MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmneg 16637
Description: Negating one operand of the lcm operator does not alter the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmneg ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmneg
StepHypRef Expression
1 lcm0val 16628 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
2 znegcl 12650 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3 lcm0val 16628 . . . . . . . . 9 (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 lcm 0) = 0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 lcm 0) = 0)
51, 4eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = (-𝑁 lcm 0))
65ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 lcm 0) = (-𝑁 lcm 0))
7 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑁 lcm 𝑀) = (𝑁 lcm 0))
8 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (-𝑁 lcm 𝑀) = (-𝑁 lcm 0))
97, 8eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → ((𝑁 lcm 𝑀) = (-𝑁 lcm 𝑀) ↔ (𝑁 lcm 0) = (-𝑁 lcm 0)))
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑁 lcm 𝑀) = (-𝑁 lcm 𝑀) ↔ (𝑁 lcm 0) = (-𝑁 lcm 0)))
116, 10mpbird 257 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 lcm 𝑀) = (-𝑁 lcm 𝑀))
12 lcmcom 16627 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 𝑀))
13 lcmcom 16627 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑁 lcm 𝑀))
142, 13sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑁 lcm 𝑀))
1512, 14eqeq12d 2751 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁) ↔ (𝑁 lcm 𝑀) = (-𝑁 lcm 𝑀)))
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁) ↔ (𝑁 lcm 𝑀) = (-𝑁 lcm 𝑀)))
1711, 16mpbird 257 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁))
18 neg0 11553 . . . . . . . 8 -0 = 0
1918oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝑀 lcm -0) = (𝑀 lcm 0)
2019eqcomi 2744 . . . . . 6 (𝑀 lcm 0) = (𝑀 lcm -0)
21 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
22 negeq 11498 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
2322oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm -0))
2420, 21, 233eqtr4a 2801 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁))
2524adantl 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁))
2617, 25jaodan 959 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁))
27 dvdslcm 16632 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)))
282, 27sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)))
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 lcmcl 16635 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ0)
312, 30sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℤ)
33 negdvdsb 16307 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ↔ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)))
3429, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ↔ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)))
3534anbi2d 630 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁))))
3628, 35mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)))
3736adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)))
38 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3938negeq0d 11610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
4039orbi2d 915 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0)))
4140notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0)))
4241biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0))
4342adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0))
44 lcmn0cl 16631 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ)
452, 44sylanl2 681 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ)
4643, 45syldan 591 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ)
47 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48 3anass 1094 . . . . . . 7 (((𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
4946, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
50 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
51 lcmledvds 16633 . . . . . 6 ((((𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ (𝑀 lcm -𝑁)))
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm -𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ (𝑀 lcm -𝑁)))
5337, 52mpd 15 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ (𝑀 lcm -𝑁))
54 dvdslcm 16632 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
5554adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
56 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
57 lcmn0cl 16631 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
5857nnzd 12638 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
59 negdvdsb 16307 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ↔ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ↔ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
6160anbi2d 630 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
62 lcmledvds 16633 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁)))
6362ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁))))
642, 63syl3an3 1164 . . . . . . . 8 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁))))
65643expib 1121 . . . . . . 7 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ -𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁)))))
6657, 47, 43, 65syl3c 66 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ -𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁)))
6761, 66sylbid 240 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁)))
6855, 67mpd 15 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁))
69 lcmcl 16635 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
7069nn0red 12586 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℝ)
7130nn0red 12586 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℝ)
722, 71sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) ∈ ℝ)
7370, 72letri3d 11401 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁) ↔ ((𝑀 lcm 𝑁) ≤ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁))))
7473adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁) ↔ ((𝑀 lcm 𝑁) ≤ (𝑀 lcm -𝑁) ∧ (𝑀 lcm -𝑁) ≤ (𝑀 lcm 𝑁))))
7553, 68, 74mpbir2and 713 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁))
7626, 75pm2.61dan 813 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm -𝑁))
7776eqcomd 2741 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  cle 11294  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287   lcm clcm 16622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-lcm 16624
This theorem is referenced by:  neglcm  16638  lcmabs  16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator