘€ and ๐‘ (the "Second Proof" in the above Stack Exchange page), then shows that implies it for all nonzero integer inputs, then finally uses lcm0val 16475 to show it applies when either or both inputs are zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion
Ref Expression
lcmgcd ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem lcmgcd
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16391 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
21nn0cnd 12480 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
32mul02d 11358 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = 0)
4 0z 12515 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
5 lcmcom 16474 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ lcm 0) = (0 lcm ๐‘))
64, 5mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = (0 lcm ๐‘))
7 lcm0val 16475 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
86, 7eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
98adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
109oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
11 zcn 12509 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1211adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1312mul02d 11358 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
1413abs00bd 15182 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(0 ยท ๐‘)) = 0)
153, 10, 143eqtr4d 2783 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
1615adantr 482 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
17 simpr 486 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
1817oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
1918oveq1d 7373 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
2017oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2120fveq2d 6847 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
2216, 19, 213eqtr4d 2783 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
23 lcm0val 16475 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2524oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
26 zcn 12509 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2726adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2827mul01d 11359 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
2928abs00bd 15182 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)) = 0)
303, 25, 293eqtr4d 2783 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
3130adantr 482 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
32 simpr 486 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
3332oveq2d 7374 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
3433oveq1d 7373 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
3532oveq2d 7374 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
3635fveq2d 6847 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
3731, 34, 363eqtr4d 2783 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
3822, 37jaodan 957 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
39 neanior 3034 . . . . 5 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
40 nnabscl 15216 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
41 nnabscl 15216 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
4240, 41anim12i 614 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
4342an4s 659 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
4439, 43sylan2br 596 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
45 lcmgcdlem 16487 . . . . 5 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง ((0 โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ 0 โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ 0)))
4645simpld 496 . . . 4 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))))
4744, 46syl 17 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))))
48 lcmabs 16486 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
49 gcdabs 16416 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ gcd ๐‘))
5048, 49oveq12d 7376 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
5150adantr 482 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
52 absidm 15214 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) = (absโ€˜๐‘€))
53 absidm 15214 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐‘)) = (absโ€˜๐‘))
5452, 53oveqan12d 7377 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
5526, 11, 54syl2an 597 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
56 nn0abscl 15203 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
5756nn0cnd 12480 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5857adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
59 nn0abscl 15203 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12480 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6160adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6258, 61absmuld 15345 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))))
6327, 12absmuld 15345 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
6455, 62, 633eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6564adantr 482 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6647, 51, 653eqtr3d 2781 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6738, 66pm2.61dan 812 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  abscabs 15125   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379   lcm clcm 16469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-lcm 16471
This theorem is referenced by:  lcmid  16490  lcm1  16491  lcmgcdnn  16492  nzprmdif  42687
  Copyright terms: Public domain W3C validator