MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmgcd 16549
Description: The product of two numbers' least common multiple and greatest common divisor is the absolute value of the product of the two numbers. In particular, that absolute value is the least common multiple of two coprime numbers, for which (๐‘€ gcd ๐‘) = 1.

Multiple methods exist for proving this, and it is often proven either as a consequence of the fundamental theorem of arithmetic 1arith 16867 or of Bรฉzout's identity bezout 16490; see e.g., https://proofwiki.org/wiki/Product_of_GCD_and_LCM 16490 and https://math.stackexchange.com/a/470827 16490. This proof uses the latter to first confirm it for positive integers ๐‘€ and ๐‘ (the "Second Proof" in the above Stack Exchange page), then shows that implies it for all nonzero integer inputs, then finally uses lcm0val 16536 to show it applies when either or both inputs are zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion
Ref Expression
lcmgcd ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem lcmgcd
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16452 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
21nn0cnd 12535 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
32mul02d 11413 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = 0)
4 0z 12570 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
5 lcmcom 16535 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ lcm 0) = (0 lcm ๐‘))
64, 5mpan2 688 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = (0 lcm ๐‘))
7 lcm0val 16536 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
86, 7eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
98adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
109oveq1d 7419 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
11 zcn 12564 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1312mul02d 11413 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
1413abs00bd 15242 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(0 ยท ๐‘)) = 0)
153, 10, 143eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
1615adantr 480 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
17 simpr 484 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
1817oveq1d 7419 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
1918oveq1d 7419 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((0 lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
2017oveq1d 7419 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2120fveq2d 6888 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(0 ยท ๐‘)))
2216, 19, 213eqtr4d 2776 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
23 lcm0val 16536 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2524oveq1d 7419 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
26 zcn 12564 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2827mul01d 11414 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
2928abs00bd 15242 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)) = 0)
303, 25, 293eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
3130adantr 480 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
32 simpr 484 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
3332oveq2d 7420 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
3433oveq1d 7419 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ lcm 0) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
3532oveq2d 7420 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
3635fveq2d 6888 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท 0)))
3731, 34, 363eqtr4d 2776 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
3822, 37jaodan 954 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
39 neanior 3029 . . . . 5 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
40 nnabscl 15276 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
41 nnabscl 15276 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
4240, 41anim12i 612 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
4342an4s 657 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
4439, 43sylan2br 594 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
45 lcmgcdlem 16548 . . . . 5 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง ((0 โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ 0 โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ 0)))
4645simpld 494 . . . 4 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))))
4744, 46syl 17 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))))
48 lcmabs 16547 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
49 gcdabs 16477 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ gcd ๐‘))
5048, 49oveq12d 7422 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
5150adantr 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
52 absidm 15274 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) = (absโ€˜๐‘€))
53 absidm 15274 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐‘)) = (absโ€˜๐‘))
5452, 53oveqan12d 7423 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
5526, 11, 54syl2an 595 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
56 nn0abscl 15263 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
5756nn0cnd 12535 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5857adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
59 nn0abscl 15263 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12535 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6160adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6258, 61absmuld 15405 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = ((absโ€˜(absโ€˜๐‘€)) ยท (absโ€˜(absโ€˜๐‘))))
6327, 12absmuld 15405 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
6455, 62, 633eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6564adantr 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6647, 51, 653eqtr3d 2774 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
6738, 66pm2.61dan 810 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   ยท cmul 11114  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440   lcm clcm 16530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-lcm 16532
This theorem is referenced by:  lcmid  16551  lcm1  16552  lcmgcdnn  16553  nzprmdif  43635
  Copyright terms: Public domain W3C validator